陳大光,劉昱鑫,劉興德,錢 程

(1.吉林化工學院 信息與控制工程學院,吉林 吉林 132022;2.中國石油吉林石化公司,吉林 吉林 132021;3.吉林化工學院 機電工程學院,吉林 吉林 132022)

21世紀以來,社會發(fā)展越來越智能化、信息化,勞動力成本提高,市場需求對生產(chǎn)效率與精度要求逐漸提升,用工業(yè)機器人替代人工操作的方式成為發(fā)展趨勢[1]。隨著機器人技術的不斷進步,工業(yè)機器人操作已經(jīng)廣泛應用于各個行業(yè)領域。由于工業(yè)生產(chǎn)的要求變得復雜多樣,對機器人的要求更高,尤其是在運動規(guī)劃、抓取精準度等方面[2]。提升6R機械臂的性能、精度等方面運動學的研究就顯得尤為重要,也是對機械臂后續(xù)深層研究的基礎。對機械臂模型的建立和正逆運動學的分析,有許多種方法可以運用,例如常見的方法有D-H參數(shù)建模、數(shù)值解析法、幾何法,神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法等方法,都可以對運動學進行求解[3]。

本文基于6R機械臂,采取改進D-H參數(shù)法建立模型,利用此方法對運動學模型進行正逆解分析,通過MATLAB軟件進行模擬仿真,驗證機械臂正逆解的合理性,并描繪六個關節(jié)空間的軌跡規(guī)劃,為后續(xù)工作打下理論基礎。

1 機械臂運動學分析

1.1 機械臂基本結構與模型建立

機械臂采用韓國現(xiàn)代公司生產(chǎn)的6R機械臂,該機械臂型號是Hyundai Hs220。因為此機械臂為6R機械臂,可以根據(jù)不同的位姿要求達到不同的空間位置,完成多種復雜的工作,所以被廣泛應用于焊接、工件搬運與噴涂等領域[4]。機械臂結構示意圖與工作范圍空間示意圖如圖1～2所示。

圖1 機械臂結構示意圖

圖2 機械臂工作范圍示意圖

在圖1～2的基礎上,通過改進的D-H參數(shù)法[5]建立六自由度機械臂模型,改進的D-H法由矩陣變換可以得到不同時刻機械臂的位姿,生成運動學方程。按照改進后的D-H參數(shù)法建立機械臂模型坐標系,機械臂模型坐標系如圖3所示。機械臂每個連桿D-H參數(shù)見表1,其中,αi-1表示沿著Xi-1軸方向,Zi-1旋轉到Zi的角度;ai-1表示沿著Xi-1軸方向,Zi-1到Zi的距離;di表示沿著Zi軸方向,Xi-1到Xi的距離;θi表示沿著Zi軸方向,Xi-1到Xi的角度。

圖3 機械臂坐標系

表1 機械臂D-H參數(shù)表

1.2 機械臂運動學分析

1.2.1 機械臂運動學正解分析

機械臂的正運動學是通過兩個相鄰連桿坐標系之間的矩陣變換的乘積,這個結果就是末端位姿矩陣[6]。在圖3建立機械臂各個關節(jié)的坐標系的基礎上,根據(jù)D-H參數(shù)法通過旋轉和平移后確立兩個連桿之間的角度、距離等參數(shù)得到其相對關系,因為本文使用的是改進的D-H法,所以齊次變換矩陣的通式為表達式(1)所示。

(1)

(6)

(7)

(8)

其中,nx=-c6{s5(c12s3+c13s2)+c5[s14-c4(c123-c1s23)]}-s6[c4s1+s4(c123-c1s23)];

ny=s6[c14-s4(c23s1-s123)]-c6{s5(c2s13+c3s12)-c5(c1s4+c4(c23s1-s123)]};

nz=s46(c2s3+c3s2)-c6[s5(c23-s23)+c45(c2s3+c3s2)};

ox=s6{s5(c12s3+c13s2]+c5[s14-c4(c123-c1s23)]}+c6[c4s1+s4(c123-c1s23)];

