杜高俊

【摘要】復習課既能指導學生系統(tǒng)掌握知識、發(fā)展思維能力，又能輔助教師彌補教學缺失、提高教學質(zhì)量，是中小學教學中必不可少的環(huán)節(jié).本文以北師大版數(shù)學七年級下冊第五章“生活中的軸對稱”期末復習課為例，對原有復習課“知識點羅列+習題課”的模式進行改進，基于母題變式，一課一題，探討期末復習課如何有效開展.

【關鍵詞】軸對稱；折疊；三角形

教學內(nèi)容 北師大版數(shù)學七年級下冊第五章“生活中的軸對稱”期末復習課.

教材分析 本章立足學生的生活經(jīng)驗和數(shù)學活動經(jīng)歷，從觀察現(xiàn)實生活中的對稱現(xiàn)象開始，引出軸對稱圖形的概念，從整體上概括軸對稱的特征.又進一步介紹了兩個圖形成軸對稱的概念.結(jié)合探索對稱點的關系，歸納軸對稱的性質(zhì).本章讓學生了解軸對稱現(xiàn)象的數(shù)學本質(zhì)，為學習軸對稱的性質(zhì)和變換，以及其在等腰三角形中的應用打下堅實的基礎.在等腰三角形中，利用等腰三角形的軸對稱性，得出“兩底角相等”“三線合一”等性質(zhì).接著結(jié)合“線段”和“角”的軸對稱性，探討了“線段的垂直平分線”及“角平分線”的性質(zhì).“利用軸對稱進行設計”一節(jié)，鼓勵學生大膽想象、大膽嘗試，要把關注點放在活動中的數(shù)學層面上，重在看學生是否真正理解軸對稱的特點.

學情分析 從認知情況看，學生學完了“平行線與相交線”“全等三角形”等內(nèi)容的期末復習課之后，會具備了一定的推理能力.到了期末，需要學生將所學過的知識進行聯(lián)系與融合.對“生活中的軸對稱”這一章的知識來說，“軸對稱圖形”和“兩個圖形成軸對稱”是學生容易混淆的兩個概念.圖形的折疊是運用軸對稱性質(zhì)的一個重要載體，而在折疊問題中運用軸對稱的性質(zhì)也是學生的一個難點.考慮到七年級學生還沒有學習特殊的平行四邊形，同時七年級下冊第四章學習了“三角形”，因此本節(jié)課選擇折疊的主體圖形是三角形.

教學目標 （1）復習軸對稱圖形，兩個圖形成軸對稱的概念及性質(zhì).

（2）在三角形的折疊問題中，靈活運用軸對稱的性質(zhì)，體會知識間的聯(lián)系.

（3）經(jīng)歷從多角度去分析同一問題的過程，感受題目的變式改編，嘗試對問題進行改編并解答，潛移默化地培養(yǎng)和提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

教學重點 在折疊問題中理解與運用軸對稱的性質(zhì)，體會知識間的聯(lián)系.

教學難點 在折疊問題中靈活運用軸對稱的性質(zhì).

突破難點的策略 最開始的例題講解時，準備三角形讓學生實際操作折疊，理解折疊的本質(zhì)就是軸對稱，加深對軸對稱性質(zhì)的理解與掌握，同時采取分解問題的方式，讓學生體會在折疊問題中能用、要用、會用軸對稱的性質(zhì).接著讓學生感受折疊問題的變式改編，此時不再分解問題，讓學生自己提出問題并解答.在此基礎上，學生親自嘗試題目的變式改編，提出問題并解答，以達到在折疊問題中靈活運用軸對稱性質(zhì)的目的，從而突破難點.

