于軍琪，康智桓，荊 競，趙安軍，陳時羽

(1.西安建筑科技大學(xué)，西安 710055；2.中國建筑西北設(shè)計研究院有限公司，西安 710018)

0 引言

近年來在中國，建筑消耗了大約20%的一次能源。城市建筑可以消耗高達(dá)70%的城市一次能源[1]。所以提高建筑能源效率對于可持續(xù)發(fā)展至關(guān)重要。冷水機(jī)組通常服務(wù)于商業(yè)建筑。作為中央空調(diào)系統(tǒng)的主要部件，冷水機(jī)組約占商業(yè)建筑制冷能耗的35%。由于冷水機(jī)組能耗巨大，因此，如何在不同冷負(fù)荷下運行制冷機(jī)系統(tǒng)，使能耗最小化成為一個重要的問題[2]。通過仔細(xì)設(shè)計和運行冷水機(jī)組，發(fā)現(xiàn)多臺冷水機(jī)組系統(tǒng)由不同性能特性和容量的冷水機(jī)組成，因此各冷水機(jī)的最優(yōu)負(fù)荷比組合成為一個有價值的研究課題。

近年來，冷水機(jī)組負(fù)荷優(yōu)化分配(OCL，optimal chiller load)問題受到越來越多的關(guān)注，研究人員使用各種優(yōu)化算法不斷對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[3]在最優(yōu)冷水機(jī)組負(fù)荷研究中采用拉格朗日法(LM，Lagrange method，)最小化不同冷負(fù)荷下的能耗，結(jié)果表明拉格朗日法能使能耗最小化，但在低需求時不能收斂；緊接著文獻(xiàn)[4]提出利用遺傳算法求解，遺傳算法克服了低需求下的收斂性，但相比于拉格朗日法平均能耗提高了0.4%左右；文獻(xiàn)[5-6]又提出利用模擬退火法(SA，simulated annealing)和梯度法(GM，gradient method)改進(jìn)拉格朗日法的收斂性，發(fā)現(xiàn)該方法能在短時間內(nèi)產(chǎn)生精度較高的結(jié)果。文獻(xiàn)[7]采用粒子群算法(PSO，particle swarm optimization)對問題進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)PSO相比于GA算法能夠獲得更好的優(yōu)化結(jié)果。因為OCL問題的變量是連續(xù)的，所以文獻(xiàn)[8]采用連續(xù)遺傳算法(CGA，continuous genetic algorithm)和粒子群算法來解決，而研究也表明粒子群算法能夠改善遺傳算法和拉格朗日法的性能。文獻(xiàn)[9]提出了一種差分進(jìn)化算法，該算法在尋優(yōu)方面優(yōu)于遺傳算法，并克服了遺傳算法存在的問題。文獻(xiàn)[10]提出了一種基于高斯分布函數(shù)的改進(jìn)螢火蟲算法(FA，firefly algorithm)，優(yōu)化了多冷卻器負(fù)載問題中的能耗。文獻(xiàn)[11]提出了一種新的差分布谷鳥搜索算法(DCSA，differential cuckoo search approach)，該算法基于差分算子，提高了算法的整體尋優(yōu)能力。文獻(xiàn)[12]使用非線性波紋權(quán)重因子和自適應(yīng)排斥因子的改進(jìn)波紋蜜蜂群優(yōu)化算法(IRBSO，improved ripple bee swarm algorithm)算法，并將其用于解決冷水機(jī)組的經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題。文獻(xiàn)[13-4]提出的改進(jìn)人工魚群算法(IAFSA，improved artificial fish swarm algorithm)和改進(jìn)入侵雜草算法(EIWO，improved invasive weed optimization)也為解決此問題提供了更好的解決方案。文獻(xiàn)[15]提出運用改進(jìn)分?jǐn)?shù)階達(dá)爾文粒子群算法(IFODPSO，improved fractional order Darwinian particle swarm optimization)求解，也是解決OCL問題的有力工具。結(jié)果表明，與現(xiàn)有優(yōu)化算法相比，該算法在收斂精度、收斂速度和穩(wěn)定性等方面的綜合性能有了顯著提高。以上研究表明，元啟發(fā)式算法和數(shù)學(xué)規(guī)劃方法都是解決OCL問題強(qiáng)有力的工具且均能從中央空調(diào)系統(tǒng)實際用能情況出發(fā)解決問題。但是元啟發(fā)式算法需要較大種群規(guī)模、對種群初始化要求較高等問題使得一種優(yōu)化算法在特定優(yōu)化問題上的優(yōu)化性能較好，但是并不能推廣到大多數(shù)優(yōu)化問題上從而算法適用性大打折扣。鯨魚優(yōu)化算法[16](WOA，whale optimization algorithm)是2016年提出的一種基于鯨魚捕食習(xí)慣而研究出的一種新的智能算法，本文以該算法為基礎(chǔ)解決冷水機(jī)組負(fù)荷優(yōu)化分配問題。

