●武向權 張忠明 郭 燦 徐春杰

一、引言

隨著工程教育認證的“以學生為中心”“成果導向教育”和“持續(xù)改進”三個核心理念[1]廣泛融入到我國的工程教育實踐之中[2]，如何在全面信息化的時代背景下使工程教育更加適應現(xiàn)代科技的發(fā)展，融入最新的工程實踐，是新工科建設中必須思考的問題。[3]新工科建設就是為了滿足新技術、新產(chǎn)業(yè)對合格人才的迫切需求。[4]歷次工業(yè)革命都對當時的高等教育提出了重大挑戰(zhàn)，但也是高等教育跨越式發(fā)展的良好機遇。當前新技術革命風起云涌，以信息技術、計算機技術、微電子技術為代表的信息革命正在革新傳統(tǒng)工程行業(yè)，以人工智能、大數(shù)據(jù)為代表的先進算法正在逐漸深入技術領域的方方面面。傳統(tǒng)工程學科如何適應這一新技術時代的迅猛發(fā)展，如何革新課程內容，使得學習工程科學的學生快步趕上和引領最新的工程應用，如何在工程學科的教育上實現(xiàn)新理念、新模式、新方法和新內容，是傳統(tǒng)工科基礎課程亟待解決的重要問題。同時，新技術的發(fā)展給傳統(tǒng)工程學科帶來解決問題的新思路和新手段。

傳輸原理是金屬材料、冶金、材料成型、冶金機械、化工等專業(yè)必須學習的專業(yè)基礎理論課程。[5]理論分析、實驗分析、數(shù)值分析可以稱之為學習傳輸原理的三駕馬車，在傳統(tǒng)以講授為主的課堂教學中，教師以講授理論為主，學生學習到的主要方法為基于數(shù)學方法的理論分析。實驗課單獨開設，通過簡單案例加深學生對傳輸原理基本概念的實際理解。在這一過程中，數(shù)值分析方法由于其理論層面難度大，往往只能介紹基本思路。學生學習傳輸原理的能力目標之一是能夠采用數(shù)值模擬，分析傳輸場中的物理量隨時間和空間的分布規(guī)律。在實際教學中，理論分析占主導地位，數(shù)值分析則存在缺位。

近年來，已經(jīng)有教師開始將科研融入傳輸原理的課堂[6]，開始使用數(shù)值分析手段介紹傳輸原理的基本知識，通過數(shù)值分析可視化傳輸過程，取得了良好效果。[7]然而目前的教學改革對數(shù)值分析這一重要分析方法仍存在只“授學生以魚”的問題，學生在其他課程中雖然學習了數(shù)值分析的基礎知識和有限元軟件知識，卻并沒有掌握能夠應用于傳輸原理的數(shù)值分析思路和手段。在教學中更多是應用高度包裝的商業(yè)軟件，沒有提供給學生自主學習的方向以及可自由使用且具備高自由度的數(shù)值分析平臺，導致學生存在知識結構和工具方法上的認識缺失。通過將多傳輸場耦合的開源數(shù)值仿真引入《傳輸原理》的工程教育中，在教學中提取和重構結合開源平臺的數(shù)值仿真案例，并通過項目驅動和小組協(xié)作，有助于激發(fā)學生的學習和創(chuàng)新主觀能動性，自主學習掌握最新的信息技術和工具，采用科學的思路分析和解決實際中的涉及傳輸理論的問題。這種開源數(shù)值仿真的多傳輸場耦合教學路徑，為傳輸原理的工程教育提供了有效手段和新思路。

二、傳輸原理教學和開源多傳輸場數(shù)值分析

(一)傳統(tǒng)傳輸原理理論教學現(xiàn)狀

傳輸現(xiàn)象原理涉及的偏微分方程是通用的規(guī)律描述，在其公式中含有的變量復雜、空間維數(shù)多。傳統(tǒng)教學中，在介紹實際問題時只能簡化到單變量的一維問題，以利于課堂計算講解，因此存在理論推導和例題講解之間的復雜性差距。如果增加更為復雜的二維問題，就只能針對原理和過程做演示性和結論性介紹，不能有效引導學生深入思考和學習。如，在動量傳輸教學中，納維爾斯托克斯(N-S方程)是一個四變量、二階的偏微分方程，在理論授課時可以引導學生將公式推導出來。然而，在講授實際應用時，只能將其簡化為單變量的情況，增加附加簡化條件以便于求出分析解。

