江蘇省常州市新北區(qū)春江中心小學(xué) 姚建亞

一、概念界定

邏輯推理能力是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，是指能敏銳地展開(kāi)邏輯思維分析，迅速地把握問(wèn)題核心，用邏輯形式的語(yǔ)言做出合理正確推斷的技能與水平。在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力主要指學(xué)生能從情境、事實(shí)出發(fā)，通過(guò)觀(guān)察、比較或依據(jù)一定的規(guī)則（如定義、運(yùn)算律、性質(zhì)等）推導(dǎo)出新的結(jié)論的能力。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力培養(yǎng)的現(xiàn)狀

（一）過(guò)度關(guān)注知識(shí)，能力培養(yǎng)缺乏專(zhuān)項(xiàng)性

教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，往往較為關(guān)注知識(shí)本質(zhì)，即本節(jié)課教學(xué)什么內(nèi)容、如何達(dá)成知識(shí)目標(biāo)、如何在練習(xí)拓展中鞏固新知，等等。而作為核心素養(yǎng)之一的邏輯推理能力的培養(yǎng)，卻成了停留在教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)中的一句空話(huà)。在教師具體的核心任務(wù)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，只見(jiàn)活動(dòng)的具體路徑、學(xué)生資源預(yù)設(shè)及反饋形式等，卻未見(jiàn)邏輯推理能力的專(zhuān)項(xiàng)培養(yǎng)路徑。

（二）學(xué)生本位缺失，能力培養(yǎng)缺乏生長(zhǎng)性

學(xué)生已經(jīng)到達(dá)了怎樣的推理水平，作為教師我們是否了解呢？作為課堂的組織者、策劃者，如何貼近學(xué)生的思維水平，設(shè)計(jì)合理的邏輯推理能力培養(yǎng)路徑呢？很多教師或許都沒(méi)有思考過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樗麄儗?duì)合情推理和演繹推理也沒(méi)有進(jìn)行深度研究，對(duì)學(xué)生的邏輯推理水平也沒(méi)有時(shí)刻關(guān)注，自然不清楚如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。如此，學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)在課堂中就難見(jiàn)其生長(zhǎng)。

（三）未見(jiàn)長(zhǎng)程規(guī)劃，能力培養(yǎng)缺乏遞進(jìn)性

教材的知識(shí)編排呈網(wǎng)狀，橫縱向勾連，螺旋遞進(jìn)。不同年齡段的學(xué)生能力水平不同，學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)也該有層次性，可這往往被很多教師所忽視。缺乏有層次性的教學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維未能體現(xiàn)出應(yīng)有的高度和深度。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“簡(jiǎn)易方程”中的例題（見(jiàn)圖1），與六年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”中的例題（見(jiàn)圖2）有很多相似的地方：都知道“和”，都知道兩個(gè)未知量之間的倍率關(guān)系，都是要求兩個(gè)未知量。從問(wèn)題解決的角度看，在五年級(jí)時(shí)需用方程解答，到六年級(jí)時(shí)卻只要借助數(shù)量替換解答。這對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的要求不升反降了，實(shí)則就是教師缺乏對(duì)教材的深度解讀，只關(guān)注了表象，沒(méi)有將學(xué)生的能力、知識(shí)的練習(xí)和推理的水平綜合考量，沒(méi)有把握學(xué)生推理能力的培養(yǎng)時(shí)機(jī)。

圖1

圖2

三、小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力培養(yǎng)的實(shí)施策略

邏輯推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，其能力的形成和提高是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。其培養(yǎng)需要教師對(duì)知識(shí)本質(zhì)、學(xué)生水平和教材的結(jié)構(gòu)進(jìn)行深度解讀。

（一）深度解讀知識(shí)本質(zhì)，明晰邏輯推理的推進(jìn)范式

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有豐富的邏輯推理素材，作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該梳理出合適的內(nèi)容，再逐層細(xì)化，從合情推理和演繹推理兩個(gè)角度，設(shè)計(jì)合理的培養(yǎng)路徑，對(duì)學(xué)生進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)培養(yǎng)。教師能明確教材的培養(yǎng)目標(biāo)，有針對(duì)性地選擇推進(jìn)范式，才能真正促進(jìn)學(xué)生的邏輯推理能力的提升。

