作者簡介

陳云，中小學(xué)高級教師，江蘇省特級教師，曾獲“江蘇省最美教師”“陽澄湖教育領(lǐng)軍人才”等榮譽稱號。先后獲得“全國優(yōu)質(zhì)課”比賽一等獎、“江蘇省優(yōu)質(zhì)課”比賽一等獎。主持參加多項省、市級課題研究。在《教育學(xué)術(shù)月刊》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》等刊物發(fā)表論文百余篇。

拓展課的開發(fā)和利用有利于幫助學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程中，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。好的拓展課內(nèi)容要“高”、起點要“低”、入點要“窄”、范圍要“寬”。不僅如此，好的拓展課還應(yīng)當(dāng)注意構(gòu)建課程體系，同一主題的拓展課應(yīng)在不同學(xué)段循序漸進地展開，成為系列拓展課，避免拓展課無厘頭地插入，又無余音地結(jié)束，給學(xué)生帶來“悄悄的我走了，正如我悄悄的來；我揮一揮衣袖，不帶走一片云彩”的惆悵。筆者以“探秘度量衡”為例，探索遞進式系列拓展課的樣態(tài)。

一、在探尋知識背景中扎下拓展之“根”

度量衡的學(xué)習(xí)一般從二年級開始，最初是較小的長度單位的認識、簡單的時間單位的認識，至三年級開始出現(xiàn)較大的長度單位、質(zhì)量單位，度量衡逐漸變得“蕪雜”，應(yīng)用上會出現(xiàn)一些混亂，學(xué)生會產(chǎn)生害怕和抵觸的情緒。因此，教師要借助拓展課幫助學(xué)生了解度量衡的產(chǎn)生與來源，適當(dāng)強化學(xué)生對度量衡本質(zhì)的理解，通過拓展使學(xué)生形成簡化的、本質(zhì)的、對未來學(xué)習(xí)更有支持意義的、內(nèi)在邏輯性較強的度量衡的基礎(chǔ)知識結(jié)構(gòu)，在展現(xiàn)“知識背景—知識形成”的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生學(xué)習(xí)度量衡的自信心，獲得對度量衡的實質(zhì)性理解。因此，三年級學(xué)生學(xué)習(xí)了長度單位、質(zhì)量單位之后，便可進行“探秘度量衡”的學(xué)習(xí)。

拓展課一：它從哪里來

1.觀看視頻（長度單位的產(chǎn)生過程——節(jié)選自中央電視臺科學(xué)頻道“探秘度量衡”，如圖1所示）。

2.引導(dǎo)交流：長度單位是怎樣產(chǎn)生的？最初人們是怎么約定長度單位的？古人用的長度單位有哪些？我們學(xué)的這些長度單位相鄰單位進率是什么？

3.觀看視頻（米的長度是如何一步步精準(zhǔn)的？如圖2所示）并討論：古人用的單位，現(xiàn)在我們在正式測量活動中還用嗎？為什么不用了？思考現(xiàn)在的長度單位是怎么確定的？為什么要重新約定？

4.參與測量活動——選擇合適的工具測量身邊物體，并交流：我們在選擇尺子時，其實選擇的是什么？為什么這樣選擇？我們要測量的物體無限多，要不要去創(chuàng)造無限多的測量單位？為什么？如何用有限的單位去測量無限多的物體呢？