在實際授課中，雖然在課程一開始介紹了三種傳輸現(xiàn)象的共通性和定律之間的相似性，但在后續(xù)講解中將三種傳輸現(xiàn)象分為三個模塊分開講授，很難將三傳現(xiàn)象結合講解，因為涉及的求解難度和課程深度會大大增加。最終學生能夠掌握的只限于單獨傳輸現(xiàn)象的一維和穩(wěn)態(tài)的簡化問題求解，面對實際問題時缺乏解決的思路。如，鑄造的澆注過程是一個典型的三傳現(xiàn)象都存在的過程，在傳統(tǒng)授課過程中講授動量傳輸和熱量傳輸過程中均用到鑄造澆注的案例，然而這兩種傳輸在案例中卻是獨立的，學生很難從中獲得深入認識傳輸現(xiàn)象內在的聯(lián)系。傳統(tǒng)教學通過理論授課和習題練習，并參加簡單的觀察實驗，最終學生能夠了解三傳現(xiàn)象的基本公式和典型簡化問題的求解，然而對工程實際和科學研究中遇到的多種傳輸現(xiàn)象耦合問題難以找到解決的思路，在課程學習過程中沒有掌握有效的實用工具，這導致課程教學效果偏離了既定目標，很難達到新工科課程建設的要求。

(二)開源多傳輸場數(shù)值仿真分析的優(yōu)勢

由于傳輸原理問題及大部分物理場均可以用偏微分方程進行描述，采用統(tǒng)一軟件平臺進行多種物理場的求解成為現(xiàn)代數(shù)值仿真分析的目標之一，由此產(chǎn)生了多種著名的商用仿真分析系統(tǒng)。Elmer多物理場分析平臺開源于2005年，該平臺由芬蘭CSC科學中心開發(fā)，使用和安裝均按照GPL通用公共許可，對軟件的免費使用和修改只要繼續(xù)遵循GPL協(xié)議即可。[8]其優(yōu)勢為開源、封裝程度低、有可視化的GUI界面、有模型案例庫和內容詳細的模型教程[9]、以及關于求解器的數(shù)學模型手冊。[10]該軟件建模流程直觀，不同物理場對應的數(shù)學方程清晰明確。用含有關鍵詞的輸入文件SIF(solver input file)控制求解器分析，通過SIF文件，可以直觀看出輸入求解器的各種信息。這種對建模和計算流程的處理方式更加接近底層數(shù)學模型，對基本問題的處理相比于復雜商業(yè)軟件更加直觀，能夠直觀地觀察有限元分析計算的模塊架構和計算流程，不同于商用軟件的高度封裝和不可見性。

在多傳輸場方面，該軟件采用多個求解器代表不同傳輸場，并在一個耦合問題中采用多個求解器進行計算，耦合模式包括順序耦合(單向耦合)、弱耦合(雙向耦合)、強耦合(整體式耦合)。學生可以深入觀察和理解底層有限元計算。正是因為這些特點，Elmer平臺非常有利于大學本科階段的學生，針對傳輸原理的基本數(shù)學理論和進階的復雜問題，在個人電腦上自行編制求解文件并進行計算和求解。Elmer還可以對接開源的后處理軟件Paraview進行數(shù)據(jù)可視化，實現(xiàn)了分析、求解、顯示全流程自主可操控。通過這一過程，學生可以掌握一整套數(shù)值分析工具，為專業(yè)課學習以及未來從事研究性工作打下良好基礎。

三、教學路徑與方案設計

(一)課程方案設計思路

《傳輸原理》是一門材料類專業(yè)的專業(yè)基礎必修課程，將三傳理論和材料加工中的典型工程問題相結合，為學生進一步學習鑄造、鍛造、焊接、復合材料等專業(yè)課程打下牢固的理論基礎，并使學生具備識別、建模、解決復雜工程問題的能力。教學思路如下。

