陳小彪 楊鎮(zhèn)丞 柴立臣 連高社

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系 山西太原 030008)

灰色系統(tǒng)理論是一種介于白盒子和黑盒子模型之間的一種科學(xué)理論。它基于不完全、不準(zhǔn)確、不確定的信息，使用數(shù)學(xué)方法和工程技術(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行分析、預(yù)測、控制和優(yōu)化。與白盒子模型、即完全確定的模型不同，灰色系統(tǒng)理論的分析對象是那些難以用傳統(tǒng)模型準(zhǔn)確描述或缺少關(guān)鍵參數(shù)的系統(tǒng)。與黑盒子模型、即只考慮輸入和輸出之間的關(guān)系而不考慮內(nèi)部結(jié)構(gòu)的模型不同，灰色系統(tǒng)理論還考慮系統(tǒng)內(nèi)部作用因素的影響?；疑到y(tǒng)理論在工業(yè)[1]、旅游、能源等預(yù)測問題中都有較好的應(yīng)用。GM（1,1）是灰色系統(tǒng)理論中的一種重要預(yù)測模型，GM（1,1）預(yù)測適用范圍廣，且在預(yù)測時，只需要輸入原始數(shù)據(jù)即可，不需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化、差分處理等操作，極大地方便了數(shù)據(jù)預(yù)處理過程，但GM（1,1）仍存在一些缺陷，影響了其實際應(yīng)用，GM（1,1）模型的預(yù)測結(jié)果對初始值的影響較大，且GM（1,1）模型容易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，在傳統(tǒng)模型中，GM（1,1）模型對于背景值的計算采用的是相鄰兩數(shù)據(jù)的均值，但從面積角度來看，曲邊梯形與直邊梯形之間具有非常顯著的差異，這就影響了模型的預(yù)測精度，所以，改進(jìn)模型的背景值是減少模型預(yù)測誤差的關(guān)鍵。

目前，許多學(xué)者對于GM（1,1）模型的背景值的算法進(jìn)行了深入分析，旨在找到減少模型誤差的有效方法，李凱[2]構(gòu)造的背景值在一定程度上減少了相對誤差，提高了代數(shù)精度。高寧[3]利用非齊次指數(shù)函數(shù)的方法來構(gòu)造背景值，在一定程度上提高了模型的適用性。楊旭[4]基于灰色理論構(gòu)造一種自適應(yīng)的監(jiān)測算法，在某種程度上增強了算法的適應(yīng)性。李嘉諾[5]從背景值等權(quán)和不等權(quán)方面拓展了灰色GM（1,1）模型的使用范圍。張麗潔[6]使用變權(quán)的方法優(yōu)化了模型的背景值，效果較好。事實上，構(gòu)造背景值的方法有多種，但都沒有從根本上解決GM（1,1）模型的缺陷與不足，所以要更加深入地探究如何構(gòu)造GM（1,1）的背景值，降低相對誤差，提高代數(shù)精度和模型穩(wěn)定性。

在傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型中，背景值都是采用均值的方法去替代，但這種替代方式并沒有結(jié)合點列的走向，均值替代并不能完全反映出點列的變化規(guī)律，影響到對點列的真實情況的判斷。這是造成背景值產(chǎn)生誤差的重要的原因之一，考慮到點列所構(gòu)成曲線的走向，因此想到采用插值與機械求積來構(gòu)造背景值。

1 傳統(tǒng)的GM（1,1）灰色預(yù)測模型

2 模型背景值的優(yōu)化

傳統(tǒng)GM（1,1）模型的背景值是采用均值來進(jìn)行計算，即

一般情況下，這樣構(gòu)造背景值會產(chǎn)生較大的誤差。為提高精度，可以采用先構(gòu)造插值函數(shù)，再對插值函數(shù)進(jìn)行積分，用積分的值去取代梯形的面積，此類方法較原模型具有更高的精確度。

在現(xiàn)實應(yīng)用場景中，所要預(yù)測問題的前提多為連續(xù)均勻變化的，所以采用等距的節(jié)的插值型求積公式。首先，要盡可能地提高代數(shù)精度，公式的階數(shù)也不能取得過大，因為過大n會造成龍格現(xiàn)象，反而會對預(yù)測造成干擾，故選擇柯特斯公式進(jìn)行求積。

上述公式采用的是階數(shù)n=4 時的牛頓柯特斯公式，提高了精度，同時也能較好地避免龍格現(xiàn)象，仍然保持該模型的適用性。采用柯特斯求積公式求背景值的方法如下。

