彭珍瑞,張亞峰,張雪萍

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070)

用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為精確的參考數(shù)據(jù)來改進(jìn)有限元預(yù)測,稱為有限元模型修正[1]。當(dāng)前多數(shù)模型修正方法屬于確定性方法,沒有考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)的不確定性,降低了其工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。然而,大多數(shù)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)、幾何尺寸和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定性廣泛存在。因此,研究涉及不確定性分析的有限元模型修正非常必要[2-3]。

在模型修正過程中,使用代理模型代替有限元模型可減小計(jì)算量,是解決復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的有效途徑之一[4]。常見的代理模型中,徑向基(Radial basis function,RBF)模型結(jié)構(gòu)簡單,預(yù)測精度高,廣泛應(yīng)用于土木、航天和機(jī)械等領(lǐng)域[5]。因此,本文選用RBF模型為模型修正的代理模型。

近年來,眾多學(xué)者研究了考慮不確定性的模型修正方法,并取得了一定的成果。不確定性有限元模型修正主要可分為概率和非概率方法,基于概率的模型修正一般為隨機(jī)模型修正方法,基于非概率的模型修正有模糊方法和區(qū)間分析方法[6]。概率方法需要豐富的試驗(yàn)數(shù)據(jù)以得到較準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)信息,計(jì)算成本高[7];基于模糊數(shù)學(xué)的模糊方法在確定隸屬函數(shù)時(shí)容易引入額外的不確定性[8];區(qū)間分析方法對(duì)數(shù)據(jù)要求低,適用于缺乏數(shù)據(jù)信息的情況[9]。Fang等[10]將區(qū)間響應(yīng)面模型用于區(qū)間模型修正,實(shí)現(xiàn)參數(shù)和響應(yīng)的區(qū)間估計(jì)。駱勇鵬等[11]提出一種基于響應(yīng)面的靈敏度模態(tài)區(qū)間分析方法,通過比較相對(duì)模態(tài)區(qū)間靈敏度判斷結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)參數(shù)的敏感程度。姜東等[12]采用區(qū)間擴(kuò)張理論與靈敏度方法,用于不確定性和初始有限元模型誤差均較小情況的有限元模型修正。Deng等[13]提出了一種利用一階攝動(dòng)法和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間識(shí)別的兩步確定性修正方法。Wang等[14]提出了一種改進(jìn)的參數(shù)攝動(dòng)法來預(yù)測不確定結(jié)構(gòu)的特征值區(qū)間,該方法考慮了計(jì)算效率,但它依賴于區(qū)間變量的初始值和不確定程度。Deng等[15]提出了一種結(jié)構(gòu)不確定性度量區(qū)間識(shí)別策略,可以得到系統(tǒng)響應(yīng)的精確區(qū)間估計(jì)。Zheng等[8]提出了一種利用泛灰數(shù)學(xué)和高斯過程回歸模型的兩步區(qū)間模型修正方法。上述區(qū)間模型修正研究均以結(jié)構(gòu)振動(dòng)的模態(tài)參數(shù)作為響應(yīng)量,相比于模態(tài)參數(shù),結(jié)構(gòu)振動(dòng)的頻響函數(shù)(Frequency response function,FRF)則包含了更充分的結(jié)構(gòu)信息,能夠更加準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。同時(shí),采用FRF進(jìn)行模型修正可以有效避免由模態(tài)分析所引入的誤差[16-17]。此外,小波變換是進(jìn)行信號(hào)時(shí)頻研究的重要工具,可以聚焦信號(hào)的細(xì)節(jié)特征,已被廣泛應(yīng)用于水文、地震勘探、生態(tài)保護(hù)和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域的預(yù)測研究[18]。本文對(duì)加速度FRF小波變換提取低頻小波系數(shù)作為響應(yīng)特征量進(jìn)行模型修正。

綜上所述,本文提出了基于加速度頻響函數(shù)的區(qū)間有限元模型修正方法。首先構(gòu)造RBF代理模型并對(duì)RBF模型方差值進(jìn)行了優(yōu)選;然后利用區(qū)間重疊率和巴氏距離分別構(gòu)造兩步和同步修正所需要的目標(biāo)函數(shù),用來度量兩個(gè)樣本區(qū)間分布的相似性和相異性;最后結(jié)合灰色數(shù)學(xué)方法,運(yùn)用花朵授粉算法分別進(jìn)行兩步和同步待修正參數(shù)區(qū)間的求解。通過支撐框架結(jié)構(gòu),空間桁架結(jié)構(gòu)和簡支梁結(jié)構(gòu)驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 小波變換