WOA算法的推廣引起了研究者們的關(guān)注，并在文獻(xiàn)[17-18]中用于求解單目標(biāo)熱電廠經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題?；镜腤OA為中小型測試系統(tǒng)提供了更高質(zhì)量的解決方案，并且收斂速度更快。但是，對于大規(guī)模復(fù)雜問題，基本W(wǎng)OA算法由于早熟收斂、收斂速度慢等問題往往不能收斂到最優(yōu)解。這是因為在基本的WOA算法中，局部勘探和全局開發(fā)之間存在差異。針對基本W(wǎng)OA出現(xiàn)的問題，許多研究者都做了不同的修改，通過適當(dāng)平衡勘探階段和開發(fā)階段來提高WOA性能。文獻(xiàn)[19]引入了改進(jìn)的混沌鯨優(yōu)化算法(CWOA，chaos whale optimization algorithm)來求解太陽能光伏電池的參數(shù)估計，該方法利用混沌映射進(jìn)行計算，并自動選擇方法內(nèi)部參數(shù)。文獻(xiàn)[20]引入了一種帶局部搜索策略的混合鯨魚優(yōu)化方法來求解置換流水車間調(diào)度問題。文獻(xiàn)[21]采用了一種基于最新開發(fā)的WOA的新的MLP訓(xùn)練方法來優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的連接權(quán)值。文獻(xiàn)[22]為了準(zhǔn)確提取不同太陽能光伏模型問題的參數(shù)，提出了一種改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法。該方法采用了兩種獵物搜索策略，有效的保持了勘探與利用的平衡，提高了WOA算法的性能。從以上研究可以看出，不同學(xué)者對于基本鯨群算法出現(xiàn)的收斂速度慢、尋優(yōu)精度低、早熟收斂等問題提出的各種改進(jìn)鯨群算法應(yīng)用于各領(lǐng)域的優(yōu)化問題均獲得了良好的實驗結(jié)果。

綜上所述，由于OCL問題優(yōu)化變量的維度及最終結(jié)果由冷機(jī)的數(shù)量及各冷機(jī)的性能參數(shù)決定，基本鯨群算法已經(jīng)無法滿足針對OCL問題中出現(xiàn)的高維問題，快速收斂到全局最優(yōu)解。因此，提出一種改進(jìn)鯨群算法(IWOA，Improved whale optimization algorithm)，并通過仿真實驗對其性能進(jìn)行檢驗。

1 問題描述

冷水機(jī)組由于運行靈活、備用容量大、檢修中斷少等特點，常采用并聯(lián)的多套冷水機(jī)組與共用配電系統(tǒng)相連接[23]。圖1展示了一個典型的解耦冷凍水系統(tǒng)。冷凍水系統(tǒng)的多臺泵通過旁通管連接，旁通管連接回水總管和供水總管。冷水機(jī)組與泵機(jī)組一體化，相互獨立運行[24]?？紤]到需求增量的發(fā)生，需要比冷水泵提供的流量更大的流量。總管由回流水通過旁路提供，旁路定義了額外冷水機(jī)組容量的要求。因此，將啟動另一臺冷水機(jī)泵。相反方向的水流決定了產(chǎn)能過剩的條件，這就關(guān)閉了冷水泵。在全電制冷的多臺冷水機(jī)組系統(tǒng)中，在滿足負(fù)荷需求的情況下，各機(jī)組能耗之和最小時，機(jī)組性能最佳。PLR (partial load ratio)定義為冷水機(jī)的冷負(fù)荷與冷水機(jī)功耗的比值。

