王奇彥

(昆山市實(shí)驗(yàn)中學(xué),江蘇 蘇州 215300)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓,培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力是初中數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo).在教學(xué)過程中,長期滲透數(shù)學(xué)思想,才能收到良好的教學(xué)效果.本文以初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容為載體,淺談筆者在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的幾點(diǎn)體會(huì).

1 在知識(shí)體系建構(gòu)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教材中的概念、法則、公式、性質(zhì)等知識(shí)都是有“形”的,而數(shù)學(xué)思想方法卻隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系里,是無“形”的,關(guān)鍵是教師如何去發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘教材中蘊(yùn)含的思想方法.轉(zhuǎn)化思想作為最活躍、最常用的數(shù)學(xué)思想方法,在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行推廣是必須的[1].

古往今來,數(shù)學(xué)知識(shí)從來都不是孤立存在的,而是一脈相承、緊密聯(lián)系的.數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法又是密不可分的,后者附著于前者而存在.初中生掌握的知識(shí)比較零散,初中數(shù)學(xué)教學(xué)更要幫助學(xué)生建構(gòu)思維體系,學(xué)會(huì)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.筆者在教學(xué)過程中注重學(xué)生思維體系的構(gòu)建,注重學(xué)生解決問題策略的多樣化,并滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

例如,在用“邊邊邊”證明三角形全等的教學(xué)中,筆者讓學(xué)生根據(jù)已知條件畫出相應(yīng)的三角形,教師在觀察學(xué)生作品的同時(shí),提出問題:“我發(fā)現(xiàn)大家畫的三角形的大小和形狀都非常接近,是不是一樣的呢?”請(qǐng)部分學(xué)生看看其他同學(xué)所畫的三角形,回答老師的疑問,答案是肯定的.

另外,筆者請(qǐng)學(xué)生思考:采用什么方法可以說明大家畫的三角形是全等的呢?學(xué)生暢所欲言,有的說采用“邊角邊”的方法證明,有的說采用“角邊角”的方法證明,有的說采用“角角邊”的方法證明,也有的說利用疊合法,把幾位同學(xué)的三角形剪下來,看能否完全重合來判斷全等.對(duì)以上這些方法,教師應(yīng)充分肯定和重點(diǎn)說明.之后,師生共同總結(jié)利用“邊邊邊”證明三角形全等的方法,完成證明過程的書寫,初步形成對(duì)本知識(shí)點(diǎn)的建構(gòu).最后,提問學(xué)生:“剛才我們探究三角形全等的判斷條件‘邊邊邊’的證明方法時(shí)采用了怎樣的數(shù)學(xué)方法呢?”學(xué)生舉手發(fā)言,師生共同總結(jié)出運(yùn)用了轉(zhuǎn)化法、歸納法以及演繹推理等數(shù)學(xué)思想方法.

通過這樣的教學(xué)活動(dòng),學(xué)生有效掌握了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,提升了其合作交流、主動(dòng)探索的能力,學(xué)生的思維體系不斷建構(gòu)和完善,學(xué)生有能力發(fā)散性地思考問題,交流數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法.將證明“兩個(gè)能夠完全重合的三角形稱為全等三角形”轉(zhuǎn)化為只要證明“兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)相等”即可,將實(shí)際情況可能無法操作的定義轉(zhuǎn)化為方便可行的判定定理.這就是轉(zhuǎn)化思想的魅力之處.當(dāng)然,轉(zhuǎn)化不是解決數(shù)學(xué)問題的唯一方法,上述案例中還蘊(yùn)涵了其他的思想方法.

2 化難為易——蘊(yùn)涵在反比例函數(shù)中的“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化

恩格斯指出:數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).初中生的抽象思維還不夠完善,在解決反比例函數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的綜合性數(shù)學(xué)問題時(shí),教師應(yīng)嘗試用形象思維幫助學(xué)生理解與分析問題,在“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化中,完成對(duì)此類問題的探究.

圖1 例1題圖

教學(xué)中,學(xué)生讀完題目后,感覺無從下手.以下是筆者的教學(xué)實(shí)錄和體會(huì).

教師:本題求什么?

學(xué)生1:k.

教師:k是什么?

學(xué)生2:反比例函數(shù)的比例系數(shù).

教師:同學(xué)們之前是怎么求的?

學(xué)生3:已知反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)或滿足反比例函數(shù)解析式的一組x和y的對(duì)應(yīng)值.