1.合情推理的推進(jìn)范式

合情推理在小學(xué)階段是最為常見(jiàn)的，教師要明晰其特征，在教材中將其整理出來(lái)，探究科學(xué)的合情推理培養(yǎng)范式。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第34頁(yè)有這樣的一道思考題（見(jiàn)圖3）。很多教師可能只關(guān)注結(jié)論是否正確，卻未關(guān)注學(xué)生得出結(jié)論的過(guò)程。其實(shí)這是一個(gè)“合情推理”的初步模型，學(xué)生推翻錯(cuò)誤猜想、探究正確方法的過(guò)程就是邏輯推理能力的培養(yǎng)過(guò)程。學(xué)生通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)3=1+2，于是就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤猜想。接著發(fā)現(xiàn)2+3＜8，先是得出之前的猜想是錯(cuò)誤的結(jié)論，接著想到用新學(xué)習(xí)的乘法計(jì)算2×3=6，還缺2，此時(shí)得出了第二個(gè)猜想：下面兩個(gè)數(shù)的積+左邊的數(shù)=上面的數(shù)。再進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)此結(jié)論成立。過(guò)程中，教師要給足學(xué)生時(shí)間和空間，指導(dǎo)學(xué)生完整地表達(dá)自己的思維過(guò)程，實(shí)現(xiàn)合情推理的專(zhuān)項(xiàng)培養(yǎng)。作為提升，教師還可以提供一個(gè)空白的表格，讓學(xué)生自由填一填、辨一辨、說(shuō)一說(shuō)思維過(guò)程。如此，學(xué)生對(duì)合情推理的范式就有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，就能真正實(shí)現(xiàn)對(duì)合情推理能力的應(yīng)用和提升。

圖3

2.演繹推理的推進(jìn)范式

演繹推理在小學(xué)階段屬于高階思維范疇。在教學(xué)演繹推理的內(nèi)容時(shí)，教師需明晰學(xué)生能力培養(yǎng)的實(shí)施路徑，實(shí)則就是讓學(xué)生厘清如何從已知條件出發(fā)，依據(jù)一定的規(guī)則，由數(shù)量之間的關(guān)系，有理有據(jù)地進(jìn)行推導(dǎo)，直至問(wèn)題解決的過(guò)程。其中“數(shù)量關(guān)系”“語(yǔ)言表達(dá)”“符號(hào)表達(dá)”可以作為教學(xué)的重要抓手。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了3個(gè)階段：“聽(tīng)得懂”“試著說(shuō)”“會(huì)應(yīng)用”，其演繹推理能力就會(huì)逐步提升。

例如，在教學(xué)“組合圖形的面積”時(shí)，很多教師會(huì)選擇如圖4的拓展題，讓學(xué)生求大正方形的面積（單位：厘米）。根據(jù)面積公式，學(xué)生首先想到可以用邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)，但是用小學(xué)的知識(shí)無(wú)法求出大正方形的邊長(zhǎng)，于是學(xué)生就無(wú)從下手了?！八季S受阻”促使他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)“新關(guān)系”，探尋“新路徑”。慢慢地，一部分學(xué)生就能想到：根據(jù)新學(xué)習(xí)的“組合圖形的面積”，可以用“分一分”的方法來(lái)解決問(wèn)題。

圖4

起初他們大多用語(yǔ)言表達(dá)：“把大正方形看成是4個(gè)完全相同的三角形和一個(gè)小正方形組合起來(lái)。已知三角形的兩條直角邊，可以直接求出其面積是6×2÷2=6（cm2）；小正方形的邊長(zhǎng)等于兩條直角邊的差，其面積為（6-2）2=16（cm2），那大正方形的面積就是4×6+16=40（cm2）?！眻D形之間的面積關(guān)系與計(jì)算，實(shí)則就是演繹推理的范疇。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)演繹推理能力的培養(yǎng)，讓更多的學(xué)生學(xué)會(huì)演繹推理，教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生：“他的想法你聽(tīng)懂了嗎？你也能和同桌這樣說(shuō)一說(shuō)嗎？”學(xué)生在“聽(tīng)得懂”后“試著說(shuō)”，理清了思路，使得自身的演繹推理能力得到提升。之后再碰到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，學(xué)生有了經(jīng)驗(yàn)的積累，自然也就“會(huì)應(yīng)用”了。