圖1 多冷機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

每臺冷機(jī)的性能參數(shù)都有所不同，冷機(jī)負(fù)荷的變化取決于末端負(fù)荷需求的變化。為了將系統(tǒng)冷負(fù)荷分配給制冷機(jī)組，多冷機(jī)系統(tǒng)允許可變的水流通過冷卻盤管，并保持恒定的水流通過冷卻器。此外，允許供水和回水通過旁通管道彼此流動，并且可以根據(jù)系統(tǒng)冷負(fù)荷需求來控制水流。

典型OCL問題的優(yōu)化目標(biāo)，是使多臺冷水機(jī)組系統(tǒng)的總功耗最小化。因此，它主要是指在能滿足整個系統(tǒng)末端負(fù)荷需求情況前提下，追求達(dá)到一種至少不應(yīng)超過整個系統(tǒng)的運行功率極限條件下的系統(tǒng)最大的冷機(jī)部分負(fù)荷比PLR使末端冷機(jī)部分的負(fù)荷功率總和達(dá)到最小，從而獲得最佳的系統(tǒng)性能，實現(xiàn)節(jié)能減排的目的[15]。因此本文將離心式冷水機(jī)組的功耗描述為：

(1)

式中，Pi為第i臺冷水機(jī)組功率，ai、bi、ci、di為第i臺冷機(jī)本身的功耗系數(shù)，Ri為第i臺冷機(jī)的部分負(fù)荷比。

OCL問題是指在滿足給定的目標(biāo)函數(shù)最小的情況下，求一個不大于中央空調(diào)系統(tǒng)最低運行功率限制條件下的冷水機(jī)組部分負(fù)荷率PLR值，使之能在滿足整個中央空調(diào)系統(tǒng)末端負(fù)荷要求條件的情況條件下仍以系統(tǒng)最低限度的最低運行總功率來工作，考慮到系統(tǒng)的冷負(fù)荷平衡，目標(biāo)函數(shù)如(2)式所示應(yīng)最小化：

(2)

式中，OF為并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)總功率，m為并聯(lián)冷機(jī)臺數(shù)，根據(jù)制造廠商的建議，當(dāng)冷卻器打開時，PLR值必須大于0.3。當(dāng)冷卻器關(guān)閉時，PLR值為0 。解決OCL問題的目的是找到冷水機(jī)組PLR的最佳值，該值可以獲得最小的運行功率并滿足運行約束。

因此，并聯(lián)冷機(jī)負(fù)荷分配優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的數(shù)學(xué)式如下：

min(P)

(3)

s.t.0.3≤Ri≤1或Ri=0

(4)

(5)

2 鯨群優(yōu)化算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)鯨群優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)鯨群優(yōu)化算法(WOA，whale optimization algorithm)包括幾個步驟：

2.1.1 包圍獵物

WOA算法將目前群體的最佳結(jié)果作為精英鯨魚的位置，其余個體將精英鯨魚的位置作為獵物的位置。通過改變位置進(jìn)而包圍獵物，鯨群的行為公式如下：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2.1.2 氣泡網(wǎng)方式狩獵

氣泡網(wǎng)覓食法是座頭鯨獨特的捕獵方式，為了對座頭鯨獨特的捕獵方式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，設(shè)計了以下兩種方法。

1)收縮包圍機(jī)制：

圖2 鯨群算法收縮包圍策略示意圖

2)螺旋包圍機(jī)制：

螺旋包圍機(jī)制中，通過計算座頭鯨與獵物之間的距離建立座頭鯨與獵物之間的螺旋方程。螺旋方程如下：

(11)

