袁奎霖,靳宏義

(大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院,大連 116024)

船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)物在服役期間遭受交變環(huán)境載荷作用,疲勞破壞是其結(jié)構(gòu)失效的主要模式之一。目前,疲勞損傷分析方法主要分為時(shí)域方法和頻域方法?；谟炅饔?jì)數(shù)法的時(shí)域方法計(jì)算精度高且應(yīng)用范圍廣,因此常被作為評(píng)價(jià)其他計(jì)算方法準(zhǔn)確性的基準(zhǔn)。然而,在實(shí)際工程應(yīng)用中使用時(shí)域方法的計(jì)算代價(jià)往往過于龐大,與此相比,通過結(jié)構(gòu)物的應(yīng)力響應(yīng)功率譜來計(jì)算疲勞損傷的頻域方法則更為可行、有效[1-2]。

當(dāng)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)應(yīng)力響應(yīng)過程在頻域下為窄帶且服從高斯分布時(shí),其應(yīng)力幅值服從Rayleigh分布,疲勞損傷存在解析解。然而,對(duì)于寬帶高斯隨機(jī)應(yīng)力過程,仍采用理想窄帶假設(shè)方法計(jì)算疲勞損傷則難以保證準(zhǔn)確性。因此,學(xué)者們提出了一系列近似方法進(jìn)行寬帶隨機(jī)應(yīng)力疲勞損傷的評(píng)估,例如SM(single-moment)方法[3]、Dirlik方法[4]以及TB(Tovo-benasciutti)方法[5]等。對(duì)于船海結(jié)構(gòu)物,其結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)在功率譜上常常呈現(xiàn)出兩個(gè)分開的顯著峰值即高斯雙模態(tài)特征[6-8]。高斯雙模態(tài)隨機(jī)過程作為寬帶隨機(jī)過程的一種特例,需要專門處理此類問題的疲勞損傷頻域計(jì)算方法。

目前,高斯雙模態(tài)隨機(jī)過程疲勞損傷頻域分析方法中,最早的理論模型由Jiao等[9]提出,稱為JM方法。JM方法從雨流應(yīng)力循環(huán)的角度出發(fā),將疲勞損傷來源劃分為大應(yīng)力循環(huán)和小應(yīng)力循環(huán)兩個(gè)部分。在該理論框架下,Fu等[10]改進(jìn)了大、小循環(huán)的計(jì)數(shù)規(guī)則,認(rèn)為大循環(huán)與小循環(huán)的總循環(huán)次數(shù)等于高頻過程的循環(huán)次數(shù),而大循環(huán)的循環(huán)次數(shù)則與低頻過程循環(huán)次數(shù)相等,從而提出了FC方法。Benasciutti等[11]對(duì)FC方法進(jìn)行了修正,將大循環(huán)計(jì)數(shù)單獨(dú)修正為JM法的計(jì)數(shù)規(guī)則。Low[12]通過引入相位角參數(shù)進(jìn)一步反映了低頻分量與高頻分量間的相互作用,使得Low方法的精度較JM方法有了大幅提升,但該方法需要計(jì)算變上限三重積分,導(dǎo)致其難以在實(shí)際工程中得到廣泛應(yīng)用。

近年來,有學(xué)者[13-15]從功率譜分割的思想出發(fā),提出了一系列新的高斯雙模態(tài)疲勞損傷分析方法。Benasciutti等[13]率先提出了功率譜分割法,即將功率譜離散為許多份足夠窄的頻帶,認(rèn)為每個(gè)窄帶過程均為服從Rayleigh分布的理想窄帶高斯隨機(jī)過程,并利用PbP(projection-by-projection)準(zhǔn)則對(duì)每個(gè)窄帶過程的損傷進(jìn)行組合來計(jì)算總疲勞損傷。Gao等[14]指出基于PbP準(zhǔn)則的功率譜分割法忽略了低頻模態(tài)與高頻模態(tài)間的耦合作用,通過引入模態(tài)耦合系數(shù)對(duì)原有功率譜分割法[13]進(jìn)行了改進(jìn),提出GZ方法。類似于功率譜分割法,Braccesi等[15]將功率譜離散后得到的各個(gè)窄帶視作相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,從隨機(jī)變量疊加和損傷等效的角度出發(fā)提出了頻帶法(Bands method,BM)。該方法的計(jì)算過程僅涉及零階譜矩,便于編程且計(jì)算量少,適合在實(shí)際工程中應(yīng)用。

