王云騰,肖 巖,葉 東,孫兆偉

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001)

剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制問題因其在空間任務(wù)中的重要作用得到了國(guó)內(nèi)、外學(xué)者的廣泛關(guān)注。針對(duì)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的非線性特性,各種非線性控制方法已經(jīng)在航天器姿態(tài)控制問題中得到了應(yīng)用[1-3]。但是,上述控制方法只能使航天器姿態(tài)誤差漸近收斂,理論上完成收斂所需的時(shí)間是無窮大的,而工程應(yīng)用中對(duì)姿態(tài)誤差的收斂時(shí)間往往是有要求的,因而這些方法的實(shí)用性受到了一定限制。為增強(qiáng)控制器的實(shí)用性,有限時(shí)間控制是一種有效的方法[4-6]。有限時(shí)間控制方法可以保證系統(tǒng)在不多于某確定值的時(shí)間內(nèi)完成收斂,但此收斂時(shí)間上界與初始條件直接相關(guān)。相比之下,固定時(shí)間控制的收斂時(shí)間上界僅由控制器參數(shù)決定,與初始條件無關(guān),可以使設(shè)計(jì)者在控制器設(shè)計(jì)期間擺脫初始條件的制約[7-9]。文獻(xiàn)[7]使用終端滑模控制方法,實(shí)現(xiàn)了剛體航天器的固定時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制。文獻(xiàn)[8]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)航天器所受的外部擾動(dòng)力矩及自身建模不確定性進(jìn)行近似逼近,并考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和與故障的因素,提出了一種固定時(shí)間姿態(tài)控制方法。文獻(xiàn)[9]則采用自適應(yīng)方法對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)和系統(tǒng)建模不確定性進(jìn)行補(bǔ)償,考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和與故障,設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)航天器姿態(tài)控制器。傳統(tǒng)固定時(shí)間控制方法的一個(gè)主要缺點(diǎn)是收斂時(shí)間上界往往與控制器的多個(gè)參數(shù)存在比較復(fù)雜的等式關(guān)系。給定要求的收斂時(shí)間以后,如何確定各個(gè)控制參數(shù)的值是一個(gè)比較困難的問題。

作為固定時(shí)間控制的一種特殊情況,預(yù)設(shè)時(shí)間控制[9-12]的收斂時(shí)間上界顯式存在于控制器參數(shù)當(dāng)中,設(shè)計(jì)者可以根據(jù)實(shí)際需要很方便地對(duì)其進(jìn)行設(shè)置。文獻(xiàn)[13]針對(duì)戰(zhàn)斗機(jī)空中加油時(shí)的姿態(tài)穩(wěn)定問題設(shè)計(jì)了一種預(yù)設(shè)時(shí)間姿態(tài)控制方法,但是其控制律存在不連續(xù)性,易出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[14]基于一種新型性能函數(shù),實(shí)現(xiàn)了航天器的預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制。文獻(xiàn)[15]建立了一種準(zhǔn)終端滑模面,在實(shí)現(xiàn)剛體航天器預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制的同時(shí),保證了控制律的連續(xù)和非奇異。針對(duì)有界外部擾動(dòng)力矩,文獻(xiàn)[15]采用的處理方法是在控制律中添加魯棒項(xiàng)予以補(bǔ)償,這是一種比較保守的方法。

本文針對(duì)剛體航天器受有界外部擾動(dòng)力矩的情形,首先設(shè)計(jì)了一個(gè)預(yù)設(shè)時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器[16-17],用以對(duì)有界外部擾動(dòng)力矩進(jìn)行補(bǔ)償,然后設(shè)計(jì)了一個(gè)預(yù)設(shè)時(shí)間準(zhǔn)終端滑模面,最后基于上述觀測(cè)器和滑模面構(gòu)造了一個(gè)連續(xù)非奇異控制器。Lyapunov理論分析表明,本文提出的控制策略可以在已知外部擾動(dòng)力矩上界的情況下實(shí)現(xiàn)剛體航天器的預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制,即保證航天器的姿態(tài)跟蹤誤差在預(yù)設(shè)的時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)先指定的精度以內(nèi)。

1 航天器建模與問題描述

描述航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)空間參考坐標(biāo)系的方位的物理量稱為姿態(tài)參數(shù)。姿態(tài)參數(shù)有多種描述形式,常用的有方向余弦矩陣、歐拉角、歐拉軸/角、歐拉四元數(shù)、羅德里格參數(shù)(Rodrigues parameters,RPs)以及修正羅德里格參數(shù)(Modified Rodrigues parameters,MRPs)。其中,修正羅德里格參數(shù)(MRPs)具有幾何直觀性好、不存在奇異性問題和范數(shù)約束等優(yōu)點(diǎn)。故本文采用MRPs來描述航天器的姿態(tài)。在MRPs下,剛體航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型分別為:

