朱調(diào)娟

(惠州經(jīng)濟職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院,廣東 惠州 516057)

0 引言

由于電路板厚度相比于電路板長度和寬度相差較大,電路板的加熱過程主要是上下表面到中心的傳熱過程.如果以電路板作為參照系,電路板在回焊爐中運動加熱的過程可簡化為電路板上下表面溫度隨時間變化的一維傳熱過程[1-2].在加熱過程中箱體內(nèi)空氣與電路板表面對流換熱、電路板內(nèi)熱傳導(dǎo)、加熱器件與電路板之間熱輻射三種熱量傳遞方式都有發(fā)生,是一個復(fù)雜的過程(圖1).

圖1 加熱過程中各種熱量傳遞方式示意圖

可靠的傳熱方程是進行控制優(yōu)化的基礎(chǔ),然而方程中諸如熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、輻射吸收強度等在不同的生產(chǎn)條件下都不盡相同,如果依賴于實驗測定,一方面增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度,另一方面不能與生產(chǎn)實際靈活匹配[3-4].簡便可行的方式是利用在電路板中心部署的測溫傳感器獲得的數(shù)據(jù),擬合出一組適用于當前生產(chǎn)條件的參數(shù).

加熱及風(fēng)冷裝置上下對稱布置,因此可以認為電路板沿縱向的溫度分布具有對稱性,取電路板厚度方向上的中心剖面作為絕熱面建立熱能傳遞方程[5-7].熱輻射和對流熱量都是從表面進入電路板的,適合采用第三類邊界條件:

(1)

1 建立差分方程

核心溫度的時間導(dǎo)數(shù)采用向前差商.對于二階導(dǎo)數(shù)項,考慮到只有核心的溫度數(shù)據(jù),缺少沿著板厚方向的數(shù)據(jù),因此不便插入其他分層,只能依賴邊界熱流做向前差商.

(2)

(3)

如果直接采用這樣的離散方式是難以進行良好的擬合和估計的.

聯(lián)立邊界的向后差商和熱流邊界條件:

還可以推出,邊界溫度是熱源和核心溫度之間的一種線性組合.

其中的組合系數(shù)只依賴于表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)b和板的厚度h,顯然這樣的常系數(shù)對邊界溫度復(fù)雜的非線性變化的描述不夠.采取在前后兩時間步使用不同組合系數(shù)的方式,增加在數(shù)值計算和擬合時非線性的程度.修正后的邊界溫度表示為

(4)

該時間步傳熱開始時邊界溫度表示為熱源和核心溫度線性組合的組合系數(shù)β,傳熱結(jié)束時組合系數(shù)變?yōu)棣?從而在每一個時間步內(nèi)邊界溫度的變化是非線性的,這兩個系數(shù)僅在每個單獨的時間步上有效,將α和β分別代入(2)式.

(5)

由于沿厚度方向缺少劃分點,依賴邊界條件得出的離散公式實際上很難直接用于擬合和估計.而沿時間方向有豐富的分點及測量數(shù)據(jù),因此要想提高計算精度和計算穩(wěn)定性,需要充分利用時間維度上的離散化.

(6)

將溫度對時間導(dǎo)數(shù)的泰勒公式作為出發(fā)點,將溫度對時間的二階導(dǎo)數(shù)項采用向前差商進行離散,并利用熱傳導(dǎo)方程將時間的一階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為對空間的二階導(dǎo)數(shù).

再利用(4)式可得到

(7)

將(6)式代入(5)式,對其中的一階導(dǎo)數(shù)項采用向后差商進行離散,整理可得到

u(0,ti+1)-u(0,ti)=(1-τA)(u(0,ti)-u(0,ti-1))+τAf(vti)-τBf(vti-1)+τCu(0,ti-1)+o(τρ).

由此得出回歸基本方程:

(8)

以及溫度演化關(guān)系:

(9)

2 擬合生產(chǎn)場景參數(shù)

回焊爐內(nèi)的爐溫為一分段函數(shù)f(z),在第i個溫區(qū)[l2i-1,l2i]內(nèi)溫度為Ti,在相鄰溫區(qū)間隔[l2i,l2i+1]上溫度為線性變化.

(10)

對核心溫度測量數(shù)據(jù)與f(z)在采樣點的取值,按(7)式進行多元線性回歸.

在圖2中,u為核心溫度的一系列采樣點,u*為按照擬合系數(shù)進行差分計算得到的核心溫度仿真結(jié)果,

f為爐溫函數(shù).

將得到的系數(shù)按照(8)式進行仿真模擬,由圖2可以看出,仿真模擬數(shù)據(jù)與實際測得的核心溫度之間有明顯的偏差.實際上這是因為在不同爐溫下輻射換熱強度不同,并且在回焊爐尾段其換熱的主要方式變?yōu)椴扇妼α鞯姆绞缴?這些在熱傳遞方程中都歸結(jié)為表面?zhèn)鳠嵯禂?shù).因此在不同工況下的熱傳導(dǎo)系數(shù)a和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)b應(yīng)取不同的值,進而采取分段回歸及仿真方式,按爐溫函數(shù)的分段設(shè)定為5個對應(yīng)階段,分別計算回歸系數(shù)并進行仿真,分段回歸系數(shù)見表1,仿真結(jié)果如圖3所示.仿真結(jié)果所反映出的溫度變化與實測核心溫度曲線吻合得很好.在圖4中,res表示分段擬合后按照差分計算仿真得到的殘差,res始終保持在-1.5℃～+1.5℃范圍內(nèi),說明采用(8)式進行數(shù)值計算時的累積誤差不明顯.

圖2 整體擬合時得到的溫度曲線

圖3 分段擬合時的仿真結(jié)果與采樣點測量值之間的關(guān)系

表1 分段回歸系數(shù)

圖4 仿真結(jié)果和實測值之間的殘差圖

圖5 修正后的仿真殘差正態(tài)概率圖

Δu(0,ti+1)=kΔu(0,ti)+o(τh)+o(τ2).

(11)

3 進一步修正

從圖4所示的殘差res曲線可以看出,當前仿真結(jié)果仍存在一定的系統(tǒng)誤差,這是因為在計算時將爐溫函數(shù)處理成了簡單的分段函數(shù),尤其是在溫區(qū)間隔上假定為線性變化,這在大范圍恒溫和溫差較大的地方產(chǎn)生明顯的誤差.考慮對爐溫函數(shù)進行修正,仍采用分段線性函數(shù),但是通過擴大相鄰溫區(qū)間隔這種最簡單的方式來強化溫區(qū)間的相互影響,修正后重新擬合誤差降至-0.5℃～+0.5℃范圍內(nèi),殘差曲線如圖4中的res_fix曲線所示.殘差正態(tài)概率如圖5所示,在圖5中絕大多數(shù)點在一條直線上,偏離較大的地方主要是冷卻段爐溫變化較大的地方,這些地方除了爐溫函數(shù)用分段線性可能不足以描述其變化的非線性性,還受到累積誤差的影響,這類模型計算時的累計誤差基本無法避免,從誤差的范圍來看,采用(9)式計算的累積誤差控制效果較好.

4 結(jié)語

擬合及仿真計算結(jié)果表明,本文建立的回歸方程(8)和相應(yīng)的差分方法(9),既有理論依據(jù),又與實際觀測數(shù)據(jù)有良好的吻合,不需要更多的外部數(shù)據(jù)和其他假設(shè),是一種可靠的僅利用核心溫度觀測數(shù)據(jù)就可以對回焊爐加熱過程進行估計和仿真的方法,可以進一步對加熱過程進行控制和優(yōu)化.