(12)

圖3 鯨群算法螺旋包圍策略示意圖

當(dāng)座頭鯨群不斷朝獵物周圍方位移動覓食時，首先會繞著一個逐漸縮小的圓環(huán)包圍獵物，與此同時不斷螺旋上升對獵物進(jìn)行捕食，為了模擬這種捕捉方式，假設(shè)有百分之五十的可能性在收縮包圍機(jī)制或螺旋包圍機(jī)制中選擇并更新座頭鯨的位置。數(shù)學(xué)模型如下：

(13)

其中：p為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)。

2.1.3 搜索獵物

在捕獵過程中，鯨群會參照其他族群的位置來改變自己的當(dāng)前位置，以這種方式擴(kuò)大搜索范圍進(jìn)而搜尋更優(yōu)的獵物位置。WOA算法中，每個個體根據(jù)收斂因子|A|的改變確定下一步的搜索范圍。當(dāng)|A|>1時，個體鯨魚將擴(kuò)大隨機(jī)捕食的搜索范圍，并執(zhí)行全局搜索。數(shù)學(xué)模型如下。

(14)

(15)

綜上所述，鯨群算法的綜合搜索策略如下所示：

(16)

2.2 改進(jìn)鯨群優(yōu)化算法

2.2.1 混沌映射初始化種群

鯨魚的初始位置是隨機(jī)生成的，通常情況下初始值會隨機(jī)遍布整個解空間。針對不同的優(yōu)化問題，初始值對算法的收斂精度和速度有不同程度的影響[24]，基本鯨群算法在解決函數(shù)優(yōu)化的問題時，往往使用了隨機(jī)初始化種群的方式，而無法確保初始參數(shù)在解空間內(nèi)均勻分布，這就導(dǎo)致當(dāng)初始值遠(yuǎn)離了全局最優(yōu)解，就會大大增加搜索時間，延緩算法收斂速度，同時也有陷入局部最優(yōu)解的可能性。

混沌運動因為其遍歷性、隨機(jī)性和規(guī)律性等特點，能夠使初始化后的種群更均勻地在整個解空間分布。目前，它已被廣泛應(yīng)用于蜂群、灰狼和粒子群優(yōu)化等智能算法中。本文首先引入了Skew tent混沌映射，Skew tent混沌映射在其參數(shù)區(qū)域內(nèi)是一種混沌映射，同時擁有均勻的分布函數(shù)以及良好的相似性。與更廣泛使用的logistic映射相比，它減少了解空間邊緣區(qū)域的高分布率問題，并且具有良好的均勻分布性能。Skew tent算法公式為：

(17)

其中：φ∈[0，1]。當(dāng)φ=0.5時是tent映射最經(jīng)典的形態(tài)。此時，得到的序列是均勻分布的，并且針對各個參數(shù)有著幾乎相同的分布密度[25]。所以本文引用的tent混沌映射如下所示：

(18)

2.2.2 收斂因子改進(jìn)

(19)

其中：t表示當(dāng)前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)，μ取2，1，0.5。

圖4 變異指數(shù)迭代變化圖

2.2.3 改進(jìn)螺旋更新位置

從式(11)中我們能夠看到，WOA算法的螺旋更新策略模型可以幫助種群在后期階段快速地聚集。雖然它能夠提高算法后期的收斂速度，但同時也會損失種群的多樣性，從而増大算法陷入局部最優(yōu)解的風(fēng)險[26]。因此，本文對螺旋位置更新模型做出如下改進(jìn)：

(20)

(21)