(1)

(2)

式中:ω為航天器的角速度,J為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣,τ為所施加的控制力矩,d為外部擾動(dòng)力矩,q即為航天器姿態(tài)的MRPs表示。對(duì)任一矢量a=[a1a2a3]T,a×表示如下反對(duì)稱矩陣:

記航天器的目標(biāo)姿態(tài)及相應(yīng)目標(biāo)角速度分別為qd和ωd,則姿態(tài)跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差分別為:

(3)

ωe=ω-Cqeωd

(4)

(5)

(6)

這里,運(yùn)動(dòng)學(xué)矩陣T(qe)滿足如下性質(zhì)(在不至混淆的情況下,下文以T表示T(qe)):

(7)

(8)

(9)

現(xiàn)給出本文控制器設(shè)計(jì)過程所滿足的假設(shè)。

假設(shè)2外部擾動(dòng)力矩是有界的,即存在正常數(shù)dM使得外部擾動(dòng)力矩滿足‖d‖≤dM,其中‖·‖表示向量的2范數(shù)。

本文的研究目標(biāo)便是設(shè)計(jì)一個(gè)連續(xù)非奇異的控制律τ(t)使得航天器在滿足上述假設(shè)的外部擾動(dòng)力矩作用下,其姿態(tài)跟蹤誤差仍能實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度穩(wěn)定,即對(duì)給定的預(yù)設(shè)時(shí)間常數(shù)Tp和預(yù)設(shè)精度常數(shù)εi(i=1,2,3),當(dāng)t≥Tp時(shí),姿態(tài)跟蹤誤差的各分量滿足|qe,i|≤εi(i=1,2,3)。在本文的控制策略設(shè)計(jì)過程中會(huì)用到如下引理。

引理1[18]假設(shè)某動(dòng)態(tài)系統(tǒng)存在一個(gè)李雅普諾夫函數(shù) ,滿足:

(10)

式中0<η<1,則系統(tǒng)關(guān)于時(shí)間常數(shù)Tp是預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定的。

2 預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計(jì)

本文考慮受有界外部擾動(dòng)力矩的剛體航天器的預(yù)設(shè)時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制問題。首先,提出了一種預(yù)設(shè)時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器,可以在預(yù)設(shè)的時(shí)間內(nèi)保證對(duì)有界外部擾動(dòng)力矩的估計(jì)誤差收斂為零。然后,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一個(gè)基于準(zhǔn)終端滑模面的連續(xù)非奇異預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制器。

2.1 預(yù)設(shè)時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為便于后續(xù)推導(dǎo),首先構(gòu)造中間變量:

(11)

式中ρ為一個(gè)大于零的常數(shù)。將式(11)求導(dǎo)并將式(2)代入可得

(12)

基于中間變量ξ,進(jìn)一步構(gòu)造輔助變量:

s0=z-ξ

(13)

式中z滿足如下關(guān)系:

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)

(14)

sig(a)α=[sign(a1)|a1|αsign(a2)|a2|α

… sign(an)|an|α]T

式中sign(·)為符號(hào)函數(shù)。

定理1取擾動(dòng)力矩的估計(jì)值為

ρdMtanh(Ks0)-ρ‖ξ‖tanh(Ks0)+ξ

(15)

證明由式(12)～(14)可得:

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)+ρξ-ρd

(16)

ρdMsign(s0)-ρ‖ξ‖sign(s0)+ρξ-ρd)≤

(17)

ρdMtanh(Ks0)-ρ‖ξ‖tanh(Ks0)+ξ-d=

(18)

所以當(dāng)t≥Tp1時(shí),擾動(dòng)力矩估計(jì)誤差收斂到零,定理1得證。

2.2 連續(xù)非奇異預(yù)設(shè)時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計(jì)

首先,構(gòu)造一個(gè)(準(zhǔn))終端滑模面:

s=ωe+?