小波變換通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)多尺度細(xì)化,最終高頻處時(shí)間細(xì)分,低頻處頻率細(xì)分,凸顯問題某些方面的特征。對(duì)一維信號(hào)y(t)的小波變換,給定一個(gè)基函數(shù),令

(1)

式中:a為伸縮因子且大于0,b為平移因子。為了計(jì)算方便,在實(shí)際分析和應(yīng)用中需要將連續(xù)小波及小波系數(shù)進(jìn)行離散化處理,則y(t)的小波變換為

(2)

式中,WTy(a,b)為y(t)的小波系數(shù)。在一定的頻率點(diǎn)數(shù)下,小波分解層數(shù)過少會(huì)使每層小波系數(shù)過多,計(jì)算量過高,反之,分解層數(shù)過多會(huì)使每層小波系數(shù)過少而影響模型修正效果。通過對(duì)比多次試驗(yàn)效果,本文設(shè)定基函數(shù)為db3,分解層數(shù)為4、5層。對(duì)加速度FRF進(jìn)行小波變換,提取低頻小波系數(shù)作為構(gòu)造RBF模型的輸出,也作為加速度FRF的響應(yīng)特征量進(jìn)行模型修正。

2 RBF模型的構(gòu)造

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本原理

在d維設(shè)計(jì)空間中生成一組數(shù)量為N的初始樣本點(diǎn)x=[x1,x2,…,xN]∈Rd,目標(biāo)的真實(shí)響應(yīng)值為y(x1),y(x2),…,y(xN),RBF插值函數(shù)的數(shù)學(xué)形式為

(3)

式中:N為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),wk為權(quán)值系數(shù),‖·‖為歐氏距離,φ(·)為基函數(shù)。

由s(xk)=y(xk)可得:Φ·W=Y,即W=Φ-1·Y,其中

式中:W=(w1,w2,…,wk)T為權(quán)系數(shù)向量,Y=[y(x1),y(x2),…,y(xk)]T為樣本點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)向量。選用應(yīng)用較廣的高斯插值基函數(shù),表達(dá)式為

(4)

式中:r=‖x-xk‖為當(dāng)前預(yù)測點(diǎn)與任意樣本點(diǎn)之間的歐氏距離,σ2為方差。

2.2 RBF模型的構(gòu)造及驗(yàn)證

建立一個(gè)嚴(yán)格RBF模型,需要先設(shè)定高斯插值基函數(shù)的方差值,方差直接影響模型預(yù)測精度。通過鯨魚優(yōu)化算法(Whale optimization algorithm,WOA)優(yōu)選最佳方差值。WOA以泡泡網(wǎng)搜索策略為靈感,主要步驟為包圍獵物、氣泡網(wǎng)攻擊和搜索獵物[19]。

采用拉丁超立方抽樣方法抽取初始待修正參數(shù)±20%區(qū)間內(nèi)的樣本,將其分為訓(xùn)練集和測試集。建立目標(biāo)函數(shù):

(5)

(6)

3 灰色數(shù)學(xué)方法

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中所能獲得的樣本信息非常有限,且具有不確定性?；疑珨?shù)學(xué)方法需要的樣本量小,主觀依賴性小,具有效率高和精度高的優(yōu)點(diǎn)[9]。在工程問題中,不確定信息可以使用灰色數(shù)學(xué)方法來獲得實(shí)際值的區(qū)間估計(jì),其基本原理如下。

對(duì)一組初始不規(guī)則數(shù)據(jù):

Y={y(c),c=1,2,…,n}

(7)

將數(shù)據(jù)從小到大排列,得到:

Y(0)={y(0)(c),c=1,2,…,n}

(8)

把Y(0)的元素按順序相加,得到一個(gè)新的Y(1)序列:

Y(1)={y(1)(c),c=1,2,…,n}={y(0)(1),y(0)(1)+

y(0)(2),…,y(0)(1)+y(0)(2)+…+y(0)(n)}

(9)