首先，從傳輸原理的宏觀角度揭示三種傳輸現(xiàn)象的內在聯(lián)系，讓學生掌握傳輸原理的相似性和聯(lián)系性。其次，選取鑄造澆注、加熱爐設計、金屬表面處理等工程問題案例，應用簡化的一維穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)傳輸微分方程，目的是讓學生掌握工程問題的抽象簡化方法，學會解決問題的思路，并結合實操的傳輸實驗加深對理論的理解。在此基礎之上，選取傳輸場數(shù)值仿真案例，應用傳輸微分方程解決更為復雜的問題。在該過程中，如何設計和重構針對傳輸原理課程的案例是達成良好教學效果的關鍵。選取臺階層流、馮卡門渦流等動量傳輸問題，應用動量傳輸N-S方程求解；選取三維殼體散熱和熱輻射問題，應用熱量傳輸微分方程求解；選取對流-熱傳導耦合的圓管內熱水流動問題，應用動量N-S方程和熱量微分方程單向耦合求解；選取對流-擴散非穩(wěn)態(tài)耦合問題，應用動量N-S方程和擴散微分方程雙向耦合求解。最后，通過課程大報告的形式驅動學生自主學習和解決實際問題，在小組協(xié)作和項目驅動過程中真正動手和思考問題的數(shù)值計算求解思路，并解決求解過程中碰到的問題。

(二)基于開源多物理場Elmer平臺的傳輸原理案例教學

在多傳輸場的數(shù)值仿真教學過程中，對選取的案例，首先演示輸入網(wǎng)格劃分好的模型，選定需要求解的方程(同時選定所需的求解器)，根據(jù)實際問題設定材料屬性，然后在求解文件中生成或輸入體積力、初始條件、邊界條件，最后對求解器進行設定并進行迭代求解。在案例演示的流程中，學生可以理解現(xiàn)代數(shù)值分析方法解決復雜傳輸問題的基本思路和基本過程，理解理論公式中符號的意義和作用，讓學生體驗到公式中的條件和輸入都在共同作用。為了增加課堂的互動性，鼓勵學生提前預習案例，并做案例演示自主操作。

傳輸場的求解可以歸結為偏微分方程求解，能夠求解偏微分方程的軟件有多種，Elmer并不是最佳的傳輸原理問題求解工具，也不是最佳的多物理場分析軟件，然而傳輸原理課程與Elmer平臺的有機結合能夠使得學生掌握傳輸原理相關偏微分方程的實用求解方法，能夠讓學生建立起復雜傳輸問題借助現(xiàn)代數(shù)值分析工具能夠“輕松”求解的信念，消除畏難情緒，使學生具有解決更加復雜問題的信心。

(三)小組協(xié)作和項目驅動的自主學習

通過課堂上的數(shù)值仿真案例學習以及有限的自主操作，仍難以達到學生深刻理解與有效運用數(shù)值方法的目的，因此在課堂之外的自主學習才是真正理解的開始。通過利用課程考核綜合評價，采用課程項目大作業(yè)驅動以及小組協(xié)作方式，能夠有效調動學生在課堂之外的自主學習能動性。為課程項目大作業(yè)設置合適的課程考核分數(shù)占比，并且為學生分組和指定小組長，鼓勵學生在自己的小組根據(jù)個人的能力和特點發(fā)揮實質性作用。在項目選題方面，推薦學生自由選題，充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造與創(chuàng)新能力，鼓勵他們觀察生產(chǎn)實際，分析解決工程實際問題。在項目采用的分析方法方面，推薦應用課堂中的多傳輸場開源數(shù)值仿真方法，學生可以在個人電腦上安裝運行Elmer平臺，在實際的操作和求解過程中，理解傳輸原理這門課程的現(xiàn)代數(shù)值計算方法。課堂上的教學案例均可以在學生的個人電腦上運行，有助于調動學生的課外學習積極性。這個過程體現(xiàn)了問題式引導、項目驅動、以學生為中心的課程改革思路。

