陳偉流

(廣東省惠州仲愷中學(xué))

圓錐曲線的焦點弦問題向來是高考命題的熱點,其涉及題型多,涵蓋面廣,如焦點弦定比分點、通徑、焦點及準(zhǔn)線關(guān)聯(lián)的定值、定點等問題,既傳承經(jīng)典,又?？汲Ｐ?試題常圍繞焦點弦的相關(guān)優(yōu)美性質(zhì),在學(xué)生的必備知識、關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)等層面進(jìn)行不同程度的考查,所以我們有必要對母題進(jìn)行系統(tǒng)、全面、深入解讀與拓展.為此,筆者從三道解析幾何的模擬試題出發(fā),探索與推廣圓錐曲線焦點弦的優(yōu)美性質(zhì),為讀者提供一定的借鑒與參考.

1 試題呈現(xiàn)

2 性質(zhì)探索

將例2的背景進(jìn)一步推廣到雙曲線,經(jīng)探究,可得性質(zhì)2.2.

圖2

圖3

其中e1,e2分別為橢圓C1和雙曲線C2的離心率.

圖4

3 應(yīng)用提升

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(－1,0),B(1,0),動點C滿足直線AC與直線BC的斜率乘積為3.

(1)求動點C的軌跡方程E;

(2)過點(2,0)作直線l交曲線E于P,Q兩點(P,Q在y軸兩側(cè)),過原點O作直線l的平行線l1交曲線E于M,N兩點(M,N在y軸兩側(cè)),試問是否為定值? 若是,求出該定值;若不是,說明理由.

答案(1)動點C的軌跡方程為

圖5

答案(1)C1和C2的方程分別為

解析幾何試題向來以命制背景豐富、呈現(xiàn)形式多樣、結(jié)論優(yōu)美和諧而深受廣大師生熱捧,特別是與焦點有關(guān)聯(lián)的定值、定點問題更是高考中的?？?只要我們善于發(fā)現(xiàn)、勤于探索、樂于總結(jié),必能在知識整體上理解問題的通性通法,明晰相關(guān)結(jié)論的邏輯,如此才能提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),培養(yǎng)問題解決的思維品質(zhì),為高考備考做好全方位的儲備.

(完)