定義:

(10)

4 區(qū)間分析理論

不確定度量用以表征理論分析響應(yīng)和測量響應(yīng)之間的區(qū)間一致性,反映兩個(gè)區(qū)間分布的相似性和相異性,它直接影響模型修正的精度。

4.1 區(qū)間重疊率

(11)

定義區(qū)間P和區(qū)間Q的區(qū)間重疊率(Interval overlap ratio,IOR)[15]為

(12)

式中:運(yùn)算符∪、∩分別為并集、交集;len(P∩Q)、len((P∪Q)-(P∩Q))分別為表征區(qū)間P和區(qū)間Q之間的相似程度和不相似程度。由式(12)可知,在P=Q的情況下,IOR(P|Q)=1。對(duì)于區(qū)間模型修正問題,利用IOR(P|Q)可以度量理論分析數(shù)據(jù)和測量數(shù)據(jù)之間區(qū)間分布的相似性。

4.2 區(qū)間巴氏距離

巴氏距離用來度量兩個(gè)概率分布之間的相似性,巴氏距離越小,表示兩個(gè)概率分布越相似[20]。在高斯分布下U=N(mU,θU)和V=N(mV,θV)的巴氏距離為

(13)

式中:θ=(θU+θV)/2。本文將式(13)中概率分布的均值和方差定義為區(qū)間分布的區(qū)間中點(diǎn)和半徑。將高斯分布下的巴氏距離推廣應(yīng)用于區(qū)間有限元模型修正,度量兩個(gè)區(qū)間分布的相似性,稱為區(qū)間巴氏距離,表示為

(14)

5 模型修正過程

花朵授粉算法(Flower pollination algorithm,FPA)具有異花授粉(全局尋優(yōu))和自花授粉(局部尋優(yōu))兩大特性。異花授粉過程可以逃離任何局部景觀,進(jìn)而探索更大的空間;自花授粉過程使相似的解被更頻繁地選擇,本質(zhì)上是指數(shù)收斂,收斂速度更高,性能優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法[21]。本文運(yùn)用FPA分別進(jìn)行兩步和同步的區(qū)間有限元模型修正。

結(jié)構(gòu)待修正參數(shù)具有不確定性,將其描述為實(shí)數(shù)域R內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)間:

(15)

1)兩步修正參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑。第1步求解結(jié)構(gòu)待修正參數(shù)的區(qū)間中點(diǎn)。建立目標(biāo)函數(shù):

(16)

(17)

2)同步修正參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑。首先抽取200個(gè)參數(shù)區(qū)間樣本,通過已構(gòu)造的RBF模型預(yù)測樣本響應(yīng)特征量;然后使用灰色數(shù)學(xué)方法估計(jì)響應(yīng)特征量區(qū)間中點(diǎn)和半徑;最后運(yùn)用FPA直接以式(14)為目標(biāo)函數(shù)同時(shí)求解待修正參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑。其中,在每次同時(shí)求解參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑迭代過程中,同樣抽取200個(gè)區(qū)間樣本參與有限元模型修正。值得說明,式(14)完全可以替換式(17),實(shí)現(xiàn)兩步修正參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑,由于篇幅所限,不再詳細(xì)說明。

6 算 例

6.1 數(shù)值算例1

如圖2所示支撐框架結(jié)構(gòu),采用空間剛架單元模擬該結(jié)構(gòu)的有限元模型。該結(jié)構(gòu)共有54個(gè)節(jié)點(diǎn),144個(gè)自由度,70個(gè)梁單元和6個(gè)邊界支撐。其中,1～6為邊界上的固定節(jié)點(diǎn)。箭頭表示激勵(lì)位置,?表示測點(diǎn)位置。選擇結(jié)構(gòu)彈性模量E和材料密度d的區(qū)間中點(diǎn)及半徑為模型待修正參數(shù),初始有限元模型E和d的區(qū)間中點(diǎn)分別為231 GPa和7 020 kg/m3,試驗(yàn)?zāi)Ｐ虴和d的區(qū)間中點(diǎn)分別為210 GPa和7 800 kg/m3,區(qū)間半徑分別為3 GPa和100 kg/m3。初始有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ虴和d的區(qū)間中點(diǎn)的相對(duì)誤差分別為10%和-10%。

