文|張國梅 俞 杰

與0 有關(guān)的運算，在人教版數(shù)學(xué)教材里，三年級及之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就已多次遇到過?！耙粋€數(shù)加（減）0 等于原數(shù)”“0 和任何數(shù)相乘都得0”“0 除以任何不是0 的數(shù)都得0”，這些結(jié)論（運算規(guī)則），借助具體情境的支撐，學(xué)生較容易接受和理解。但學(xué)習(xí)第三個結(jié)論時，學(xué)生心中是有疑問的：除數(shù)為什么要“任何不是0 的數(shù)”呢？

學(xué)生有這樣的疑問是好事情，是批判性思維的萌芽。但是，課堂上學(xué)生不見得有機會提出來，即使提出來，教師也往往會以“這是規(guī)定”或“以后你就會知道原因”等理由來應(yīng)對，并再次強調(diào)“要記住，0 不能作除數(shù)”。

教師“屏蔽”學(xué)生的問題也并非沒有道理，因為學(xué)生的思維水平還未到合適時機，教材也是因為如此考慮，而將相關(guān)內(nèi)容設(shè)置在了四年級下冊“四則運算”單元，且特意編制一道例題教學(xué)“有關(guān)0 的運算”。（如下圖）

該題對0 的四則運算作了集中呈現(xiàn)，并指出了“0 不能作除數(shù)”的兩個原因。仔細閱讀例題圖文后，我們意識到，這個例題是一個絕好的教學(xué)契機，既可激發(fā)學(xué)生提出有意義的數(shù)學(xué)問題，得到提問能力的培養(yǎng)，又可借此引發(fā)高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思考，獲得推理意識的發(fā)展。

為何該題會有如此功效？從圖中可見，與0 有關(guān)的結(jié)論，加減乘除中都有，且不止這四個。之前這些結(jié)論，都是單個單個學(xué)的，沒有相互比較的機會，而如今，四個結(jié)論一起呈現(xiàn)了，那么它們表述上的明顯差異，就一定會促使學(xué)生自覺地進行比較。比較之后，從差異處引發(fā)的豐富問題一定會自然產(chǎn)生，包括之前曾經(jīng)疑惑過的“除數(shù)為什么不能是0”。要理解此結(jié)論，學(xué)生不能再依托生活情境來分析，而是要從數(shù)學(xué)的角度，借助被除數(shù)、除數(shù)、商之間的關(guān)系，運用假設(shè)法來反推出商的具體情況，這樣才能獲得深度理解。

【教學(xué)實踐】

一、教學(xué)引入

1.直接揭題，口算熱身

板書課題“有關(guān)0 的運算”，逐題板書題目，引導(dǎo)學(xué)生邊口算邊理解課題含義。

3+0=0+99=5-0=

17-0=4×0=0×7=

0÷4=0÷3=

2.回憶舊知，喚醒經(jīng)驗

（1）經(jīng)驗分享

師：同學(xué)們都算得非?？?！那么做這些題目，你有什么經(jīng)驗?zāi)芙榻B嗎？

根據(jù)學(xué)生回答，教師在算式右邊相對應(yīng)位置，板貼逐條呈現(xiàn)學(xué)生的經(jīng)驗：一個數(shù)加0 等于原數(shù)；一個數(shù)減0 等于原數(shù)；一個數(shù)乘0 等于0；0 除以一個不為0 的數(shù)等于0。

