廣東省汕尾市陸河縣河田中學(xué)(516700) 向 超 李國振

以二元二次方程為約束條件,求二元一次(或二次)表達(dá)式的最值及取值范圍,是高考中的一個(gè)重要考點(diǎn)之一,也是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)熱點(diǎn)與亮點(diǎn), 備受高考命題者的青睞.本文以一次教研活動中主講人選用的一道經(jīng)典例題為主線展開討論.

一、試題與解法探究

題目(由文[1]第58 頁習(xí)題5 改編)已知x＞0,y＞0,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.

從問題本質(zhì)的角度理解,該題的特征是,以含有交叉項(xiàng)的二元二次方程為約束條件,求二元一次式的最值. 為了方便探究解法,我們先進(jìn)一步明確變量x,y的取值范圍,由題目知2x+8y-xy=0,所以2x=y(x-8),8y=x(y-2),又因?yàn)閤,y＞0,易得x＞8,且y＞2.

視角一: 利用經(jīng)典不等式切入

視角二: 依據(jù)二次方程有解,從判別式Δ ≥0 切入

解法6(判別式法) 設(shè)x+y=t(t＞10), 則y=t-x, 代入已知等式2x+ 8y-xy= 0, 并化簡可得x2-(t+6)x+8t= 0, 因?yàn)殛P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根, 所以Δ = (t+6)2-32t≥0, 解得t≤2(舍去), 或t≥18.將t= 18 代入x2-(t+6)x+8t= 0, 解得x= 12, 所以(x+y)min=18.

評注判別式Δ 與二次方程、函數(shù)、不等式有著千絲萬縷的關(guān)系, 猶如一對“情侶”. 一元二次方程的根的判別式不僅是重要的基礎(chǔ)知識, 而且也是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法——判別式法. 這種方法在解題中有著廣泛的應(yīng)用. 熟練掌握判別式法,可提高學(xué)生解題能力和知識的綜合應(yīng)用能力.

視角三: 從換元的視角切入,化繁為簡

二、試題溯源

通過解法2 和解法3 我們易發(fā)現(xiàn)方程2x+8y-xy=0在平面直角坐標(biāo)系中表示等軸雙曲線. 具體如下:

所以該題的幾何背景是在雙曲線上找一點(diǎn)使得橫、縱坐標(biāo)之和最小,在解法6 中,當(dāng)t=2,或t=18 時(shí),得到直線方程x+y=2,與x+y=18 剛好是雙曲線2x+8y-xy=0的兩條切線(如圖1).

圖1

事實(shí)上, 形如ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0(其中a,b,c不同時(shí)為零)的方程所表示的曲線, 叫做二次曲線, 包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及退化的二次曲線(兩條直線等), 經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換(參見[2]中的第53 頁)和左右、上下平移變換總能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.在解法探究中出現(xiàn)的經(jīng)典不等式法、判別式法、換元法是解決二次曲線限定條件下的二元一次(或二次)最值這類問題常用且有效的三招.[2]

三、鏈接高考

例1(2018 年高考江蘇卷理科第13 題)在ΔABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c, ∠ABC= 120°, ∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD= 1,則4a+c的最小值是____.

分析在ΔABC中, 由等面積法易得a+c-ac=0(a,b＞0),所以本題的本質(zhì)是二次曲線限定條件下的二元一次式的最值問題,利用解法探究中的8 種方法,均可順利完成該題,但需要注意的是,我們首先要能夠從幾何模型中抽象出代數(shù)等量關(guān)系.

例2(2022 年新高考Ⅱ卷第12 題) 若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析首先我們來研究x+y的取值范圍. 由于約束條件不同,所以解法探究提到的8 種方法并不都適合該題,但判別式法(切線法)、三角換元法、對稱換元法仍適合該題,在這里不再贅述.下面介紹一種新的方法來解答x+y的取值范圍.

圖2

圖3

四、教學(xué)啟示

明代思想家馮夢龍說過:“兵貴于精,不貴于多. ”同樣的道理,學(xué)貴于精,量不在多,寧缺毋濫. 因此,在高三教學(xué)過程中,要著重提升做題質(zhì)量而非做題數(shù)量. 那么,如何提高訓(xùn)練的質(zhì)量呢? 筆者認(rèn)為要做好以下三個(gè)方面:

1. 老師要跳入題海,學(xué)生應(yīng)跳出題海. 在教學(xué)實(shí)踐中,教師往往需要在浩如煙海的題目中精選試題,只有老師做題多,見識多,達(dá)到爐火純青的境界,才能做到胸有成竹、融會貫通,應(yīng)用于教學(xué)時(shí),經(jīng)典題型、例題才會信手拈來,才能帶著學(xué)生跳出題海,觸類旁通,化繁為簡.

2. 明確試題背景來源,解法規(guī)律和演變趨勢. 通過對試題背景的探究,我們可以做到精解一題、妙解一類,達(dá)到由例及類,舉一反三的目的,使學(xué)科素養(yǎng)固化于型、內(nèi)化于心,有效達(dá)到質(zhì)的飛躍.

3. 一題多解和多題一解. 一題多解與多題一解在教學(xué)中經(jīng)常會涉及到,前者在于拓寬解題思路,發(fā)散思維,培養(yǎng)學(xué)生積極思考的素質(zhì),后者在于引導(dǎo)學(xué)生對同類題型進(jìn)行歸納總結(jié),提高解題能力. 本文對經(jīng)典例題的深度分析,同一題目共提出8 種不同解法,幾乎涵蓋了高中各章節(jié)基礎(chǔ)知識,有效地幫助學(xué)生開闊其視野、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐意識、貫通各章節(jié)之間的聯(lián)系. 在鏈接高考時(shí)我們又提出多題一解,尋找多個(gè)題目的共性,總結(jié)出通解通法,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)歸納,提升其解題效率和數(shù)學(xué)思維.