然而,采用現(xiàn)有頻帶法計(jì)算高斯雙模態(tài)疲勞損傷時(shí),由于未能考慮到有別于一般寬帶過程的雙模態(tài)特征,隨著高頻模態(tài)與低頻模態(tài)能量比的降低和特征頻率比的增大,頻帶法結(jié)果與雨流法結(jié)果的差異逐漸增大[15]。針對(duì)該問題,本文在頻帶法基礎(chǔ)上考慮了雙模態(tài)過程中高頻模態(tài)與低頻模態(tài)間的相互作用,提出了一種適用于高斯雙模態(tài)隨機(jī)疲勞損傷分析的改進(jìn)頻帶法。首先,針對(duì)雙模態(tài)過程中的高頻模態(tài)和低頻模態(tài)分別利用頻帶法進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換得到相應(yīng)的等效窄帶過程。然后,將高頻等效窄帶過程向低頻等效窄帶過程再次進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換,同時(shí)引入與頻率比γ、能量比β以及S-N曲線材料參數(shù)m有關(guān)的修正因子μ對(duì)第2次等效過程中的高頻零階譜矩進(jìn)行修正。最后,可利用基于窄帶假設(shè)的疲勞損傷解析解計(jì)算的等效窄帶過程的疲勞損傷即高斯雙模態(tài)隨機(jī)過程的總疲勞損傷。

1 窄帶高斯隨機(jī)過程疲勞損傷分析基本理論

1.1 隨機(jī)過程的譜參數(shù)

對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程X(t)而言,其單邊功率譜密度函數(shù)為SXX(ω),則其n階譜矩定義如下:

(1)

式中ω為角頻率,rad/s。譜矩可以對(duì)隨機(jī)過程的帶寬進(jìn)行表征,工程中常用的Vanmarcke帶寬系數(shù)δ[16]定義為

(2)

式中δ的取值范圍為[0,1.0]。當(dāng)δ越趨近于0時(shí),表明該隨機(jī)過程越趨近于理想窄帶隨機(jī)過程,反之則為寬帶隨機(jī)過程。工程上一般認(rèn)為δ<0.1時(shí),可將一個(gè)隨機(jī)過程近似看作窄帶隨機(jī)過程。

根據(jù)隨機(jī)過程理論,X(t)的平均跨零率ν0和平均峰值率νp也可以利用譜矩進(jìn)行表示:

(3)

1.2 理想窄帶高斯隨機(jī)過程的疲勞損傷解

根據(jù)Palmgren-Miner線性累積損傷理論,隨機(jī)應(yīng)力過程在作用時(shí)間T下的疲勞損傷可表示為

(4)

式中:νp為單位時(shí)間內(nèi)應(yīng)力循環(huán)數(shù),即平均峰值率;fS(s)為應(yīng)力范圍S的概率密度函數(shù);m、K分別為S-N曲線中的材料參數(shù),其中N=K·S-m,表示在應(yīng)力范圍在S這一水平下,材料發(fā)生疲勞破壞所需的應(yīng)力循環(huán)數(shù)為N。

對(duì)于一個(gè)零均值窄帶高斯隨機(jī)過程X(t),其應(yīng)力峰值服從Rayleigh分布,且應(yīng)力峰值和谷值在每一個(gè)循環(huán)中對(duì)稱出現(xiàn),由此可知應(yīng)力幅值R服從Rayleigh分布如下:

(5)

