王小國(guó) 童繼稀

(1.湖南省常寧市第二中學(xué) 2.湖南省長(zhǎng)沙市雷鋒學(xué)校)

高考真題背后往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)背景和知識(shí)結(jié)構(gòu),深入研究這些問(wèn)題,對(duì)提高同學(xué)們的解題能力、思維素養(yǎng)有著深遠(yuǎn)的意義.本文給出2021年新高考Ⅰ卷第21題第(2)問(wèn)的3種求解方法,并結(jié)合試題結(jié)構(gòu)進(jìn)行關(guān)聯(lián)性拓展研究,以期拓寬大家的視野,提升研究精神.

1 真題呈現(xiàn)

本題充分體現(xiàn)了解析幾何解答題起點(diǎn)低、落差高、設(shè)問(wèn)有梯度的命題特點(diǎn),發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科高考的選拔性功能.第(1)問(wèn)可以利用定義法求曲線方程,考查了對(duì)雙曲線的概念理解,注意點(diǎn)M的軌跡只是雙曲線的一支.第(2)問(wèn)對(duì)考生的思維能力要求很高,主要考查了考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與轉(zhuǎn)化能力,求解困難表現(xiàn)在:1)坐標(biāo)字母多,考生處理時(shí)有畏懼心理;2)式子井然有序,頗有規(guī)律,但結(jié)構(gòu)復(fù)雜;3)動(dòng)態(tài)變化之中的定值問(wèn)題,需要探索,對(duì)考生的運(yùn)算及轉(zhuǎn)化能力要求較高.

2 解法賞析

3 關(guān)聯(lián)性探究

3.1 背景溯源

由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|的代數(shù)結(jié)構(gòu),我們?nèi)菀茁?lián)想到初中的割線定理與相交弦定理.

定理1(割線定理或相交弦定理)直線AB與CD交于點(diǎn)P,則A,B,C,D四點(diǎn)共圓的充要條件是

在解析幾何有關(guān)四點(diǎn)共圓的證明中,我們有以下一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的充要條件.

定理2若兩條直線y＝kix＋bi(i＝1,2)與圓錐曲線ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四個(gè)交點(diǎn),則四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是k1＋k2＝0.

實(shí)際上,真題中的A,B,P,Q應(yīng)四點(diǎn)共圓,即圓與圓錐曲線相交于四點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)解析幾何中的相關(guān)四點(diǎn)共圓問(wèn)題,很多文獻(xiàn)已作詳述.

3.2 教材鏈接與高考命題特點(diǎn)

以四個(gè)共圓的點(diǎn)滿足的關(guān)系為命題條件或結(jié)論,在教材、高考真題中經(jīng)常出現(xiàn).

例1(人教A 版高中數(shù)學(xué)《選修4-4》第38頁(yè)例4)如圖1所示,AB,CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦,交點(diǎn)為P.兩弦AB,CD與橢圓長(zhǎng)軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1＝∠2,求證:|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.

圖1

題中的條件∠1＝∠2,即為直線AB與CD的斜率互為相反數(shù),從而有|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.

當(dāng)兩直線的斜率不滿足該關(guān)系時(shí),我們可推廣得到以下一般結(jié)論.

證明過(guò)程略.

當(dāng)定理1中的C,D兩點(diǎn)重合,即直線CD為圓的切線時(shí),便可得到切割線定理.令T為切點(diǎn),則|PT|2＝|PA|·|PB|.以此式結(jié)構(gòu)拓展到橢圓中,有以下高考題.

例3(2016年四川卷理20,節(jié)選)已知橢圓E:的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn),直線l:y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

由于橢圓是由圓進(jìn)行伸縮變換所得,故非平行的等長(zhǎng)線段在同一伸縮變換作用下所得線段長(zhǎng)度不一定相等.也就是說(shuō)圓的切割線定理中的割線任意性,在橢圓中會(huì)受到一定條件的限制,這就是橢圓的“類切割線定理”.我們也可推廣得到如下結(jié)論.

結(jié)論2已知傾斜角為α的直線l1與橢圓E:(a＞0,b＞0)相切于點(diǎn)T,過(guò)直線l1上的任意一點(diǎn)P,作傾斜角為β的直線l2與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,則

3.3 類似條件結(jié)構(gòu)的處理技巧延伸

在高考真題中,對(duì)于類似的多線段長(zhǎng)度比例式或乘積式結(jié)構(gòu),我們同樣可以借助弦長(zhǎng)公式處理,可以轉(zhuǎn)化為向量處理,也可以利用投影轉(zhuǎn)化為某個(gè)坐標(biāo)的代數(shù)式予以處理,還可以根據(jù)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解,利用一些幾何定理及性質(zhì)予以轉(zhuǎn)化.

3.4 類似結(jié)論關(guān)聯(lián)下的性質(zhì)探索

結(jié)論3若點(diǎn)A,B,C為圓錐曲線上三點(diǎn),A為定點(diǎn),且kAB＋kAC＝0,則kBC為定值.

該結(jié)論在圓中顯然成立,為了突出問(wèn)題,以下我們轉(zhuǎn)化為在橢圓、雙曲線與拋物線中來(lái)體現(xiàn)結(jié)果.

4 小結(jié)

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò),解題就像采蘑菇,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),它的周圍可能就有一個(gè)蘑菇圈.本題便是一個(gè)極為漂亮的“蘑菇”.

首先,它根植于教材,教材不僅是基礎(chǔ)知識(shí)與思想方法的重要載體,還是高考命題的主要依據(jù)與來(lái)源.如該真題的結(jié)構(gòu)模型,本質(zhì)是對(duì)四點(diǎn)共圓問(wèn)題的考查,源自教材,又高于教材,切中考生的“軟肋”:多字母運(yùn)算處理,復(fù)雜結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化,動(dòng)態(tài)問(wèn)題的探究.因此,我們要重視教材中一些重要素材的研究與挖掘.

再者,我們?cè)诮忸}時(shí),要回歸本源,高考真題并非無(wú)源之水.解析幾何問(wèn)題,往往立意深刻,蘊(yùn)藏著豐富的幾何背景及規(guī)律.而追根溯源,在研究與挖掘、拓展與延伸中,采到“蘑菇圈”,不僅可掌握此類問(wèn)題的基本處理方法,還能感受到思維、結(jié)構(gòu)與邏輯的奇妙與美,提升思維素養(yǎng),促進(jìn)深度學(xué)習(xí),把握問(wèn)題的本質(zhì).

最后,我們要重視數(shù)學(xué)問(wèn)題間蘊(yùn)藏的關(guān)聯(lián)性、相似(近)性,要善于鏈接教材、鏈接高考、鏈接競(jìng)賽、鏈接方法、鏈接思維等,通過(guò)具體案例尋找研究對(duì)象內(nèi)在的聯(lián)系,如知識(shí)結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、條件層面、結(jié)論層面、問(wèn)題背景、解題思路之間的聯(lián)系等,再總結(jié)共性,融會(huì)貫通,學(xué)以致用,以至于把握數(shù)學(xué)的整體規(guī)律,提升對(duì)學(xué)科整體認(rèn)識(shí)的高度、廣度以及深度.

(完)