oy=s6{s5(c2s13+c3s12)-c5[c1s4+c4(c23s1-s123)]}-c6[c14-s4(c23s1-s123)];

oz=s6[s5(c23-s23)+c45(c2s3+c3s2)]-c6s4(c2s3+c3s2);

ax=c5[c12s3+c13s2)-s5(s14-c4(c123-c1s23)];

ay=c5[c2s13+c3s12)+s5(c1s4+c4(c23s1-s123)];

az=c5(c23-s23)-c4s5(c2s3+c3s2);

px=a1c1+a3(c123-c1s23)+d4(c12s3+c13s2)+a2c12;

py=a1s1+a3(c23s1-s123)+d4(c2s13+c3s12)+a2c2s1;

pz=d4(c23-s23)-a3(c2s3+c3s2)-a2s2.

(nx…az)為機械臂末端執(zhí)行器位姿矩陣的坐標,(pxpypz)為機械臂末端執(zhí)行器的位置描述。以上是采用改進的D-H法計算機械臂正運動學求解過程,通過計算可以得到機械臂末端的位姿向量坐標與位置描述。

1.2.2 機械臂運動學逆解分析

機械臂逆運動學求解方法,就是將正運動學的結果進行反推的過程,從而計算出每一個關節(jié)的旋轉角度θ1～θ6,實現(xiàn)對機械臂的有效控制[7]。逆運動學可以采用數(shù)值解法和封閉解法的方式來求得結果[8]。本文是利用封閉解法求解,能夠有效地解決機械臂逆運動學問題,從而大大降低逆解的計算復雜度。詳細求解步驟如下所示：

(9)

令式(9)中兩端(2,4)元素相等,即：

pyc1-pxs1=0 ,

(10)

得到：θ1=atan(py,px)或θ1=atan(-py,-px)。

(11)

(3)同理求解θ3,θ3=atan2(a3[-a3c3+d4s3)-d4(a3c3+d4s3),a3(a3c3+d4s3)+d4(-a3c3+d4s3)];

(4)同理求解θ4,θ4=atan2(s4,c4);

(5)同理求解θ5,θ5=atan2[ayc1-axs1,(nyc1-nxs1)c6+(oxs1-oyc1)s6];

(6)同理求解θ6,

θ6=atan2[(-oxc1c2-oyc2s1)s3-(Ozc2+oxc1s2+oys1s2)c3,(-ozs2+nxc1c2+nyc2s1-nzs2)s3+(nzc2nxc1s2+nys1s2)c3];

或者

θ6=atan2[(oxc1c2+oyc2s1)s3+(ozc2+oxc1s2+oys1s2)c3,(ozs2-nxc1c2-nyc2s1+nzs2)s3-(nzc2nxc1s2+nys1s2)c3].

2 機械臂的運動學仿真

對機械臂正逆運動學求解過程進行驗證時,一般使用MATLAB軟件中的Robotics Toolbox機器人工具箱,該工具箱可以建立符合研究目的運動學仿真模型[9],來驗證機械臂正逆運動學推導過程的正確性。通過使用改進D-H參數(shù)表1中的數(shù)據(jù)來進行程序編寫,對六自由度機械臂進行建模,設定6個關節(jié)初始角度都為0,其初始模型見圖4所示。

圖4 六自由度機械臂仿真模型

2.1 正運動學仿真

對于機械臂驗證正運動學仿真的過程,一般利用MATLAB基于fkine函數(shù)編程的工具箱驗證[10],主要是通過給定一組關節(jié)的轉角角度數(shù)值θ1～θ6,帶入到式(8)的正運動學公式中,通過計算得到機械臂末端位姿矩陣的結果,然后同使用MATLAB軟件內(nèi)部工具箱仿真得到結果進行比較,看得到結果是否保持一致,如果一致則驗證了運動學的正確性。

(12)

MATLAB中的Robotics Toolbox工具箱仿真得到結果為：

(13)