四、傳輸場仿真案例及教學實施效果

(一)應用動量傳輸N-S方程求解層流和渦流問題

動量傳輸涉及到的流體問題是復雜的，作為通用的描述理想流體的歐拉方程和描述實際流體的納維斯托克斯方程，由于涉及到的流體參數(shù)、時間、空間維度多，課堂教學僅限于公式推導和理論講解。在講授實際應用時，通常只會利用兩個極大簡化的方程，即一維穩(wěn)定流連續(xù)性方程以及只在限定條件下成立的描述流體能量守恒的伯努利方程，這導致學生對動量傳輸?shù)睦斫鈨H限于簡化案例，對如何應用N-S方程解決更為復雜的問題沒有概念和方法。

針對這些問題，提取了流體層流和馮卡門渦流兩個能夠利用動量傳輸求解器(N-S方程求解器)進行有效求解的題，來說明看似復雜的N-S方程如何有效應用和求解實際問題。在層流案例中，學生可以觀察到流速沿壁面的梯度分布以及在臺階處層流的走向變化?？梢钥吹剑诮孛婷娣e不同的穩(wěn)定流狀態(tài)下，截面積越大，流速越??；截面積越小，流速越大這樣體現(xiàn)一維總流連續(xù)性方程的可視化解釋。在非穩(wěn)態(tài)的渦流案例中，可以觀察到流體遇到圓形障礙物后產(chǎn)生隨時間變化的兩列渦旋，該案例作為經(jīng)典的自然界經(jīng)常出現(xiàn)的流體案例在飛機、橋梁制造中得到應用，學生可以認識到學習N-S方程具有工程應用價值。通過這兩個案例，激發(fā)學生對采用N-S方程解決復雜問題的興趣，使得學生認識到如果采用正確的方法，復雜的N-S方程解決復雜問題可以變得輕松有趣。

(二)應用熱量傳輸微分方程求解穩(wěn)態(tài)三維熱傳導和熱輻射問題

熱量傳輸?shù)幕A理論可以歸結為導熱微分方程，其中涉及到熱源、材料熱特性參數(shù)、時間及空間維度，使得應用導熱微分方程解決實際問題存在較大困難。為了便于學生的學習和練習，目前簡化到理想狀態(tài)的無內熱源一維穩(wěn)態(tài)導熱問題成為課堂講解的重點。然而實際問題更為復雜，如何基于導熱微分方程解決復雜問題，是傳統(tǒng)課堂教學中缺乏的內容。對于復雜零件的三維導熱問題，提取了一個有體熱源的箱體零件通過表面散熱的案例。

采用熱量傳輸求解器(導熱微分方程求解器)，可以快速求解出穩(wěn)態(tài)散熱過程中溫度在三維零件中的分布。在這一案例中，可以方便地更改散熱的第一類邊界條件(邊界上的溫度值)，學生可以觀察到不同的邊界散熱導致溫度分布的變化。針對機理更加復雜的熱輻射問題，提取一個典型的熱輻射升溫案例，學生可以觀察到熱輻射在仿真分析中是通過對第三類邊界條件進行了輻射參數(shù)設定而求解的。通過這兩個案例，學生不僅深入理解了導熱微分方程的應用，還加深了對理論教學中三類邊界條件的理解，同時能夠理解熱輻射在實際中是如何建立模型和求解的。

(三)應用動量N-S方程和熱量微分方程單向耦合求解對穩(wěn)態(tài)流換熱問題

在工程實際中，同一個現(xiàn)象往往涉及多個傳輸原理，如在鑄造澆注過程中，涉及動量和熱量傳輸場的復合情況，理論分析方法很難對鑄造澆注過程進行準確的復合場分析。對流換熱同樣包含動量傳輸和熱量傳輸。采用多種傳輸求解器耦合，可以實現(xiàn)對復雜形狀和條件的對流換熱模擬計算。為了學習這種問題的求解方式，提取一個熱水流過彎曲圓管的問題。首先采用動量傳輸求解器(N-S方程求解器)對彎管中的熱水流動進行流場計算，再把流場計算的結果輸入熱量傳輸求解器(導熱微分方程求解器)中進行熱傳導的計算。由于該問題是穩(wěn)態(tài)問題，所以只需要單向耦合迭代。學生從結果中可以看到流管中流體的運動速度分布，看到彎曲對流速的影響，還可以觀察到熱水的流動分布影響了熱傳導，流速大的地方熱量損失少，而彎管流速慢的地方熱量損失大。這使得學生認識到，一個看似復雜的兩種傳輸現(xiàn)象復合的問題可以通過依次求解的耦合方式獲得很好的解答；還可以認識到，穩(wěn)態(tài)問題的多場復合在數(shù)值分析中是較容易得到分析結果的。