為了更好地反映點列變化的趨勢并且防止采取的點過多而產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，以k、k+1、k+2、k+3 這樣的4個點作為插值節(jié)點，則可得到3次拉格朗日多項式Lk(t)為

將Lk(t)化簡得

式（9）中，k=1,2,…,n-3。

當(dāng)k=1，2，…，n-3，便可以解出z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n-2)。對于剩下無法用公式計算的z(1)(n-1)、z(1)(n)，則采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行計算。

綜上所述以得到利用柯特斯公式和拉格朗日插值的方法構(gòu)造的新的背景值公式z(1)(n-1)，z(1)(n)，最后可以簡化得新的背景值構(gòu)造公式為

3 數(shù)值實驗

3.1穩(wěn)定型數(shù)據(jù)序列

穩(wěn)定型數(shù)據(jù)序列是指具有單調(diào)性的序列，該序列具有穩(wěn)定的特征，且數(shù)據(jù)的完整性較高。采用穩(wěn)定型數(shù)據(jù)序列可以較好地反映出該預(yù)測方法的有效性與穩(wěn)定性。

表1 我國2011—2017年老年人口數(shù)的原始數(shù)據(jù)

為了驗證權(quán)值分配的方法對穩(wěn)定型數(shù)據(jù)序列的GM（1,1）模型的改進(jìn)效果與穩(wěn)定性，文章采用2011—2019 年的老年人口數(shù)進(jìn)行預(yù)測，計算其相對誤差，將各個方法的預(yù)測值與2018年、2019年的實際值進(jìn)行比較，從而證明該方法可以有效提高精確度。

下面分別采用傳統(tǒng)方法，李凱[2]構(gòu)造的方法和文章的構(gòu)造方法對2010—2017 年中國的老年人口數(shù)值進(jìn)行擬合，得到2018年和2019年的預(yù)測值且與實際值進(jìn)行比較。預(yù)測結(jié)果如表2所示。

表2 我國老年人口數(shù)的預(yù)測結(jié)果比較

通過比較和分析表2 的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)的灰色模型具有更高的精度，2018年和2019年的相對誤差率分別為1.76%、2.66%，相較于原模型和李凱等人的預(yù)測數(shù)據(jù)，誤差明顯降低，改進(jìn)后的模型具有較高的預(yù)測精度，能夠更好地反映數(shù)據(jù)序列未來的變化的趨勢。

3.2缺失型數(shù)據(jù)序列

缺失型數(shù)據(jù)序列，指在原數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失現(xiàn)象的這一類數(shù)據(jù)。由于數(shù)據(jù)不是完整的，這就會導(dǎo)致預(yù)測的難度增加。對這類數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，可以檢測預(yù)測模型對原始建模數(shù)據(jù)的恢復(fù)預(yù)測能力。

本文選擇的是2012 屆到2019 屆的我國研究生報考總?cè)藬?shù)，在缺少2020 屆的數(shù)據(jù)的情況下，預(yù)測2021屆的研究生報考總?cè)藬?shù)。2012 屆到2019 屆的報考總?cè)藬?shù)如表3所示，預(yù)測結(jié)果如表4所示。

表3 我國2012—2019年考研人數(shù)的原始數(shù)據(jù)

表4 我國考研人數(shù)的預(yù)測結(jié)果比較

通過比較可得，在缺少2020 屆的數(shù)據(jù)下，該文改進(jìn)的GM（1,1）模型相對誤差僅為11.9%低于原模型，文獻(xiàn)[2]的相對誤差，說明了即使在缺失型數(shù)據(jù)序列的下，改進(jìn)的GM（1,1）模型也能夠起到較好的預(yù)測效果。

4 結(jié)語

在傳統(tǒng)的GM（1,1）預(yù)測模型中，其誤差主要來自背景值的取值。但現(xiàn)在對背景值的構(gòu)造大多只是簡單地采用梯形公式與辛普森公式，所以造成其代數(shù)精度不夠高，或又是構(gòu)造插值函數(shù)選取的點列過多，造成過度擬合。文章基于柯特斯公式和拉格朗日插值構(gòu)建出新的GM（1,1）模型的背景值，并將模型應(yīng)用于我國老年人口數(shù)量的預(yù)測，經(jīng)過對比可以看出，改進(jìn)的GM（1,1）模型具有較高的精確度，且具有較好的預(yù)測穩(wěn)定性。