綜上所述，改進(jìn)鯨群算法流程圖如圖5所示。

圖5 改進(jìn)鯨群算法流程圖

3 測試案例與結(jié)果分析

3.1 測試案例

為了證明IWOA算法在解決OCL問題上的優(yōu)勢，選擇了兩個典型的并聯(lián)冷機(jī)系統(tǒng)驗證算法性能。在這項研究中，為了說明IWOA算法解決OCL問題的最佳能力，對兩個案例進(jìn)行了測試。第一個多冷水機(jī)組系統(tǒng)由3個800 RT機(jī)組組成。第二個多冷水機(jī)組系統(tǒng)由4個1 280 RT機(jī)組和兩個1 250 RT機(jī)組組成。兩組冷機(jī)工況數(shù)據(jù)均選取來自臺灣新竹科技園內(nèi)的一家半導(dǎo)體廠的冷機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗。表1展示了兩個案例冷機(jī)的性能參數(shù)。

表1 測試案例冷機(jī)性能參數(shù)

3.2 結(jié)果分析

為消除偶然性，本研究所有實驗數(shù)據(jù)均在對每個實驗工況分別進(jìn)行了30次獨立實驗基礎(chǔ)上得到的，首先將改進(jìn)鯨群算法用于OCL問題的求解。在案例1實驗中將IWOA算法與GA[4]、PSO[7]、IFODPSO[15]等其他曾用于求解OCL問題的元啟發(fā)式算法進(jìn)行對比，結(jié)果如表2所示。從表2可看出IWOA算法在各工況下運行的結(jié)果均優(yōu)于GA算法，在不同負(fù)荷需求下可節(jié)能2.84～149.93 kW不等，特別是當(dāng)負(fù)荷需求低于1 440 RT(60%)時，均節(jié)能超過100 kW。當(dāng)冷機(jī)在高負(fù)荷需求條件下運行時，節(jié)能效率有所下降，但依然可節(jié)能2.84～7.16 kW。與PSO、IFODPSO相比在各種負(fù)荷條件下均獲得了相似的優(yōu)化結(jié)果。在案例2的實驗中，將IWOA算法與GA、PSO、DS算法進(jìn)行了對比，如表3所示：表3顯示了冷水機(jī)組的總功耗和每臺冷水機(jī)組的部分負(fù)荷比，IWOA算法在不同需求下與GA、PSO、IFODPSO算法相比可節(jié)能0.95～159.79 kW。當(dāng)部分負(fù)荷比小于80%時，IWOA算法計算的最小能耗比GA算法高1～4.3%，比PSO算法高1.6～2.1%，比IFODPSO算法高1.59～2.19%。在部分負(fù)荷比高于80%時，IWOA算法的優(yōu)化結(jié)果與IFODPSO算法相同。與其他優(yōu)化算法相比在統(tǒng)計平均運行時間方面，IWOA算法優(yōu)于PSO算法和GA算法。這是因為提高算法收斂精度和減少運行時間是兩個相互矛盾的目標(biāo)，但隨著計算工具性能的不斷提高，這一矛盾得到了很好的解決[25]。圖6展示了兩個不同案例下IWOA算法的收斂曲線，對于案例1對應(yīng)的三臺冷機(jī)低維問題，IWOA算法可以保證在10代之內(nèi)快速收斂到最優(yōu)值，這是因為通過混沌映射，將初始化粒子均勻遍布解空間，以及通過變異指數(shù)對收斂因子的改進(jìn)，既可以加快算法的收斂速度又可以保證算法不易陷入局部最優(yōu)解。而面對案例2的6臺冷機(jī)對應(yīng)的高維問題，算法相應(yīng)的收斂速度有所減慢，但在30代內(nèi)算法就能保證收斂到最優(yōu)值，通過實驗可以看出算法具有良好的收斂性。從表4可以看出，將案例1和案例2中的WOA算法與IWOA算法在每個負(fù)荷需求下30次獨立運行后的最大、最小和平均能耗進(jìn)行了比較，并通過標(biāo)準(zhǔn)差驗證了能耗的離散程度，以此來驗證算法的穩(wěn)定性。案例1中，當(dāng)符合需求低于60%時，IWOA算法標(biāo)準(zhǔn)差為0，說明了在低負(fù)荷條件下，IWOA算法運行非常穩(wěn)定。當(dāng)符合需求高于60%時，兩種算法的標(biāo)準(zhǔn)差均維持在較低水平。說明兩種算法在針對只有3臺冷機(jī)的低維優(yōu)化問題時，均展現(xiàn)出了算法的穩(wěn)定性，而IWOA算法相比于WOA算法穩(wěn)定性更佳。案例2中，當(dāng)負(fù)荷需求低于75%時，IWOA算法非常穩(wěn)定，標(biāo)準(zhǔn)差為0，并在高負(fù)荷需求下，標(biāo)準(zhǔn)差維持在0.004 3～0.007 3這一低水平下。而WOA算法在案例2中的標(biāo)準(zhǔn)差差距較大分別達(dá)到了28.358 7、0.979 4、2.369 1、6.833 6、9.468 7遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于相同工況下IWOA算法所得結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差。由此可見WOA算法在面對6臺冷機(jī)對應(yīng)的高維優(yōu)化問題時，容易陷入局部最優(yōu)解，使得數(shù)據(jù)差異明顯，從而導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)差差距較大。此外，2個案例中IWOA算法相比于WOA算法在不同負(fù)荷需求條件下總功率的最小值、最大值、平均值等都要更低，更加證明了IWOA算法的優(yōu)勢。