5.引發(fā)猜想，課下延伸：如何測量蘇州到上海的高速公路的長度？如何測量地球到月球的距離？茫茫宇宙空間你覺得還有什么可以測量的？有沒有測量它們的尺子？

這節(jié)拓展課較好地體現(xiàn)了“高”的維度：即內(nèi)容要高，高到能把課內(nèi)外大量的學(xué)習(xí)資源形成彼此關(guān)聯(lián)的知識金字塔，拓展課不能上成教材內(nèi)容的簡單復(fù)習(xí)和總結(jié)，要基于學(xué)生原有的認知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，實現(xiàn)學(xué)生知識和能力的拓展?！疤矫囟攘亢狻钡氖状瓮卣梗瑑?nèi)容涉及古今中外，把長度單位的“前世今生”都完整地呈現(xiàn)了出來?；谌昙墝W(xué)生的認知特點，接受、理解、記憶還是主要的學(xué)習(xí)方式，教師借助音頻、視頻、繪本、故事等形式，緊抓“長度單位是怎樣產(chǎn)生的”這一主問題，輔以“古人用的長度單位有哪些”等子問題，各問題之間形成環(huán)環(huán)相扣的問題鏈，降低思維難度，轉(zhuǎn)化和分解了主問題，十分自然地層層深入。學(xué)生在自學(xué)中成長、在觀察中推理、在合作交流中豁然開朗，不僅獲得了更多課本上沒有的知識，還在自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的過程中嘗試探索怎么學(xué)習(xí)，嘗試如何用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。

二、在遷移數(shù)學(xué)方法中萌發(fā)拓展之“芽”

隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法就成為學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，這些現(xiàn)實應(yīng)成為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素材。選用這些素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識的內(nèi)涵，還能更好地幫助學(xué)生提煉學(xué)習(xí)方法、形成學(xué)習(xí)能力。在前面的拓展中，學(xué)生對度量的本質(zhì)有了充分的了解，這種“了解”需要進一步轉(zhuǎn)化成“理解”。人為約定的米、厘米這樣的小“長度”可以用來測量大“長度”，為了便于測量，我們把小“長度”記錄在尺子上，那么這種方法可否應(yīng)用到新的測量活動中？怎么測量面積呢？面積和長度的區(qū)別在哪里？有沒有“尺子”能一次性測量出面積呢？這些問題的拓展能幫助學(xué)生深入理解度量的本質(zhì)，也讓學(xué)生在實現(xiàn)“方法提取—方法應(yīng)用”的過程中學(xué)會遷移。至此，可以在四年級認識了面積的概念之后引入“探秘度量衡”的第二課。

拓展課二：設(shè)計“面積尺”

1.提出問題：長度是如何測量的？面積又該怎么測量？

2.小組合作：設(shè)計一把“尺子”，測量出卡紙的大小。

3.集體討論：大家認為的“好尺子”有什么共同點？用小正方形測量卡紙面積時要鋪幾次？有沒有一次就能量出卡紙面積的“尺子”？

4.展示圖3并交流：這把“尺子”上面的小方塊是什么？為什么量面積要向橫的、豎的兩個方向去量？和我們用學(xué)生尺量長度有什么不一樣？這把“尺子”橫向量出的是什么？縱向量出的又是什么？量完之后相乘得到的又是什么？

5.拓展提升：如果把這把“尺子”逐漸縮小，你還能量出卡紙的面積嗎（如圖4，動態(tài)呈現(xiàn)不斷縮小的過程）？如果把這把“尺子”逐漸擴大，你想到了什么（如圖5，動態(tài)呈現(xiàn)不斷擴大的過程）？說說你的感受。

這節(jié)拓展課恰當(dāng)?shù)卦忈屃恕暗汀钡木S度：即起點要低，低到讓每個學(xué)生都覺得可以參與。拓展課不是給學(xué)優(yōu)生的“福利”，不能在教學(xué)中對難題、偏題進行無限挖掘，要為所有學(xué)生的拓展而教。四年級的學(xué)生已經(jīng)獲得了一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，喜歡動手操作，期盼自己能創(chuàng)造出新的東西，這樣的“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”會給課堂注入活力，讓創(chuàng)新意識的培育、創(chuàng)新能力的發(fā)展成為可能。對他們來說，創(chuàng)造一把新“尺子”有趣并且不難，每一個學(xué)生都可以參與，卻又能在簡單的操作過程中很好地實現(xiàn)從一維到二維的跨越，讓學(xué)生形成空間觀念。這一階段學(xué)生的問題意識也在加強，在拓展的過程中，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題：“面積尺”是一把什么樣的尺子？和“長度尺”相同與不同的地方在哪里？“長度尺”能直接量出結(jié)果，“面積尺”為什么量完還要計算？……如何解決這些問題？可以指導(dǎo)學(xué)生在操作的過程中，經(jīng)過仔細觀察、思考，通過同學(xué)之間的相互啟發(fā)，把原本隱性、抽象的思維結(jié)構(gòu)、思考路徑及思維方法呈現(xiàn)出來，使知識之間的結(jié)構(gòu)清晰、形象、可見。這樣的拓展課才能體現(xiàn)操作以外的價值，也正是學(xué)生努力嘗試用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界的一種表達。