（2）原理解釋

師：為什么一個數(shù)加0 等于原數(shù)？

生1：0 表示沒有，所以加0還是原數(shù)。

生2：0 表示沒有，一個數(shù)減0，也就是沒減，當然也等于原數(shù)。

師：那為什么一個數(shù)乘0 等于0？你能不能選一個算式為例來說明？

生1：因為0 就是沒有，比如4×0 就是4 個0 相加，還是等于0。

生2：4×0 也可以想成0 個4，那也是等于0。

師：除法呢？

生：比如0÷4，表示0 個物體平均分成4 份，結(jié)果肯定還是0。

師：這些規(guī)則其實原來我們都已經(jīng)學(xué)過，大家也明白這些規(guī)則背后的道理，這節(jié)課就讓我們更深入地來思考新的問題吧。

二、新知探索

1.學(xué)生提問

師：請同學(xué)們仔細觀察黑板上這四條運算規(guī)則和四組算式。關(guān)于0 的運算，你心中有沒有產(chǎn)生一些疑惑或者感興趣的問題？

生：為什么0 只能除以一個不為0 的數(shù)，而不能除以0 呢？

師：好問題！這位同學(xué)敢于質(zhì)疑結(jié)論，對這句話中的關(guān)鍵詞提出了自己的疑問。

生：為什么是0 除以一個不為0 的數(shù)而不是一個不為0 的數(shù)除以0 呢？

師：你能舉個例子嗎？

生：比如說，0÷3 倒過來變成3÷0，這樣可以嗎？

師：能夠倒過來想，這是逆向思維，非常棒！

師：有的同學(xué)對結(jié)論提出質(zhì)疑，有的同學(xué)從算式里面發(fā)現(xiàn)問題。有了問題，我們就有了研究的方向，接下來讓我們一起來研究這些問題吧。

2.探究釋疑

（1）研究3÷0

①猜想結(jié)果

讓學(xué)生猜測計算結(jié)果，大部分同學(xué)認為是0，也有認為是3，或者認為算式不成立，沒有答案。

②自主探究

組織學(xué)生根據(jù)各自的結(jié)果，畫一畫、寫一寫，想辦法說明。

③匯報方法

生1：有0 元錢，要平均分給3 個人，每人分到0 元，所以答案是0。

生2：3÷0 就是把3 平均分成0 份，就是相當于不分，所以答案是3。

生3：3÷0 沒有答案，因為除法可以用乘法來解答，但是0 乘任何數(shù)都等于0，所以這道題沒有答案，算式不成立。

師：請大家討論一下，誰的理由正確，誰的理由不對呢？

生：第一位同學(xué)說“0 元錢平均分給3 個人，每人0 元”，如果按照他的意思，算式應(yīng)該是0÷3而不是3÷0。

師：那么第二位同學(xué)的說法是不是就對了？

（有的學(xué)生認為對，但有的學(xué)生反對“3”這個答案，但是又覺得沒有反駁生2 的理由）

師：那我們一起做個小游戲，邊玩邊思考吧。

教師拿出3 支粉筆，請3 位同學(xué)協(xié)作表演。3 支粉筆，平均分給3 個人，3÷3，每人1 支；如果平均分給2 個人，3÷2，每人1 支半；如果分給1 個人，3÷1，可得3 支；最后，沒有人了……

師：如果沒有人，就根本無法分，更不存在每人拿到幾支的說法。所以，答案是3 是不對的。

師：那我們再來討論第三位同學(xué)的說法吧。贊成他觀點的同學(xué)能不能再來詳細說明一下？

學(xué)生上黑板寫了：3÷0=?。并解釋道“商乘除數(shù)等于被除數(shù)，?中不存在這樣的一個數(shù)，乘0后得3”。教師借助板書，將商和除數(shù)連線示意（強調(diào)“假設(shè)”），并寫出假設(shè)后進行思考的算式（如圖）。師生對話，引導(dǎo)其他學(xué)生看懂如此推理的過程，并請所有學(xué)生在本子上像這樣自己寫一寫、說一說。

師：的確，通過推理，我們發(fā)現(xiàn)找不到一個數(shù)乘0 等于3，所以3÷0 這個算式根本沒有答案，我們也可以說這個算式?jīng)]有意義。

（2）研究0÷0

①自主嘗試

師：現(xiàn)在我們來研究第二個問題。0÷0，你能不能借用剛才這樣的思考方法，先假設(shè)，再推理，試著研究研究。

學(xué)生探究，同桌交流。

②匯報展示

通過反饋，學(xué)生理解到此題的情況很特別：任何數(shù)乘0 都得0，所以這個算式的答案不唯一。

③教師引領(lǐng)

師：是的，一個除法算式，卻有無數(shù)個答案，結(jié)果不確定，那這樣的算式同樣沒有意義。

④歸納小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧3÷0 和0÷0，使學(xué)生看到兩個算式“無意義”的不同情況，同時歸納提煉出“0不能作除數(shù)”。