圖2 支撐框架結(jié)構(gòu)

本算例中選擇500個(gè)頻率點(diǎn),設(shè)定小波變換分解層數(shù)為5。根據(jù)所述方法,通過WOA優(yōu)化確定最佳方差值來建立RBF模型,得到RBF模型的方差值為0.089 3。然后計(jì)算得到RMSE為9.29×10-5,說明構(gòu)造的RBF模型預(yù)測精度較高。為進(jìn)一步評(píng)估RBF模型的預(yù)測精度,圖3給出了測試集樣本第2和第10響應(yīng)特征量的有限元模型計(jì)算值和RBF模型預(yù)測值,從圖3可以看到,有限元模型計(jì)算值和RBF模型預(yù)測值幾乎全部重合,可以代替有限元模型。

圖3 測試集樣本的預(yù)測值和真實(shí)值

6.1.1 兩步修正

以試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑抽取50個(gè)樣本進(jìn)行計(jì)算有限元模型加速度FRF,通過小波變換并提取第5層低頻小波系數(shù)作為仿真試驗(yàn)響應(yīng)特征量,使用灰色數(shù)學(xué)方法評(píng)估響應(yīng)特征量區(qū)間。然后按照所述兩步修正過程,通過FPA第1步迭代求解結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間中點(diǎn),第2步迭代求解待修正參數(shù)的區(qū)間半徑,修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)果見表1。

表1 結(jié)構(gòu)修正前、后的參數(shù)區(qū)間

從表1可以看出,修正后的相對(duì)誤差較小,表明所提兩步進(jìn)行區(qū)間模型修正取得了很好的效果,對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間的修正是精確的,也表明了所提方法可以有效地解決試驗(yàn)小樣本的區(qū)間模型修正問題。為進(jìn)一步驗(yàn)證修正效果,使用表1中修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間抽取50個(gè)樣本分別計(jì)算修正后的有限元模型加速度FRF(稱為RBF模型FRF)和響應(yīng)特征量。其中,FRF區(qū)間收斂如圖4所示,計(jì)算修正后有限元模型第4和第12響應(yīng)特征量樣本與試驗(yàn)?zāi)Ｐ晚憫?yīng)特征量數(shù)據(jù)比較的散點(diǎn)如圖5所示。

圖4 頻響函數(shù)區(qū)間收斂

圖5 響應(yīng)特征量區(qū)間散點(diǎn)圖

從圖4、5可以看出,修正后的有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷腇RF區(qū)間吻合良好,修正后的有限元模型響應(yīng)特征量計(jì)算樣本和試驗(yàn)?zāi)Ｐ晚憫?yīng)特征量數(shù)據(jù)也吻合良好。綜上所述,驗(yàn)證了所提兩步進(jìn)行區(qū)間有限元模型修正的有效性。

6.1.2 同步修正

按照所述同步修正過程,使用與兩步修正相同的仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù),通過FPA同時(shí)迭代求解結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑,修正后的結(jié)果見表2。

表2 結(jié)構(gòu)修正前、后的參數(shù)區(qū)間

從表2可以看出,同步修正與兩步修正具有相同的修正效果。同樣,為進(jìn)一步驗(yàn)證修正效果,使用表2中修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間抽取50個(gè)樣本分別計(jì)算修正后的有限元模型FRF和響應(yīng)特征量。其中,FRF區(qū)間收斂如圖6所示,計(jì)算修正后有限元模型第4和第12響應(yīng)特征量樣本與試驗(yàn)?zāi)Ｐ晚憫?yīng)特征量數(shù)據(jù)比較的散點(diǎn)如圖7所示。從圖6、7可以看出,修正后的有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷腇RF區(qū)間及響應(yīng)特征量區(qū)間樣本同樣吻合良好。綜上所述,驗(yàn)證了所提同步進(jìn)行區(qū)間有限元模型修正的有效性。