(19)

定理2如果s=0,則當(dāng)t≥Tp2時(shí),|qe,i|≤εi(i=1,2,3),即經(jīng)過預(yù)設(shè)的時(shí)間Tp2以后姿態(tài)跟蹤誤差將保持在指定的精度εi(i=1,2,3)以內(nèi)。

證明由定義(19), 當(dāng)s=0時(shí)誤差角速度的值為

(20)

將式(20)代入式(5)可得

(21)

取李雅普諾夫函數(shù):

(22)

則有

(23)

當(dāng)|qe,i|>εi時(shí),有

(24)

由引理1,在預(yù)設(shè)時(shí)間Tp2以內(nèi),姿態(tài)跟蹤誤差可以收斂至|qe,i|≤εi(i=1,2,3),定理2得證。

(25)

(26)

極限存在,連續(xù)性結(jié)論得證;同時(shí),由式(6)、式(19)和式(25)可得

(27)

所以:

(28)

綜上所述,根據(jù)定理1～定理3,在任意初始條件下,本文所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器及控制器可以保證系統(tǒng)的姿態(tài)跟蹤誤差在Tp1+Tp2+Tp3時(shí)間內(nèi)收斂到|qe,i|≤εi(i=1,2,3)范圍以內(nèi)。

3 仿真分析

為檢驗(yàn)上述控制策略的性能,本文通過數(shù)值仿真對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證。航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣取為

(29)

目標(biāo)姿態(tài)軌線取為

外部擾動(dòng)力矩設(shè)為

d=0.03[sin(t/4) cos(t/6) sin(t/5)]TNm

控制器參數(shù)選擇如下:Tp1=Tp2=30 s,Tp3=40 s,ρ=3,K=1,ε1=ε2=ε3=0.000 5,η=0.3。

初始時(shí)刻姿態(tài)設(shè)為

q(0)=[1.0 -2.0 -1.5]T

初始時(shí)刻角速度設(shè)為

ω(0)=[0.000 5 0.000 5 -0.000 5]Trad/s

z的初始值取z(0)=[0 0 0]T。以下兩種仿真方案均滿足上述條件。

CaseⅠ 在上述條件下,仿真結(jié)果如圖1所示。圖1(a)所示為擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)有界外部擾動(dòng)力矩的追蹤結(jié)果,可以看出,觀測(cè)器在5 s的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了對(duì)外部擾動(dòng)力矩的高精度追蹤,收斂后的觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)力矩的估計(jì)值相比其真實(shí)值略有時(shí)延。圖1(b)所示為滑模面(19)的響應(yīng)曲線,可見滑模面在10 s的時(shí)間內(nèi)收斂到零。圖1(c)、1(d)分別為姿態(tài)跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差的響應(yīng)曲線。可以看出,在25 s以后本體航天器的姿態(tài)值實(shí)現(xiàn)了對(duì)期望軌線的跟蹤收斂,且跟蹤誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于控制器中預(yù)設(shè)的精度要求(|qe,i|≤εi(i=1,2,3))。圖1(e)所示為在此控制策略下完成姿態(tài)跟蹤任務(wù)所需的控制力矩,可以看出其是連續(xù)的,本文所設(shè)計(jì)的控制策略很好地避免了抖振現(xiàn)象,定理1～定理3中的有關(guān)結(jié)論得到了驗(yàn)證。

圖1 方案Ⅰ下預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制策略仿真結(jié)果

CaseⅡ 本方案考慮航天器系統(tǒng)的建模不確定性,假設(shè)航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量存在建模不確定性,其真實(shí)值為J=J0+ΔJ,其中不確定項(xiàng)為ΔJ=0.1J0。將此時(shí)的真實(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量代入動(dòng)力學(xué)方程,可得

(30)

進(jìn)一步整理有

(31)

圖2 方案Ⅱ下預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制策略仿真結(jié)果

4 結(jié) 論

1)針對(duì)受有界外部擾動(dòng)力矩的剛體航天器的姿態(tài)跟蹤控制問題,提出了一種預(yù)設(shè)時(shí)間預(yù)設(shè)精度姿態(tài)跟蹤控制策略。首先設(shè)計(jì)了一個(gè)預(yù)設(shè)時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器,然后在利用此觀測(cè)器的估計(jì)值對(duì)擾動(dòng)力矩進(jìn)行補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上使用終端滑模控制方法設(shè)計(jì)了一個(gè)姿態(tài)跟蹤控制律。

2)理論分析表明,本文所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器可以在外部擾動(dòng)力矩上界已知的情況下對(duì)其進(jìn)行精確估計(jì);所提控制律可以保證姿態(tài)跟蹤誤差在預(yù)設(shè)的時(shí)間內(nèi)收斂到指定的精度以內(nèi),并且其自身是連續(xù)非奇異的。

3)數(shù)值仿真結(jié)果表明,本文所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器和控制器在實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)出的收斂速度和精度可能會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于預(yù)設(shè)值,并且其對(duì)系統(tǒng)的建模不確定性具有比較出色的魯棒性,有關(guān)結(jié)果對(duì)工程應(yīng)用有一定的參考價(jià)值。