三、在完善知識框架中綻放拓展之“花”

數(shù)學(xué)拓展課程應(yīng)當(dāng)致力于減輕學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)負擔(dān)，幫助學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)，促進學(xué)生對知識的聯(lián)系與理解。當(dāng)學(xué)完小學(xué)階段的所有度量知識之后，教師就要引領(lǐng)學(xué)生對整個度量衡進行整體分析，提煉并打通各個度量單位之間的關(guān)聯(lián)，建構(gòu)起度量主題統(tǒng)整下的脈絡(luò)清晰、條理分明、相互聯(lián)系的度量知識體系。另一方面，教師要適時引導(dǎo)學(xué)生對不同的量進行分類、整理、比較，在概念、原理及進率之間構(gòu)建起有效的認識結(jié)構(gòu)，體會不同度量內(nèi)容之間度量本質(zhì)、度量方法上的一致性和可遷移性，幫助學(xué)生在“尋找聯(lián)系—構(gòu)建整體”的過程中學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，教師可以在五年級借助一些度量知識之間的聯(lián)系開展“探秘度量衡”的第三課。

拓展課三：聯(lián)系你我他

1.提出問題：能夠一次測量出體積的“尺子”長什么樣呢？（如圖6）如果這把“尺子”簡化成圖7一樣的，還能測量體積嗎？

2.小組合作，搭建聯(lián)系。整理長度、面積、體積單位之間的進率關(guān)系，記錄下來，仔細觀察，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

（1）如圖8，如果想讓相鄰的兩個單位之間的進率相等，括號里可以添加什么單位？生活中見過這樣的單位嗎？

（2）可不可以把相鄰面積單位、體積單位之間的進率也約定為10呢？結(jié)合“面積尺”“體積尺”的創(chuàng)造過程進行解釋。

（3）如果以米為“主單位”，怎樣才能得到比“米”大和比“米”小的單位？你們還能類推出更大的或者更小的單位嗎？（如圖9）

3.縱向延伸，完善結(jié)構(gòu)

（1）長度單位、面積單位、體積單位與容積單位、質(zhì)量單位等也會有關(guān)系嗎？結(jié)合教材內(nèi)容（如圖10）說說你們發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）交流課前搜集的資料，了解1千克的質(zhì)量在國際標(biāo)準(zhǔn)中是如何規(guī)定的以及這個規(guī)定的演變過程。繼續(xù)整理容積單位和質(zhì)量單位（如圖11），比較體積單位、質(zhì)量單位和容積單位的進率，你們想到了什么？

（3）這些單位的進率分別是十、百、千，卻沒有萬，與國際通用的數(shù)的三位分節(jié)有沒有關(guān)系？交流課前搜集的資料，提出新的問題并合作解決問題。

4.合理猜想，延伸課堂：度量衡的約定是隨心所欲的嗎？國際計量單位中現(xiàn)行的一些約定會是永久不變的嗎？

這節(jié)拓展課正好體現(xiàn)“窄”的維度：即入點要窄，窄到可以從一個小點出發(fā)不斷深入地開展探究，拓展課不應(yīng)只是蜻蜓點水般匆匆掠過，而要能夠以點帶面，形成對一類知識、能力的深刻理解。從“聯(lián)系”這個點深挖下去，耐心傾聽學(xué)生對過程的解釋，揭示相關(guān)度量知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生整體掌握一種測量系統(tǒng)，把凌亂的、復(fù)雜的度量單位、進率關(guān)系理順、弄懂，構(gòu)建度量認知結(jié)構(gòu)。這一時期的拓展課，問題的提出可以更具框架性，拓展內(nèi)容的推演要基于學(xué)生自己的質(zhì)疑問難，幫助學(xué)生發(fā)展批判性思維，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度，孕育講道理、有條理的思維品質(zhì)，這樣的“窄”入點才能帶來“大”境界。