由于應(yīng)力范圍S是應(yīng)力幅值R的2倍,也服從Rayleigh分布,并且平均峰值率νp等于平均跨零率ν0,由式(4)、(5)可得時(shí)間T范圍內(nèi)的窄帶疲勞損傷的解析解為

(6)

式中Γ(·)為gamma函數(shù)。

2 基于改進(jìn)頻帶法的高斯雙模態(tài)疲勞損傷分析方法

2.1 頻帶法基本原理

Braccesi等[15]于2015年提出了一種基于頻帶法的疲勞損傷頻域評(píng)估方法。將一個(gè)高斯隨機(jī)過程的功率譜切分為n份足夠窄的頻帶,每一頻帶由其中心頻率ωi表征,其應(yīng)力幅值服從Rayleigh分布,并將它們看作是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。對(duì)于窄帶隨機(jī)過程,平均跨零率ν0i與其中心頻率ωi之間關(guān)系為ν0i=ωi/2π,每一個(gè)窄帶頻段的平均跨零率ν0i都不相同。因此需要將這些窄帶過程按照一定規(guī)則進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換后,計(jì)算等效過程的零階譜矩再進(jìn)行疊加得到一個(gè)總的零階譜矩,進(jìn)而可利用基于窄帶假設(shè)的解析解計(jì)算總疲勞損傷。

由于每個(gè)窄帶的中心頻率并不相等,在進(jìn)行零階譜矩加和之前需要將這些窄帶的中心頻率ωi“移動(dòng)”至某一固定頻率處,即參考頻率ωr。由Braccesi等[15]的研究可知,該參考頻率可任意取值且對(duì)計(jì)算結(jié)果無影響。如圖1所示,根據(jù)損傷等效原則將第i個(gè)窄帶頻段中心頻率ωi移動(dòng)至參考頻率ωr后,存在如下關(guān)系:

圖1 頻帶法示意圖

(7)

式中:ν0i、λ0i分別為第i個(gè)窄帶的平均跨零率和零階譜矩,ν0r為在參考頻率處等效頻帶的平均跨零率,λ0ri為第i個(gè)窄帶等效后的零階譜矩。由式(7)可得

(8)

考慮ν0i=ωi/2π和ν0r=ωr/2π,式(8)可改寫為

(9)

對(duì)每一個(gè)窄帶頻段進(jìn)行上述等效操作之后,可得到一個(gè)中心頻率為參考頻率ωr且零階譜矩為等效零階譜矩總和λ0r的等效窄帶過程,如圖1所示。等效窄帶過程的零階譜矩可由下式計(jì)算:

(10)

將式(10)代入式(6)可得到等效窄帶過程的疲勞損傷為

(11)

2.2 改進(jìn)頻帶法

對(duì)于雙模態(tài)功率譜,當(dāng)高頻模態(tài)和低頻模態(tài)中心頻率相距較遠(yuǎn)或存在寬帶模態(tài)時(shí),整個(gè)功率譜的帶寬系數(shù)會(huì)較大,采用現(xiàn)有頻帶法進(jìn)行損傷等效轉(zhuǎn)換而產(chǎn)生的誤差會(huì)明顯增大。因此,本文在原有頻帶法的基礎(chǔ)上,通過引入修正因子以考慮雙模態(tài)過程中高頻模態(tài)與低頻模態(tài)之間的相互作用,從而提出改進(jìn)頻帶法。

圖2 針對(duì)雙模態(tài)過程的改進(jìn)頻帶法示意圖

(12)

(13)