(四)應用動量N-S方程和擴散微分方程雙向耦合求解非穩(wěn)態(tài)對流擴散問題

質量傳輸是傳輸原理中概念最為復雜的一種傳輸現(xiàn)象。質量傳輸微分方程涉及到擴散、流動、化學反應，又存在同相中不同組分傳質，以及相間的傳質。學生在理解這一部分內容時存在較大難度，理論授課時的講解重點為簡化到與一維穩(wěn)定導熱類似的一維穩(wěn)定擴散，以及簡單的一維非穩(wěn)態(tài)擴散。學生存在面對復雜擴散問題沒有思考，理論知識無法應用的問題。對此，提取了非穩(wěn)態(tài)的對流擴散問題，該問題既存在動量傳輸，又存在擴散問題。而流體的流動還會隨著時間而變化，繼而會影響流體中的擴散過程。這種非穩(wěn)態(tài)問題對求解方式提出新的挑戰(zhàn)。學生通過這個案例可以認識到，采用動量傳輸求解器和對流-擴散求解器的單向耦合只能求解出一個時間步后的結果，如果想求得連續(xù)時間內的結果，就需要雙向的耦合迭代，即將一個時間步后的結果重新代入動量傳輸求解器和對流-擴散求解器中，求解下一個時間步的結果。通過這個案例，學生可以觀察到流動對擴散過程的影響，也可以觀察到隨時間推移流動對擴散過程的持續(xù)影響，還可以認識到非穩(wěn)態(tài)問題和穩(wěn)態(tài)問題在數(shù)值求解思路上的異同點。

五、結語

緊隨時代和技術的發(fā)展，授學生以魚的同時授之以漁，做到能夠不斷調整課程與最新理論發(fā)展及實際工程應用的互動關系，是傳輸原理課程這門專業(yè)基礎課程的必由之路和生命力所在。在新工科建設背景下，傳統(tǒng)工程學科教育要運用新理念、新模式、新方法和新內容，適應新技術的發(fā)展，要應用最新的技術手段實現(xiàn)新工科教育目標。

本文設計了開源多傳輸場耦合分析賦能的傳輸原理教學路徑，通過應用傳輸場數(shù)值仿真、通過傳輸微分方程的數(shù)值分析工具解決復雜問題。提取了利用單傳輸場微分方程求解的數(shù)值問題和多傳輸場微分方程耦合求解的數(shù)值問題，應用動量傳輸N-S方程數(shù)值求解臺階層流、馮卡門渦流等動量傳輸問題；應用熱量傳輸微分方程數(shù)值求解三維殼體散熱和熱輻射問題；應用動量N-S方程和熱量微分方程單向耦合數(shù)值求解對流-熱傳導耦合的圓管內熱水流動問題；應用動量N-S方程和擴散微分方程雙向耦合數(shù)值求解對流-擴散非穩(wěn)態(tài)耦合問題。在這一過程中，學生可以認識到如果采用正確的方法，應用復雜的傳輸微分方程解決復雜問題可以變得輕松有趣，一個看似復雜的兩種傳輸現(xiàn)象復合的問題可以通過依次求解的耦合方式獲得很好的解答，非穩(wěn)態(tài)問題通過耦合迭代就可以獲得不同時間步上的解。最后采用課程項目大作業(yè)驅動，以及小組協(xié)作方式，通過開源平臺的使用，學生有了能夠自主運用和操作的仿真和可視化環(huán)境，最終使學生掌握現(xiàn)代數(shù)值分析技術解決工程問題的思路和方法。