表2 案例1中GA、PSO、IFODPSO、IWOA算法結(jié)果對比

表3 案例2中GA、PSO、IFODPSO、IWOA算法結(jié)果對比

圖6 不同情況下IWOA算法收斂曲線

另外圖7顯示了WOA算法和IWOA算法在兩個案例中30次獨立實驗的平均計算結(jié)果與最優(yōu)預(yù)測值的相對誤差。

表4 WOA算法與IWOA算法優(yōu)化結(jié)果對比

首先針對圖(a)和圖(c)分別對應(yīng)的案例1的運行結(jié)果可看出，WOA算法相對誤差均低于0.015%，負(fù)荷要求為40%和50%時，算法曲線平坦，負(fù)荷要求為80%和90%時相對誤差出現(xiàn)了一定的震蕩。而IWOA算法在負(fù)荷需求為40%、50%、60%時曲線均比較平坦，沒有出現(xiàn)明顯的誤差。負(fù)荷需求為70%、80%、90%時最大相對誤差也不超過0.003 5%。針對圖(b)和圖(d)分別對應(yīng)的案例2的運行結(jié)果，WOA算法的相對誤差均低于5%，負(fù)荷需求為70%和75%時曲線較平坦。IWOA算法相對誤差均低于0.000 6%，負(fù)荷需求為70%和75%時曲線較平坦。圖中IWOA算法在30次獨立運行的實驗結(jié)果相對誤差雖然在某些工況下有所變動，但相比于WOA算法誤差更小、曲線更加平坦從而驗證了算法可靠的穩(wěn)定性。

圖7 不同案例下WOA算法和IWOA算法相對誤差

通過實驗表明，IWOA算法是解決OCL問題的一種行之有效的方法。

4 結(jié)束語

通過增加冷卻需求和冷卻器數(shù)量，每個機(jī)組必須以最高效率運行，并應(yīng)將功耗降至最低。因此，為了降低建筑物或公司的運營成本，減少污染物的排放，OCL問題變得越來越重要。在這項研究工作中，IWOA算法作為一種有效的優(yōu)化方法被引入到OCL問題中。本文中用于解決兩個不同的測試系統(tǒng)，以評估該方法的有效性和性能。將所提供的最優(yōu)解與其他優(yōu)化方法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明，這些優(yōu)化方法在功耗方面有了顯著的提高。IWOA算法的收斂特性表明它能夠在較短的時間間隔內(nèi)獲得最優(yōu)解。該方法可方便地推廣應(yīng)用于大型多冷水機(jī)組系統(tǒng)的OCL問題。未來的趨勢可以集中在研究大規(guī)模系統(tǒng)中的OCL問題和冷水機(jī)組的每日優(yōu)化調(diào)度上。此外，制冷機(jī)滿足制冷需求過程中的廢熱可以回收利用，以滿足系統(tǒng)的熱需求。