2.3 修正因子μ的確定

圖3 理想矩形雙模態(tài)功率譜

本文以船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象,選取的特征參數(shù)γ、β和m的具體取值如下:γ=3,4,5,…,15,β=0.1,0.2,…,1.0,2.0,…,10.0,m=3,4,5。需要指出,在已往研究中發(fā)現(xiàn),采用由理想矩形雙模態(tài)功率譜確定修正因子μ時(shí),需要根據(jù)計(jì)算工況中的高頻模態(tài)是窄帶過程或是寬帶過程進(jìn)行區(qū)分。對(duì)于計(jì)算工況為“窄帶低頻+窄帶高頻”和“寬帶低頻+窄帶高頻”兩種情況,采用雙窄帶功率譜擬合修正因子μ,其中高頻和低頻模態(tài)的Vanmarcke帶寬系數(shù)均設(shè)為0.03以保證其滿足窄帶假設(shè)。對(duì)于計(jì)算工況為“窄帶低頻+寬帶高頻”和“寬帶低頻+寬帶高頻”的情況,則采用高頻和低頻模態(tài)的Vanmarcke帶寬系數(shù)均設(shè)為0.3的雙寬帶功率譜進(jìn)行擬合。

在建立μ值與特征參數(shù)γ、β和m之間的關(guān)系式時(shí),參考Gao等[14]的工作,在固定材料參數(shù)m的前提下建立修正因子μ以γ和β為自變量的函數(shù)式如下:

μ=[P1+P2·ln(γ)+P3·ln(β)+P4·[ln(γ)]2+

P5·[ln(β)]2+P6·ln(γ)·ln(β)]/

[1+P7·ln(γ)+P8·ln(β)+P9·[ln(γ)]2+P10·

[ln(β)]2+P11·ln(γ)·ln(β)]

(14)

式中,P1～P11為11個(gè)待定擬合系數(shù)。此外,當(dāng)材料參數(shù)m不同時(shí),μ與γ和β的非線性關(guān)系是存在差異的,擬合系數(shù)P1～P11也相應(yīng)有所變化。因此針對(duì)高頻模態(tài)為窄帶或是寬帶,不同m值對(duì)應(yīng)的擬合系數(shù)P1～P11的數(shù)值見表1。在船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)物領(lǐng)域,m=3,4,5為較為常見的S-N曲線材料參數(shù)。

表1 擬合系數(shù)P1至P11

3 算例驗(yàn)證

3.1 理想雙模態(tài)矩形譜

本文先以理想矩形雙模態(tài)功率譜為算例,以時(shí)域方法計(jì)算雨流損傷值作為參考值對(duì)本文提出的改進(jìn)頻帶法進(jìn)行計(jì)算精度驗(yàn)證,并與Low法[12]、GZ法[14]、TB法[5]以及頻帶法(BM法)[15]進(jìn)行對(duì)比。如修正因子μ的確定中提到,窄帶高頻的修正因子μ對(duì)于“窄帶低頻+窄帶高頻”和“寬帶低頻+窄帶高頻”兩種情況是同樣適用的,而寬帶高頻的修正因子μ適用于“窄帶低頻+寬帶高頻”和“寬帶低頻+寬帶高頻”的組合,即兩組修正因子對(duì)于低頻為窄帶或?qū)拵н^程并不敏感。由于篇幅考慮,本文僅展示“窄帶低頻+窄帶高頻”和“寬帶低頻+寬帶高頻”兩種雙模態(tài)矩形譜的驗(yàn)證結(jié)果。

對(duì)于“窄帶低頻+窄帶高頻”的雙模態(tài)矩形譜驗(yàn)證算例,低頻和高頻模態(tài)的Vanmarcke帶寬系數(shù)設(shè)為δLF=δHF=0.052 4。圖4給出了S-N曲線材料系數(shù)K=1,m=3和m=5,頻率比γ=3、6、9,能量比β=0.1、0.5、1.0、2.0、5.0、10.0的“窄帶低頻+窄帶高頻”雙模態(tài)矩形譜各頻域方法結(jié)果與時(shí)域雨流法結(jié)果的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差的定義為

圖4 窄帶低頻+窄帶高頻矩形譜下各方法計(jì)算結(jié)果相對(duì)于雨流法的相對(duì)誤差

(15)