突破難點策略的可行性分析 動手操作是解題的好方法，可以加深對軸對稱性質(zhì)的理解與掌握，因此準備三角形讓學生實際操作折疊；其次，將軸對稱的問題進行分解，使學生容易接受，能切實感受折疊的本質(zhì)就是軸對稱，為學生能在折疊問題中靈活運用軸對稱性質(zhì)打下基礎.在此基礎上，給出例題的變式題，讓學生自己提出問題并解答，從而引導學生體會雖然題目發(fā)生了變化，但解題的本質(zhì)沒有變，進而再一次加深對軸對稱性質(zhì)的理解與運用.給出的例題變式題，為學生下一步嘗試變式改編提供了思路，所以在讓學生自己變式改編時，學生是可以操作的.當學生能自己變式改編并去解答問題時，就說明在折疊問題中靈活運用軸對稱性質(zhì)的教學難點已經(jīng)突破，同時也幫助學生聯(lián)系并融合所學知識.學生感受和體驗題目變式改編的過程和方法，并能遷移到其他的問題中，有助于學生對其他問題的理解與運用.

教學過程設計：

1 復習提問

練習1 下列圖形中不是軸對稱圖形的是（? ）.

練習2 視力表中的字母“E”有各種不同的擺放形式，下面每種組合中的兩個字母“E”不能關于某條直線成軸對稱的是（? ）

設計意圖 期末復習時，學生會出現(xiàn)遺忘基本概念的情況，“軸對稱圖形”和“兩個圖形成軸對稱”是學生容易混淆的兩個概念，采取結(jié)合練習題復習提問的方式幫助學生回憶基本概念.通過兩道直觀練習題加深對兩個不同概念的理解與掌握，體會它們之間最直接的區(qū)別.同時，練習中的圖都是實際生活中的常見圖案，這正是生活中軸對稱的體現(xiàn)，感受到數(shù)學與生活息息相關，也符合《課程標準》提出的認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形的要求.回憶軸對稱的性質(zhì)幫助學生復習基本知識，為后面在折疊問題中應用軸對稱的性質(zhì)作鋪墊.

2 例題講解

例1 如圖3，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處.

（1）△BCD與△ECD有什么關系，說明理由；

（2）找出圖中相等的線段，相等的角，說明理由；

（3）若∠A=20°，你能求出圖中哪些角的度數(shù).

（4）連接BE，CD所在直線與線段BE的位置關系是什么，此時說明（2）中的線段相等，角相等，還可以從什么角度去說明？

設計意圖 第四章學習了“三角形”，因此選擇直角三角形作為折疊的主體圖形，這樣能聯(lián)系直角三角形的性質(zhì)及三角形的相關知識，變式時可將直角三角形改成其他三角形.動手操作是解題的好方法，講解此題時準備直角三角形，供學生直接動手操作折疊，加深對軸對稱性質(zhì)的理解與掌握.

第（1）問旨在復習全等三角形的本質(zhì)定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.由于學習了全等三角形的判定條件后，絕大部分學生都遺忘了說明三角形全等還可以利用全等三角形的定義，還有助于學生體會：成軸對稱的兩個圖形一定全等，而兩個全等的圖形不一定成軸對稱.

第（2）問答案不唯一，在說明線段相等和角相等的理由時，可以從全等三角形的對應邊相等，對應角相等去說明，也可以從軸對稱的性質(zhì)去說明.旨在體會知識間的聯(lián)系與融合.說明理由的過程，能讓學生在數(shù)學解題的過程中鍛煉語言表達能力.

第（3）問圖中所有角的度數(shù)都能求出來，但不指明具體求哪一個角，開放性問題，激發(fā)學生思考，也能聯(lián)系三角形相關知識，直角三角形的性質(zhì)，角的計算等有關知識.復習第五章《生活中的軸對稱》，但又不拘泥于第五章，尋找知識間的聯(lián)系.

第（4）問旨在復習線段的垂直平分線及其性質(zhì).“說明（2）中的線段相等，角相等，還可以從什么角度去說明”旨在讓學生經(jīng)歷從多角度去分析同一問題的過程，同時還可以聯(lián)系等腰三角形等相關知識.

變式1 如圖4，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，沿BD折疊△CBD，使點C恰好落在AB邊上的點E處，若∠A=20°，請你提出一個問題，并解答.

提問 （1）請借助圖中的線段表示△ABD的面積.（2）你還可以怎樣折疊？

設計意圖 引導學生從改變折疊的方向去變式題目，感受題目的改編，雖然題目變化了，但解題的本質(zhì)沒有變.進一步加深對軸對稱性質(zhì)的理解與運用，有助于學生總結(jié)和歸納所學知識與方法.“請借助圖中的線段表示△ABD的面積”這一問，旨在復習三角形的高，特別是鈍角三角形的高.

