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盛龍
題目 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0).證明:存在圓心在原點的定圓,使該圓上任意一點的切線與橢圓C恒有兩個交點A,B,且OA·OB=0.(2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽山東賽區(qū)預賽第12題)
試題設計平凡、樸實、常規(guī),是學生最熟悉的題型,入手比較容易且解題的思路很多.考查了直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng),檢驗了學生分析問題和解決問題的能力,是一道有探究性的好題.
參考答案:(1)x26+y23=1;(2)32.
設計思路:題3的進一步深化,S△PMN=2S△OPN,性質(zhì)3的特殊化.
基于以上對3到題目的設計,解析幾何試題考查學生用解析幾何方法解決解析幾何問題的能力,使學生體會到對于幾何問題,“解析化”的途徑必須進行認真的研究探索和選擇,同時強調(diào)運算的準確性對于解析幾何是十分必要的.