圖6 頻響函數(shù)區(qū)間收斂

圖7 響應(yīng)特征量區(qū)間散點(diǎn)圖

6.2 數(shù)值算例2

如圖8所示空間桁架結(jié)構(gòu),該桁架模型由72個(gè)桿單元組成,共有20個(gè)節(jié)點(diǎn)和48個(gè)自由度。單元橫截面積為1 cm2,箭頭表示激勵(lì)位置,×表示測點(diǎn)位置。選擇結(jié)構(gòu)彈性模量E1(直桿)、E2(斜桿)和材料密度d的區(qū)間中點(diǎn)及半徑為模型待修正參數(shù)。初始有限元模型E1、E2和d的區(qū)間中點(diǎn)分別為231、209 GPa和7 020 kg/m3,試驗(yàn)?zāi)Ｐ虴1、E2和d的區(qū)間中點(diǎn)分別設(shè)定為210、190 GPa和7 800 kg/m3,初始有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ虴1、E2和d的區(qū)間中點(diǎn)的相對(duì)誤差分別為10 %、10 %和-10 %。設(shè)定兩種不同的試驗(yàn)參數(shù)區(qū)間半徑工況來驗(yàn)證所提模型修正方法的有效性。工況1為試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)E1、E2和d區(qū)間半徑分別設(shè)定為3、2 GPa和60 kg/m3;工況2為試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)E1、E2和d區(qū)間半徑分別設(shè)定為6、5 GPa和200 kg/m3。

圖8 空間桁架結(jié)構(gòu)

本算例中選擇500個(gè)頻率點(diǎn),設(shè)定小波變換分解層數(shù)為5。采用RBF模型的構(gòu)造及驗(yàn)證所述方法建立RBF模型,得到RBF模型的方差值為0.246 9,迭代情況如圖9所示。為進(jìn)一步評(píng)估RBF模型的預(yù)測精度,圖10給出了測試集樣本第7和第15響應(yīng)特征量的有限元模型計(jì)算值和RBF模型預(yù)測值,從圖10可以看到,有限元模型計(jì)算值和RBF模型預(yù)測值幾乎全部重合,可以代替有限元模型。

圖9 鯨魚優(yōu)化算法迭代曲線

圖10 測試集樣本的預(yù)測值和真實(shí)值

6.2.1 兩步修正

以試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑抽取100個(gè)樣本進(jìn)行計(jì)算有限元模型加速度FRF,通過小波變換并提取第5層低頻小波系數(shù)作為仿真試驗(yàn)響應(yīng)特征量,并使用灰色數(shù)學(xué)方法估計(jì)響應(yīng)特征量區(qū)間。然后根據(jù)所述兩步修正方法進(jìn)行區(qū)間模型修正。其中,工況1結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑的迭代情況分別如圖11、12所示,修正結(jié)果見表3,工況2結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間修正結(jié)果見表4。

表3 空間桁架結(jié)構(gòu)修正前、后參數(shù)區(qū)間(工況1)

表4 空間桁架結(jié)構(gòu)修正前、后參數(shù)區(qū)間(工況2)

圖11 花朵授粉算法求解參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)

圖12 花朵授粉算法求解參數(shù)區(qū)間半徑

由表3、4可以看出,對(duì)兩種工況參數(shù)區(qū)間修正的相對(duì)誤差值都較小,表明所提兩步修正方法取得很好的效果,且在不同試驗(yàn)響應(yīng)區(qū)間下對(duì)參數(shù)區(qū)間的修正具有魯棒性。進(jìn)一步驗(yàn)證修正效果,使用表3、4中修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間分別抽取100個(gè)樣本計(jì)算兩種工況修正后的有限元模型FRF和響應(yīng)特征量。其中,工況2的FRF區(qū)間收斂如圖13所示,計(jì)算工況1修正后的有限元模型第8和第16響應(yīng)特征量樣本與試驗(yàn)?zāi)Ｐ晚憫?yīng)特征量數(shù)據(jù)比較的散點(diǎn)如圖14所示。從圖13、14可以看出,修正后的有限元模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷腇RF區(qū)間及響應(yīng)特征量區(qū)間樣本吻合良好。

圖13 頻響函數(shù)區(qū)間收斂

圖14 響應(yīng)特征量區(qū)間散點(diǎn)圖

6.2.2 同步修正

根據(jù)所提同步修正方法,使用與兩步修正相同的仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)來同時(shí)求解參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑。其中,工況1結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑同步修正的迭代情況如圖15所示。兩種工況的結(jié)構(gòu)參數(shù)修正結(jié)果分別見表5、6。