四、在激發(fā)數(shù)學(xué)思維中結(jié)出拓展之“果”

進入中、高年級，學(xué)生的活動空間有了較大的擴展，學(xué)生感興趣的問題已拓展到客觀世界的許多方面，他們逐漸關(guān)注自然、社會中的更為廣泛的現(xiàn)象和問題。此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試用學(xué)過的知識解決應(yīng)用性的數(shù)學(xué)問題和簡單的現(xiàn)實問題，更有利于幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)的價值，激活數(shù)學(xué)思維，提升應(yīng)用意識。這一時期教師可以選擇來源于自然、社會中的度量現(xiàn)象和問題作為素材，設(shè)計運用度量知識解決問題的活動，具體呈現(xiàn)方式既要符合學(xué)生認知需求，又要能夠有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深入思考，幫助學(xué)生在“問題情境—求解驗證”的過程中積累度量的活動經(jīng)驗，并進一步提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。所以，在六年級復(fù)習(xí)階段，可以介入“探秘度量衡”的總結(jié)課。

拓展課四：有趣的測量

1.提出問題：學(xué)習(xí)了測量單位，就可以輕松完成各種度量了嗎？

2.量一量：學(xué)校藝術(shù)長廊的柱子有多粗？學(xué)校藝術(shù)館中心圓形舞臺的面積有多大？教室里圓柱狀垃圾桶最多能容納多少垃圾？如果要進行以上測量活動，你們該如何操作？

3.比一比：（1）學(xué)校組織放風(fēng)箏比賽，每位選手的風(fēng)箏線同樣長。當(dāng)所有選手的風(fēng)箏線都放出去時，誰的風(fēng)箏飛得高？

（2）批發(fā)商王叔叔迎來兩位顧客，要購買同一型號的鐵絲各一捆。顧客甲說：我要的鐵絲少，給我長度短的那一捆吧。顧客乙說：正好我需要的多，比較長的那一捆給我。問：哪一堆鐵絲更長？

4.聽故事：古人是如何測量金字塔的高度的？

5.說一說：以上測量活動給你們哪些啟示？你們還經(jīng)歷過哪些有趣的測量活動？和同學(xué)們說一說。

6.做一做：4人一組，合作完成測量距離的任務(wù)（測量工具：卷尺1把，測繩1根，標(biāo)桿若干根）。

（1）測量兩點間的距離：在操場上選定A、B兩點（兩點間無障礙，兩點間的距離大于卷尺和測繩的長度），測量兩點間的距離，并將測量的過程、結(jié)果及體會記錄下來。

（2）測量點到直線的距離：在操場中間的任意位置選擇一點A，測量點A到跑道（直線）的距離（點A到跑道的距離要大于卷尺和測繩的長度），并將測量的過程、結(jié)果及體會記錄下來。

拓展課就要體現(xiàn)“寬”的特點：即范圍要寬，寬到可以使不同的人有不同的發(fā)展空間，拓展課不是要增加什么新的知識，而是幫助學(xué)生更好地學(xué)會思考，不論學(xué)生從哪個角度去思考，只要他們有所收獲即是拓展。本節(jié)課教師創(chuàng)造貼近學(xué)生的現(xiàn)實生活、聚焦真實問題的解決和具有社會價值的綜合性議題，通過跨領(lǐng)域的整合方式打破學(xué)科邊界，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科以及社會生活的有機融合。這樣綜合性的測量活動，學(xué)生需要自己制定測量方案、親自參與測量活動，得出屬于自己的結(jié)論。教師的評價則采用“滿意原則”和“加分原則”，只要學(xué)生盡力參與并有所感悟都應(yīng)該得到肯定，這就是拓展的價值，也是學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界所做出的努力。

（作者單位：南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校）