“你還可以怎樣折疊？”這一問，旨在讓學生感受與體驗題目的變式，同時體會折疊的本質(zhì)就是軸對稱，遇到折疊問題時要聯(lián)系軸對稱的性質(zhì).

變式2 如圖5，在△ABC中，沿BD折疊△CBD，使點C恰好落在AB邊上的點E處，若∠A=20°，求∠DBE的度數(shù).

設計意圖 變式去掉了三角形是直角三角形的條件，這樣在解答時，會引起學生的思維沖突，這時引導學生添加一個條件來解答，感受另一種形式的變式.在添加條件并解答的過程中，又進一步地加深對軸對稱的性質(zhì)的理解與應用.

3 回顧總結(jié)

（1）今后遇到“折疊問題”，你可以利用什么知識去解答？

設計意圖 學生剛剛經(jīng)歷在折疊問題中運用軸對稱的性質(zhì)，經(jīng)歷從多角度去分析同一問題的過程，感受題目的變式，嘗試變式并解答，及時梳理學生的所思所想，幫助學生將感受與體驗提煉，是突破本節(jié)課難點的最好契機，促進將方法和經(jīng)驗遷移到其他知識的學習與其他問題的解答中去.培養(yǎng)和提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

（2）通過學習這節(jié)課，你加深了對哪些知識的理解？

設計意圖 檢驗通過本堂課學生真正加深了對哪些知識的理解，同時可以了解學生本章還有哪些知識是后續(xù)需要再復習加強的.

4 布置作業(yè)

作業(yè)1 如圖6，三角形紙片ABC中，∠A=80°，∠B=50°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)，若∠1=30°，求∠2的度數(shù).

作業(yè)2 如圖7，等邊三角形ABC的邊長為3cm，D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，且點A′在△ABC的外部，則陰影部分圖形的周長是多少？你能求出圖中哪些角的度數(shù).

設計意圖 趁熱打鐵加強鞏固對軸對稱性質(zhì)的應用，這兩道題都是從改變?nèi)切蔚男螤?，改變折疊的方向進行變式，課堂上的例題及變式已知條件都是角的度數(shù)，而第2題已知條件換成已知邊長，同時折疊的主體圖形是等邊三角形，有助于聯(lián)系等邊三角形的相關知識.在思考能求出哪些角的度數(shù)時還可以聯(lián)系相交線，平行線等相關知識.

思考 如圖8，∠ACB=90°，△ABC的面積是12，AB=6，沿AD折疊△CAD，使點C恰好落在AB邊上的點E處，M為AD上的一動點，且MF⊥AC，求MF+MC的最小值.

設計意圖 題目以折疊為背景，涉及的知識有：軸對稱的性質(zhì)、三角形面積、垂線段最短、角平分線的性質(zhì)等知識，課下能進一步復習和運用軸對稱的性質(zhì)，不拘泥于第五章所學知識，題中涉及的知識點比課堂上的例題多，有一定難度，適合課下學有余力的同學思考，滿足不同學生的需求.

課后反思 期末復習課不是按部就班地對章節(jié)知識點進行簡單的梳理，這樣的模式學生會覺得枯燥也不會愿意聽.更不是“測試+講試卷+試卷訂正”，這樣的模式不利于知識點的梳理，學生也會處于焦慮之中.復習課中的例題、習題要有綜合性，可以一題多解、一題多變，可以加強不同章節(jié)之間的聯(lián)系，讓學生可以將所學方法遷移到不同的問題解決中去，這樣的思維方法遷移可以使學習者將數(shù)學學習過程中訓練形成的邏輯思維能力、數(shù)學思想方法應用到其他學科或日常生活中，用數(shù)學的眼光去看待世界，用數(shù)學的方法去研究世界［1］.

參考文獻：

［1］付鈺，姜秋羽.數(shù)學學習中的遷移現(xiàn)象及其對教學的意義［J］.中學教研（數(shù)學），2018（9）：3-6.