表5 空間桁架結(jié)構(gòu)修正前、后參數(shù)區(qū)間(工況1)

表6 空間桁架結(jié)構(gòu)修正前、后參數(shù)區(qū)間(工況2)

圖15 花朵授粉算法同時(shí)求解參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑

由表5、6可以看出,在兩種工況下同步修正參數(shù)區(qū)間的相對(duì)誤差值都較小,表明在不同試驗(yàn)響應(yīng)區(qū)間下對(duì)參數(shù)區(qū)間的修正具有魯棒性,說明所提同步修正方法與兩步修正方法具有相同的效果。再由圖11、12和圖15相比可以看出,同步修正參數(shù)區(qū)間迭代350次之前就已收斂,而兩步修正參數(shù)區(qū)間的第2步迭代收斂就需500次以上,因此在時(shí)間上同步修正相比兩步修正節(jié)省了許多。同樣進(jìn)一步驗(yàn)證修正效果,使用表5、6修正參數(shù)區(qū)間分別抽取100個(gè)樣本計(jì)算修正后兩種工況的FRF和響應(yīng)特征量。工況2的FRF區(qū)間收斂如圖16所示,計(jì)算工況1修正后的有限元模型第8和第16響應(yīng)特征量樣本與試驗(yàn)?zāi)Ｐ晚憫?yīng)特征量數(shù)據(jù)比較的散點(diǎn)如圖17所示。從圖16、17可以看出,修正后的有限元模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷腇RF區(qū)間和響應(yīng)特征量區(qū)間樣本同樣吻合良好。

圖16 頻響函數(shù)區(qū)間收斂

圖17 響應(yīng)特征量區(qū)間散點(diǎn)圖

6.3 試驗(yàn)算例

如圖18所示,對(duì)長2 000 mm,寬100 mm,高10 mm的簡支梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗(yàn)研究。該梁材料為Q235鋼,將其劃分為20個(gè)單元和21個(gè)節(jié)點(diǎn)。選擇16節(jié)點(diǎn)為激勵(lì)位置,選擇5、8、11、14、和17節(jié)點(diǎn)為測量位置。選擇結(jié)構(gòu)彈性模量E和材料密度d的區(qū)間中點(diǎn)及半徑為結(jié)構(gòu)待修正參數(shù)。根據(jù)Q235鋼材料參數(shù)范圍,設(shè)置初始有限元模型E和d的區(qū)間中點(diǎn)分別為205 GPa和7 850 kg/m3。

圖18 簡支梁

測試試驗(yàn)過程通過東方所的DASP軟件進(jìn)行50次試驗(yàn),設(shè)置采樣通道為6,采樣頻率為4 000 Hz,采樣點(diǎn)數(shù)為4 096,直接采集加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)和加速度FRF數(shù)據(jù)。圖19給出了一次試驗(yàn)的16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與11節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的加速度響應(yīng)曲線,圖20給出了16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與11節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的初始有限元模型和實(shí)際測量的加速度FRF中值曲線。

圖20 加速度頻響函數(shù)

6.3.1 兩步修正

本試驗(yàn)算例中選擇250個(gè)頻率點(diǎn),設(shè)定分解層數(shù)為4。將16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與11節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的加速度FRF經(jīng)過小波變換并提取第4層低頻小波系數(shù)作為試驗(yàn)響應(yīng)特征量,通過灰色數(shù)學(xué)方法評(píng)估試驗(yàn)響應(yīng)特征量區(qū)間。然后按照兩步修正過程,通過FPA第1步迭代求解結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間中點(diǎn),第2步迭代求解待修正參數(shù)的區(qū)間半徑,修正后結(jié)果見表7。

表7 簡支梁修正后的參數(shù)值

為驗(yàn)證修正效果,使用表7中修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間抽取50個(gè)樣本計(jì)算修正后的有限元模型加速度FRF。圖21給出了16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與11節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的修正前、后的有限元模型加速度FRF中值曲線和試驗(yàn)加速度FRF中值曲線,從圖21可以看出修正后的有限元模型加速度FRF中值曲線和試驗(yàn)加速度FRF中值曲線大致吻合。圖22給出了16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與11節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的加速度FRF區(qū)間收斂,從圖22可以看出修正后的有限元模型加速度FRF區(qū)間與試驗(yàn)加速度FRF區(qū)間大致吻合。