式中,D、DRFC分別為頻域方法和時(shí)域雨流法所計(jì)算得到的疲勞損傷值。

由圖4可知,當(dāng)m=3時(shí),由于頻帶法忽略了高頻與低頻間的相互作用,其在能量比β=0.10時(shí)的計(jì)算誤差與其他方法相比要大的多。相比之下,本文所提出的改進(jìn)頻帶法在計(jì)算精度上有顯著提升,且與Low法和GZ法精度相當(dāng)。此外,作為通用寬帶譜方法的TB法在處理雙模態(tài)問題時(shí)精度略差。當(dāng)m=5時(shí),因?yàn)槠趽p傷與應(yīng)力循環(huán)的非線性關(guān)系會(huì)隨著m的增大而增強(qiáng),此時(shí)TB法與頻帶法的誤差都明顯增大。同樣,Low法的精度與m=3時(shí)相比略微下降。只有GZ法和本文的改進(jìn)頻帶法依然保持較好的計(jì)算精度,最大誤差均在3%以內(nèi)。

對(duì)于“寬帶低頻+寬帶高頻”的雙模態(tài)矩形譜驗(yàn)證算例,低頻和高頻模態(tài)的Vanmarcke帶寬系數(shù)分別設(shè)為δLF=0.148 0和δHF=0.256 4。圖5展示了S-N曲線材料系數(shù)K=1,m=3和m=5,頻率比γ=3、6、9,能量比β=0.1、0.5、1.0、2.0、5.0、10.0的“寬帶低頻+寬帶高頻”雙模態(tài)矩形譜的分析結(jié)果,其中GZ(M=4)表示采用GZ方法處理高頻模態(tài)時(shí)需要?jiǎng)澐?個(gè)子模態(tài)[14]。

圖5 寬帶低頻+寬帶高頻矩形譜下各方法計(jì)算結(jié)果相對(duì)于雨流法的相對(duì)誤差

由圖5可知,當(dāng)m=3時(shí),頻帶法在能量比β≤1.0時(shí)的計(jì)算誤差仍是5種方法中最大的,最大誤差達(dá)到了-16%。盡管Low法是基于雙窄帶假設(shè)推導(dǎo)的,但是對(duì)于雙寬帶工況在m=3時(shí),依然保持較為準(zhǔn)確的精度,最大誤差約為-9%。TB法的計(jì)算精度尚可,誤差均在7%以內(nèi)。參照Gao等[14],采用GZ法時(shí)將寬帶高頻模態(tài)劃分為4個(gè)子模態(tài)后,可以得到非常準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果,絕大多數(shù)誤差都在3%以內(nèi)。相比于其他4種方法,本文提出的改進(jìn)頻帶法的計(jì)算精度最好,誤差均在1%以內(nèi)。當(dāng)m=5時(shí),Low法、TB法和頻帶法與雨流法相比均出現(xiàn)了較大的偏差,最大誤差分別為-19%、-22%和-28%。GZ法的計(jì)算結(jié)果依然保持很好的精度,絕大部分結(jié)果誤差控制在5%以內(nèi),最大誤差也未超過8%。相比之下,改進(jìn)頻帶法對(duì)于雙寬帶工況依然保持良好的精度,最大誤差未超過2%。

3.2 真實(shí)雙模態(tài)應(yīng)力譜

由于理想雙模態(tài)矩形譜和真實(shí)雙模態(tài)應(yīng)力譜仍存在一定的差異,因此有必要選取船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)遭受的一些真實(shí)響應(yīng)譜對(duì)本文所提出方法的有效性進(jìn)一步進(jìn)行驗(yàn)證。第1個(gè)算例為如圖6所示的“佛蒂尼”號(hào)遠(yuǎn)洋散貨船實(shí)船測(cè)得的應(yīng)力響應(yīng)譜[7],其中包含了兩個(gè)比較明顯的峰值,第1個(gè)峰值對(duì)應(yīng)波頻響應(yīng),第2個(gè)峰值為該船的二階共振頻率。該功率譜中雙模態(tài)的參數(shù)信息見表2,其中低頻模態(tài)帶寬系數(shù)δLF=0.344 7,高頻模態(tài)帶寬系數(shù)δHF=0.076 1。因此,該雙模態(tài)功率譜為“寬帶低頻+窄帶高頻”的組合,應(yīng)采用修正因子μ的確定中窄帶高頻對(duì)應(yīng)的修正因子μ。分別采用改進(jìn)頻帶法、Low法、GZ法、TB法以及頻帶法對(duì)實(shí)測(cè)應(yīng)力譜進(jìn)行疲勞損傷評(píng)估,各方法計(jì)算結(jié)果與雨流法結(jié)果的誤差見表3?？梢钥闯鲈趍=3,4,5時(shí),Low方法、GZ法和改進(jìn)頻帶法的計(jì)算結(jié)果與雨流法結(jié)果非常接近,相對(duì)誤差均在1%以內(nèi),優(yōu)于TB法和頻帶法。