通過兩者結果對比,驗證了六自由度機械臂正運動學的正確性。

2.2 逆運動學仿真

對逆運動學求解過程的正確性可以通過MATLAB軟件機器人工具箱提供ikine()函數(shù)進行逆運動學求解驗證[11],該函數(shù)能夠自動選取其中一組最優(yōu)逆解。對給定的已知正運動求解得到的位姿矩陣進行逆解,在MATLAB軟件進行逆運動學求解驗證,求解得到機械臂六個旋轉關節(jié)角度變量為

(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6)=(0,0.523 3,-0.523 3,1.047 2,-1.047 2,0),該結果與設定的關節(jié)變量結果(θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6)=(0,π/6,-π/6,π/3,-π/3,0)對比,由于在計算過程中存在四舍五入位,誤差范圍保持在0.02%內(nèi),所以并不影響逆運動學運算驗證結果的正確性。

3 機械臂軌跡規(guī)劃仿真

通過對機器人的工作軌跡進行分析,可以確定一些關鍵點,并利用運動學原理來預測每個關節(jié)的運動趨勢。通過精確的計算機械臂的角位置、角速度和角加速度,并在關節(jié)空間中選取恰當?shù)膮?shù),可以構建出一條平滑的連續(xù)擬合曲線[12]。

軌跡規(guī)劃方法有關節(jié)空間、笛卡爾空間規(guī)劃兩種,本文采用關節(jié)空間軌跡規(guī)劃,即在機械臂工作空間中隨機抽取兩點,通過MATLAB軟件工具箱中調(diào)用jtraj()函數(shù)對機械臂進行軌跡規(guī)劃仿真,以達到最優(yōu)的運動效果。設置關節(jié)起點A點(π/6,0,2π/3,π/3,0,0),終點設置為B點(π/2,π/6,0,0,-π/2,π/6),可以看到機械臂A點到B點動作的軌跡規(guī)劃,描繪出機械臂軌跡規(guī)劃仿真圖與機械臂A點到B點的末端軌跡圖見圖5圖6所示。

圖5 機械臂運動軌跡圖

(a) 角位移

圖6 機械臂末端運動軌跡圖

對機械臂6個關節(jié)隨時間變化量書寫程序進行模擬,得到角位移、角速度和角加速度變化的曲線如圖7所示。

圖7為機械臂各個關節(jié)仿真的曲線圖,從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出機械臂在A點和B點處于零點狀態(tài),6個關節(jié)的角速度和角加速度都是零,各個關節(jié)的位移、角速度與角加速度的曲線變化連續(xù)、平穩(wěn),機械臂能夠穩(wěn)定地從起點A到終點B運動,驗證了機械臂軌跡規(guī)劃的合理性。

4 機械臂工作空間仿真

機械臂的工作空間由六個關節(jié)構成,在表1關節(jié)角度范圍參數(shù)的限制下,其末端都能夠被有效地控制,從而實現(xiàn)各種復雜的任務,這個末端機構能夠達到的工作位置的集合就是工作空間。通過對該參數(shù)的評估,可以為機械臂的運行性能提供重要的參考。本研究使用蒙特卡洛法對機械臂進行工作空間仿真,機械臂工作計算點數(shù)越多,其工作空間越準確,點數(shù)過大會加大計算量,故本次選用參數(shù)為50 000,繪制出機械臂仿真工作空間各反射角度視圖的云圖。機械臂在XYZ坐標空間與各反射角度視圖平面的投影如圖8～11所示。

圖8 機械臂可達工作空間

圖9 機械臂工作空間XOY平面的投影

圖10 機械臂工作空間YOZ平面的投影

圖11 機械臂工作空間XOZ平面的投影

5 結 論

本文是基于韓國現(xiàn)代公司生產(chǎn)6R機械臂為研究目標,通過改進的D-H參數(shù)法對機械臂建立運動模型,得到正逆運動學解析式,利用MATLAB軟件內(nèi)工具箱對機械臂正逆運動學進行驗證分析,對各關節(jié)空間軌跡進行模擬仿真,繪制了各關節(jié)的參數(shù)仿真變化曲線圖,驗證了機械臂關節(jié)參數(shù)的合理性,最后利用蒙特卡洛法仿真得到機械臂各個反射角度的工作空間圖,為機械臂后續(xù)更深層研究提供一定的理論基礎。