教師:一定要知道x與y各是多少嗎?還是知道某種關(guān)系就可以了?

學(xué)生4:不一定,因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的第三種表達(dá)式是xy=k,只需求得一組x與y的積即可.

教師:其他同學(xué)贊同嗎?其他學(xué)生表示贊同.

通過提問逐步啟發(fā),學(xué)生明白了k的值等于符合反比例函數(shù)解析式的一組x與y對(duì)應(yīng)值的乘積,將求k的問題轉(zhuǎn)化成了求一組x與y對(duì)應(yīng)值乘積的問題,這是求解本題的關(guān)鍵之一.

教師:同學(xué)們能從題設(shè)中看出什么隱含的條件?

學(xué)生5:由AO=AB可知△ABO是等腰三角形.

學(xué)生6:△ABO的面積為12,為利用這一條件,需作△ABO的高.求三角形的面積需要作高.

學(xué)生7:點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),想到過點(diǎn)A作△ABO的高,過點(diǎn)D作x軸的垂線段DE,分別交x軸于點(diǎn)C和E.教師板書添加輔助線,如圖2所示.

圖2 添加輔助線后的圖形

教師:這樣添輔助線能幫助我們解決問題嗎?

3 實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,在轉(zhuǎn)化中增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在基本理念中指出:“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具,能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明,數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象.”重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用,加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系,是其強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)之一.在解決實(shí)際問題時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生重在分析,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力[2].

例2 某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體,當(dāng)溫度不變時(shí),氣球內(nèi)氣體的氣壓P(kpa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù),其圖像如圖3所示.

圖3 例2題圖

(1)你能寫出這個(gè)函數(shù)的解析式嗎?

(2)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于140 kpa時(shí),氣球?qū)⒈?為了安全起見,氣體的體積應(yīng)不小于多少?

在本題的探討中,學(xué)生看到題設(shè)就知道是反比例函數(shù).有學(xué)生能準(zhǔn)確地說出圖像是比例系數(shù)k>0時(shí),反比例函數(shù)圖像位于第一象限的一支曲線.學(xué)生自然將其與反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型聯(lián)系在了一起.

教師:第一問怎么求?

教師:為什么這樣代入點(diǎn)A的坐標(biāo)求出的k就是反比例函數(shù)的比例系數(shù)?

學(xué)生1:因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上,它的橫、縱坐標(biāo)是滿足解析式的一組x與y的對(duì)應(yīng)值.

教師:你們覺得呢?學(xué)生表示贊同.

教師:第二問有沒有關(guān)鍵詞,應(yīng)該怎么做?

學(xué)生2:問題中含有“大于”“不小于”兩個(gè)關(guān)鍵詞,用不等式解決.

教師:其他同學(xué)跟他想法一樣嗎?有學(xué)生贊同.

教師:大家自己試著求一求.

學(xué)生3:按照題設(shè)列出的是不等式,還沒有學(xué)過.其他同學(xué)也遇到了困難.

教師:如圖3,y表示氣壓,從圖像上看,“氣壓大于140 kpa”表示哪一段函數(shù)圖像呢?體積呢?

學(xué)生4:從圖像上看,“氣壓大于140 kpa”表示縱坐標(biāo)大于140 kpa時(shí)對(duì)應(yīng)的部分函數(shù)圖像,即圖中所畫水平直線上方的部分函數(shù)圖像.為了安全,氣體的體積應(yīng)該不小于水平直線與反比例函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師生共同得出,水平直線與反比例函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是題目要求的安全體積的最小值.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的思維過程,如圖4所示.

圖4 解決實(shí)際問題的基本思維過程

本案例中,學(xué)生與教師共同探討,交流互動(dòng),遇到困難時(shí)能迎難而上,探尋正確的方法.最后還能總結(jié)實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題之間的關(guān)系,豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的維度,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)交流與反思的過程,總結(jié)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維方式,逐步建構(gòu)起數(shù)學(xué)思維體系,將數(shù)學(xué)知識(shí)真正運(yùn)用于實(shí)際生產(chǎn)生活中.

正如著名的數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所云:“完善的思想方法猶如北極星,許多人通過它而找到正確的道路.”在平時(shí)教學(xué)中,我們要努力挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化思想及其它數(shù)學(xué)思想,把握運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的機(jī)會(huì),增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.