圖21 加速度頻響函數(shù)

圖22 頻響函數(shù)區(qū)間收斂

為進(jìn)一步驗(yàn)證修正效果,測量不同位置的加速度FRF與修正后的有限元模型相對(duì)應(yīng)位置的加速度FRF進(jìn)行比較。圖23給出了16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與17節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的修正前、后有限元模型加速度FRF中值曲線和試驗(yàn)加速度FRF中值曲線,從圖23可以看出修正后的有限元模型加速度FRF中值曲線與試驗(yàn)加速度FRF中值曲線大致吻合。圖24給出了16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與17節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的修正后有限元模型加速度FRF區(qū)間收斂和試驗(yàn)加速度FRF區(qū)間收斂。從圖24可以看出,修正后的有限元模型加速度FRF區(qū)間和試驗(yàn)加速度FRF區(qū)間大致吻合。綜上所述,驗(yàn)證了所提兩步進(jìn)行區(qū)間有限元模型修正的有效性。

圖23 加速度頻響函數(shù)

圖24 頻響函數(shù)區(qū)間收斂

6.3.2 同步修正

按照所述同步修正過程,使用與兩步修正相同的試驗(yàn)數(shù)據(jù),通過FPA同時(shí)迭代求解結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑,修正后的結(jié)果見表8。

表8 簡支梁結(jié)構(gòu)修正后的參數(shù)值

同樣為驗(yàn)證修正效果修正,使用表8中修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間抽取50個(gè)樣本計(jì)算修正后的有限元模型加速度FRF。圖25、26分別給出了16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與11節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的有限元模型與試驗(yàn)加速度FRF中值曲線和區(qū)間收斂,從圖25、26可以看出修正后的有限元模型與試驗(yàn)加速度FRF中值曲線和區(qū)間大致吻合。

圖25 加速度頻響函數(shù)

圖26 頻響函數(shù)區(qū)間收斂

同樣為進(jìn)一步驗(yàn)證修正效果,測量不同位置的加速度FRF進(jìn)行比較,圖27、28分別給出了16節(jié)點(diǎn)激勵(lì)與17節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的有限元模型與試驗(yàn)加速度FRF中值曲線和區(qū)間收斂,可以看出修正后的有限元模型與試驗(yàn)加速度FRF中值曲線和區(qū)間大致吻合。綜上所述,驗(yàn)證了所提同步進(jìn)行區(qū)間有限元模型修正的有效性。

圖27 加速度頻響函數(shù)

圖28 頻響函數(shù)區(qū)間收斂

7 結(jié) 論

1)考慮參數(shù)不確定性對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響,提出了以結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)和半徑為修正目標(biāo)的兩步和同步的區(qū)間模型修正方法,可以較好地修正結(jié)構(gòu)參數(shù)的區(qū)間中點(diǎn)和半徑,且在不同試驗(yàn)響應(yīng)區(qū)間下對(duì)參數(shù)區(qū)間的修正都具有魯棒性。同時(shí),可以有效地解決試驗(yàn)小樣本的不確定性模型修正問題。

2)算例表明,兩步和同步修正都可以達(dá)到相同的效果,且在迭代求解過程中表征區(qū)間進(jìn)行模型修正的參數(shù)樣本量較小,提高了模型修正效率。但在時(shí)間上同步修正相比兩步修正節(jié)省了許多。

3)在使用參數(shù)樣本參與不確定性模型修正時(shí)構(gòu)造了RBF模型,并采用WOA優(yōu)選了RBF模型的方差值,使所構(gòu)造的RBF模型具有良好的擬合精度和預(yù)測能力,能代替有限元模型進(jìn)行迭代計(jì)算,提高模型修正效率。

4)將加速度FRF經(jīng)過小波變換,提取低頻小波系數(shù)作為區(qū)間模型修正的響應(yīng)特征量,具有保留FRF特性的優(yōu)點(diǎn),且可以大量減少輸出響應(yīng)數(shù)目,提高了模型修正計(jì)算效率。