表2 功率譜中各模態(tài)參數(shù)信息

表3 算例1中各頻域方法結(jié)果相對(duì)于雨流法結(jié)果的相對(duì)誤差

圖6 大型船舶彈振響應(yīng)雙模態(tài)譜[7]

第2個(gè)算例為如圖7所示的某海洋工程結(jié)構(gòu)的雙模態(tài)響應(yīng)譜[8],低頻模態(tài)對(duì)應(yīng)涌浪響應(yīng),高頻模態(tài)對(duì)應(yīng)波頻響應(yīng)。該功率譜中雙模態(tài)的參數(shù)信息見表2,其中低頻模態(tài)帶寬系數(shù)δLF=0.090 2,高頻模態(tài)帶寬系數(shù)δHF=0.319 5。因此,該雙模態(tài)功率譜為“窄帶低頻+寬帶高頻”的組合,應(yīng)采用修正因子μ的確定中寬帶高頻對(duì)應(yīng)的修正因子μ。表4給出了當(dāng)m=3,4,5時(shí),Low法、TB法、GZ法、頻帶法以及改進(jìn)頻帶法的計(jì)算結(jié)果與雨流法結(jié)果的對(duì)比誤差?？梢钥闯?對(duì)于該工況Low法的計(jì)算誤差在5種方法中是最大的,最大誤差已達(dá)到-22.97%。與Low法相比,TB法和頻帶法的計(jì)算精度略好,最大誤差分別為-11.59%和-7.21%。GZ法和改進(jìn)頻帶法給出的結(jié)果仍然與雨流結(jié)果非常接近,相對(duì)誤差均在3%以內(nèi)。

表4 算例2中各頻域方法結(jié)果相對(duì)于雨流法結(jié)果的相對(duì)誤差

圖7 涌浪和波頻響應(yīng)雙模態(tài)譜[8]

4 結(jié) 論

1)現(xiàn)有頻帶法在計(jì)算高斯雙模態(tài)隨機(jī)過程疲勞損傷時(shí)仍然保持一定的準(zhǔn)確性。但當(dāng)雙模態(tài)過程的能量比變小和頻率比變大時(shí),該方法與雨流結(jié)果之間的誤差逐漸增大,最大誤差可達(dá)到-30%左右。

2)與現(xiàn)有頻帶法相比,本文提出的改進(jìn)頻帶法通過引入與頻率比、能量比以及S-N曲線材料參數(shù)m有關(guān)的修正因子μ對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正使其與雨流結(jié)果更加接近,計(jì)算精度明顯提高。

3)對(duì)于高斯雙模態(tài)隨機(jī)過程,改進(jìn)頻帶法中修正因子μ的經(jīng)驗(yàn)公式適用范圍為頻率比γ=3～15,能量比β=0.1～10.0和S-N曲線材料參數(shù)m=3,4,5。通過大量數(shù)值試驗(yàn)對(duì)改進(jìn)頻帶法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證,并與Low法、TB法、GZ法以及頻帶法進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果表明本文提出的新方法具有精度高、適用性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn),并且理論簡(jiǎn)單、易于編程實(shí)現(xiàn)。