張圣茹 龔衛(wèi)東(正高級教師 特級教師)

(1.北京師范大學(xué)樂育書院 2.深圳市高級中學(xué))

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》中強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入日常教學(xué)中,它明確指出,數(shù)學(xué)文化不僅包括數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn),以及它們的形成與發(fā)展,還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)與意義,以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動.在命題上,以數(shù)學(xué)文化為背景不僅能拓寬學(xué)生的眼界,使學(xué)生了解數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,也能綜合考查與提高學(xué)生的閱讀理解能力、核心素養(yǎng).因此,以此為背景的高考題目也越來越多,本文以幾道數(shù)學(xué)文化試題為例,談?wù)勏嚓P(guān)解題策略.

1 立體幾何

例1(2020年全國Ⅰ卷理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐(如圖1).以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底邊正方形的邊長的比值為( ).

圖1

圖2

點(diǎn)評

本題將立體幾何與代數(shù)通過人類智慧結(jié)晶——金字塔進(jìn)行巧妙地結(jié)合,考查學(xué)生根據(jù)題目要求設(shè)未知量以及求解運(yùn)算能力,涉及邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及直觀想象核心素養(yǎng).

2 平面幾何

例2(2021年全國乙卷理9)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測量海島的高.如圖3所示,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB＝( ).

圖3

解析

本題將空間中的測量問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的長度關(guān)系問題.

將圖3 抽象成圖4,連接FD交AB于M,則AB＝MB＋AM.

圖4

點(diǎn)評

《海島算經(jīng)》為數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)注》中的一卷,《九章算術(shù)注》共十卷,全都為數(shù)學(xué)知識在實地測量中的應(yīng)用.此題以此為背景,考查三角形相似、三角函數(shù)以及平面中三角形各邊表示及其關(guān)系.涉及新課標(biāo)中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象核心素養(yǎng).

3 等差數(shù)列

例3(2020年全國Ⅱ卷理4)如圖5所示,北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)( ).

圖5

A.3699塊 B.3474塊

C.3402塊 D.3339塊

解析

根據(jù)題意,可知天壇三層由內(nèi)到外每環(huán)的扇面形石板塊數(shù)構(gòu)成首項為9、公差為9的等差數(shù)列,設(shè)第n環(huán)的扇面形石板數(shù)目為an,Sn為{an}的前n項和,設(shè)每層都有n環(huán),則

解得n＝9,從而S3n＝S27＝3402,故選C.

點(diǎn)評

本題以貼近生活的情境為背景,考查學(xué)生對等差數(shù)列的通項公式等基本知識的掌握情況,反映了我國古代的建筑成就,有利于激發(fā)學(xué)生對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的熱愛之情,使學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)之美.

4 等差與等比數(shù)列結(jié)合

例4(2021年全國Ⅰ卷16)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時,發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm 的長方形紙,對折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1＝240dm2,對折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2＝180dm2,以此類推,則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為__________;如果對折n 次,那么

解析

本題以剪紙中的圖形面積變換為背景,通過構(gòu)建數(shù)列求解.根據(jù)題意,對折4次可以得到五種規(guī)格的圖形,通過數(shù)學(xué)歸納法,可知對折n次可得到(n＋1)種不同規(guī)格的圖形,每種規(guī)格圖形的面積均為dm2,它們的面積之和為因此

點(diǎn)評

中國剪紙作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn),是中國文化的重要組成部分,剪紙過程中利用到的技法是數(shù)學(xué)知識的具象化.本題考查數(shù)列求和的知識點(diǎn),使學(xué)生更深入了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,體會數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用.

5 變式鞏固

練習(xí)1如圖6所示,唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安,這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美,充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝,是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線C的一部分,若C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e＝2,且點(diǎn)在C上,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ).

圖6

答案B.

練習(xí)2《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著,由明代數(shù)學(xué)家程大位編著,它對中國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用.在這部著作中,許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的,如“九兒問甲歌”就是其中一首:一個公公九個兒,若問生年總不知,自長排來差三歲,共年二百又零七,借問長兒多少歲,各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中,記這位公公的第n個兒子的年齡為an,則a3＝( ).

A.14 B.18 C.29 D.32

答案C.

6 小結(jié)

每道題目考查的知識點(diǎn)并不單一,凸顯出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的多元化.以數(shù)學(xué)文化為命題背景的試題難度多為中下,多出現(xiàn)于選擇題或填空題,涉及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與人文、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與生活等多個方面,具有經(jīng)典性、時代性、創(chuàng)新性等特點(diǎn).

就幾何和數(shù)列而言,中國古代的《張丘建算經(jīng)》中涉及的等差數(shù)列各元素互求,《九章算術(shù)注》中出現(xiàn)的眾多測量計算以及圖形變換,西方歐幾里得的《幾何原本》中展現(xiàn)出歐氏平面諸多定理的強(qiáng)大,都對學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想史,感悟數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程與現(xiàn)實應(yīng)用有一定幫助.

無論數(shù)學(xué)文化題目的背景如何改變,高考數(shù)學(xué)對學(xué)生數(shù)學(xué)知識與能力以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查總目標(biāo)不變,在實際教學(xué)中,教師應(yīng)注意“情境設(shè)定”,讓學(xué)生經(jīng)歷完整的知識構(gòu)建以及建模過程,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì),促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展,將知識與文化、科技等融合,發(fā)揮育人作用.

(完)