（二）深度解讀認(rèn)知水平，明晰邏輯推理的培養(yǎng)路徑

學(xué)生是邏輯推理能力培養(yǎng)的主體，只有貼近他們的認(rèn)知水平，培養(yǎng)才能真正有實(shí)效。教學(xué)必須考慮學(xué)生已經(jīng)達(dá)到的水平，并要走在學(xué)生發(fā)展水平的前面。教師在制定邏輯推理能力的培養(yǎng)目標(biāo)時(shí)，要關(guān)注學(xué)生兩個(gè)層次的水平：第一是學(xué)生現(xiàn)在已有的水平，第二是在指導(dǎo)或者幫助下學(xué)生可以達(dá)到的發(fā)展水平。課堂中，教師要允許不同能力水平的學(xué)生選擇不同的培養(yǎng)路徑。

以蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”的教學(xué)為例：“在1個(gè)大盒和5個(gè)同樣的小盒里裝滿(mǎn)球，正好是80個(gè)。每個(gè)大盒比每個(gè)小盒多裝8個(gè)，大盒里裝了多少個(gè)球？每個(gè)小盒呢？”

根據(jù)學(xué)生的思維水平，教師可以提供兩種推理路徑供學(xué)生自行選擇。

A級(jí)：（通過(guò)畫(huà)一畫(huà)，直觀(guān)呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系）在大盒中拿去8個(gè)球，將其假設(shè)成小盒，此時(shí)總數(shù)也減少了8個(gè)。即6個(gè)小盒共80-8=72（個(gè)），小盒可以裝72÷6=12（個(gè)），大盒可以裝12+8=20（個(gè)）。如此就能解決問(wèn)題了。

B級(jí)：（方程思想）學(xué)生根據(jù)“差數(shù)”關(guān)系來(lái)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)“總和”來(lái)列方程。這種方法勾連方程思想和代數(shù)方法，為高階思維方式，一部分能力較強(qiáng)的學(xué)生可以達(dá)到此要求。

學(xué)生可以根據(jù)自己的水平，自行選擇解決問(wèn)題的方式。雖然邏輯推理能力的培養(yǎng)路徑不同，但學(xué)生們學(xué)在各自的最近發(fā)展區(qū)，反而得到了更好的發(fā)展。

（三）深度解讀生成結(jié)構(gòu)，明晰邏輯推理的培養(yǎng)層級(jí)

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排呈螺旋上升的趨勢(shì)。縱向看，同一知識(shí)點(diǎn)可能分布在不同的學(xué)段，教師在設(shè)計(jì)邏輯推理能力培養(yǎng)的路徑時(shí)，不能一概而論，隨著學(xué)生年級(jí)的升高、知識(shí)的豐富，教學(xué)要體現(xiàn)層次性、遞進(jìn)性。

例如三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“估算”時(shí)，很多教師都認(rèn)為這個(gè)內(nèi)容無(wú)從下手，總覺(jué)得不管怎么教，學(xué)生就是達(dá)不到預(yù)期的目標(biāo)。圖5是一個(gè)很好的中年級(jí)演繹推理的教學(xué)范例，其內(nèi)容對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的要求較高。教材中提供了兩種思路：小青椒用的是語(yǔ)言表述的方法，引導(dǎo)學(xué)生表述推理過(guò)程，“把48看作50，4×50=200，估大了，實(shí)際比200少，所以200元夠了?！倍∧⒐絼t用算式符號(hào)表達(dá)。三年級(jí)的學(xué)生，如果能像小蘑菇這樣寫(xiě)出推理過(guò)程，基本就實(shí)現(xiàn)了推理目標(biāo)。

圖5

隨著年級(jí)的升高，進(jìn)入六年級(jí)總復(fù)習(xí)時(shí)，有一節(jié)估算專(zhuān)題復(fù)習(xí)課。此時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與三年級(jí)時(shí)已然不同。因此在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的過(guò)程中，培養(yǎng)目標(biāo)可以體現(xiàn)遞進(jìn)性。在原有的推理方式的基礎(chǔ)上，教師可以嘗試引入“∵”“∴”的符號(hào)，幫助學(xué)生更好地進(jìn)行符號(hào)表達(dá)。每一步的推理過(guò)程也要更見(jiàn)“推進(jìn)性”。如，“∵48＜50，∴4×48＜4×50，即4×48＜200，∴200元夠了?！彼^步步有據(jù)，清晰的推理過(guò)程便是如此。

綜上所述，教師要提升認(rèn)知，深度解讀教材，明確合情推理和演繹推理的特征，并要在課堂中體現(xiàn)完整的推理過(guò)程。這樣，學(xué)生在每節(jié)課中，邏輯推理能力都能不斷獲得提升，在碰到新的情境時(shí)，就能激發(fā)其推理意識(shí)，使其自主探索合理的推理路徑，提升自身推理水平。