三、課堂總結(jié)

回顧“發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題”的過程，強調(diào)“推理”的重要意義。再次引導(dǎo)學(xué)生提出新的問題，感受提問的價值，適度研討問題。

【課后思考】

非常簡單的數(shù)學(xué)內(nèi)容，卻展現(xiàn)出了出人意料的教學(xué)效果。分析其原因，那就是課前所預(yù)想的“培養(yǎng)提問能力、發(fā)展推理意識”兩大素養(yǎng)目標的較好達成。

1.材料精設(shè)，點撥恰當

有意義的數(shù)學(xué)問題往往藏在現(xiàn)實或數(shù)學(xué)的情境中，需要學(xué)生以敏銳的眼光或個性的思維才能“看”出來。因此，設(shè)計好的學(xué)習(xí)情境，本質(zhì)上是在訓(xùn)練學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光”發(fā)現(xiàn)問題的能力。在本課中，我們精心設(shè)計了學(xué)習(xí)材料（四組口算題、四條運算規(guī)則及其呈現(xiàn)方式），有意將很多可比較、可質(zhì)疑、可聯(lián)想的元素蘊藏其中，以此“誘發(fā)”學(xué)生萌生批判性思維、創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維，自主發(fā)現(xiàn)有意義的數(shù)學(xué)問題。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題，還需要以勇氣和智慧，清晰準確地表達出問題（即提出問題）。對學(xué)生提問的回應(yīng)，是提問能力培養(yǎng)的重要契機。在本課中，學(xué)生提出了好問題，教師并沒有止步，而是以一系列行為予以跟進：讓其他學(xué)生再來表述這個問題，以指向精準的評價語表揚學(xué)生的提問，用簡單的文字和符號記錄下問題，鼓勵學(xué)生再提其他的問題。這樣的做法，就是在點撥其他學(xué)生感受好問題的特征，引導(dǎo)更多學(xué)生明晰提問的方向和方法，大膽積極地提問。如此做法，使學(xué)生對提問方法獲得了深刻感悟，提問能力得到了切實提升。

2.過程合理，指導(dǎo)到位

發(fā)展小學(xué)生的推理意識，需要借助具體的推理活動，需要依托合適的學(xué)習(xí)過程和教師的精心指導(dǎo)。本課中學(xué)生所提的問題（主要是3÷0 和0÷0），都是富含推理元素的好素材，問題的解決直接指向推理意識的發(fā)展。但是，這兩個問題雖形式相似，內(nèi)涵上卻有區(qū)別（一個是沒有答案，一個是有無數(shù)個答案），從推理的角度來說有難易之分。因此，課堂上有意設(shè)計成兩個過程：先是抽象度略低一點的3÷0，并且分兩個層次展開（先用以前的方法解釋，再用“假設(shè)”的方法分析）；再是抽象度更高的0÷0。如此過程，從“舊經(jīng)驗說理→感受推理→運用推理”，學(xué)生的思維活動（推理）是真實發(fā)生、拾階而上的。

在兩次推理活動中，教師及時講解、示范和幫助，促使每一位學(xué)生真理解、能運用。如當學(xué)生提出3÷0=?來作解釋時，為讓更多學(xué)生進入這樣的思維模式，教師及時用板書將商和除數(shù)連線示意，強調(diào)“假設(shè)”并寫出假設(shè)后進行思考的算式；然后通過師生對話，引導(dǎo)其他學(xué)生看懂如此推理的過程，并請所有學(xué)生在本子上像這樣再寫一寫、說一說……正因為有如此到位的指導(dǎo)，所以當學(xué)生面對0÷0 時，他們就能夠自己開展清晰的推理并作出準確的解釋。學(xué)生推理意識的發(fā)展，也在這樣的學(xué)習(xí)活動中顯露無遺。

一個極簡單的教學(xué)內(nèi)容，卻因內(nèi)涵的彰顯而煥發(fā)亮麗色彩，這再次讓我們意識到：在新課程強調(diào)核心素養(yǎng)的背景下，我們要更深入地挖掘教材，更科學(xué)地設(shè)計教學(xué)，更好地服務(wù)于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。