張維忠　林夢(mèng)奇

【摘 要】STEAM教育的核心理念是將不同學(xué)科之間的知識(shí)和技能相互融合，以創(chuàng)造性的方式解決實(shí)際問(wèn)題。文章立足STEAM理念，從項(xiàng)目啟動(dòng)階段、項(xiàng)目規(guī)劃階段、項(xiàng)目開(kāi)展階段、項(xiàng)目展示評(píng)價(jià)4個(gè)關(guān)鍵教學(xué)階段出發(fā)，以“神奇的多面體”為例，對(duì)基于STEAM理念的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目式學(xué)習(xí)案例的開(kāi)發(fā)與實(shí)施進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

【關(guān)鍵詞】STEAM理念；數(shù)學(xué)文化；項(xiàng)目式學(xué)習(xí)；多面體

STEAM教育是一種綜合性的教育模式，它將科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)和數(shù)學(xué)融合在一起，旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、解決問(wèn)題的能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。STEAM教育的核心理念是將不同學(xué)科之間的知識(shí)和技能相互融合，以創(chuàng)造性的方式解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，在科學(xué)、技術(shù)、工程和藝術(shù)等學(xué)科都具有廣泛的應(yīng)用性，能夠統(tǒng)整其余4門(mén)學(xué)科于一體，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科融合。但STEAM理念作為一種舶來(lái)品，落地中國(guó)教育仍面臨著諸多困境［1］。一方面，囿于分科課程的限制，數(shù)學(xué)課程資源缺乏整合；另一方面，其落地困頓于教學(xué)實(shí)踐手段的融合。因此，STEAM理念作為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育的改革方向，迫切需要相應(yīng)的載體，也值得為之進(jìn)行大膽的探索與嘗試。以項(xiàng)目學(xué)習(xí)作為溝通數(shù)學(xué)文化與STEAM理念的橋梁，是實(shí)施跨學(xué)科教學(xué)的有效方式。為此，基于STEAM理念來(lái)開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目式學(xué)習(xí)案例，建構(gòu)相關(guān)的路徑與進(jìn)行具體的案例教學(xué)，可以很好地發(fā)揮STEAM教育理念對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的促進(jìn)作用，為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)以及學(xué)科融合發(fā)展提供借鑒。本文嘗試以“神奇的多面體”為例探討其具體開(kāi)發(fā)與實(shí)施過(guò)程，課例內(nèi)容可設(shè)置在學(xué)習(xí)人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章“8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積”之后，需要3課時(shí)。

一、項(xiàng)目啟動(dòng)階段：主題與目標(biāo)的確定

（一）主題確定

項(xiàng)目學(xué)習(xí)的主題是指某個(gè)待探究的數(shù)學(xué)課題或者亟待解決的情境性問(wèn)題［2］。本文嘗試以“神奇的多面體”為例，圍繞多面體的制作及其蘊(yùn)含的學(xué)科知識(shí)等展開(kāi)。

項(xiàng)目“制作多面體”對(duì)學(xué)生的動(dòng)手能力、自主探究能力等都提出了較高要求。在探究的過(guò)程中，需要學(xué)生尋找頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的關(guān)系，作出多面體的展開(kāi)圖，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。從正多面體到半正多面體等其他多面體，學(xué)生需要經(jīng)歷類比探究的過(guò)程。同時(shí)，學(xué)生能夠初步感知拓?fù)鋵W(xué)中的變與不變。多面體的發(fā)展伴隨著天文學(xué)的發(fā)展、哲學(xué)的追問(wèn)以及人類思想的進(jìn)步，使學(xué)生能在其中感受到歷史演變之中數(shù)學(xué)的魅力；在了解多面體中有關(guān)數(shù)學(xué)史的同時(shí)，學(xué)生也能體驗(yàn)到畢達(dá)哥拉斯、歐拉等偉大數(shù)學(xué)家們孜孜不倦、追求真理的精神；還能夠在多面體模型中深刻感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美以及數(shù)學(xué)的神奇［3］。除此以外，多面體與化學(xué)、生物、藝術(shù)設(shè)計(jì)等方面都有著密切的聯(lián)系。在本項(xiàng)目中，學(xué)生還需要借助信息技術(shù)手段作多面體展開(kāi)圖、立體圖，對(duì)信息技術(shù)的運(yùn)用也有一定考查。正是因?yàn)槎嗝骟w與數(shù)學(xué)文化及諸多學(xué)科知識(shí)的緊密聯(lián)系，我們可以充分挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化與跨學(xué)科內(nèi)涵，通過(guò)開(kāi)發(fā)以“神奇的多面體”為主題的項(xiàng)目，進(jìn)而開(kāi)發(fā)系列拓展研究。

（二）目標(biāo)確定

基于STEAM理念的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目式學(xué)習(xí)既要具備一般項(xiàng)目式學(xué)習(xí)目標(biāo)的特征，又要凸顯數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和跨學(xué)科價(jià)值。具體可分為基礎(chǔ)知識(shí)、綜合能力和精神品質(zhì)［4］三個(gè)維度。

二、項(xiàng)目規(guī)劃階段

在明確項(xiàng)目主題與目標(biāo)后，需要考慮與之相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖。在項(xiàng)目規(guī)劃階段，將主題分解為可實(shí)施的子項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)，并考慮進(jìn)行子項(xiàng)目活動(dòng)對(duì)學(xué)生的要求。

以“神奇的多面體”為項(xiàng)目活動(dòng)主題，正多面體的發(fā)展歷史、設(shè)計(jì)制作及其立體模型，涉及不少數(shù)學(xué)文化知識(shí)，為項(xiàng)目的開(kāi)展提供豐富的素材。這個(gè)主題可以分解成兩個(gè)大的任務(wù)以及每個(gè)任務(wù)下的子任務(wù)，如圖1。各個(gè)子任務(wù)需要調(diào)動(dòng)起數(shù)學(xué)或其他學(xué)科的相關(guān)知識(shí)或能力，如晶體相關(guān)知識(shí)、藝術(shù)欣賞能力等。

項(xiàng)目活動(dòng)的物理環(huán)境是以圍坐式布局的多媒體教室，師生人手配備學(xué)習(xí)平板，且平板中安裝有GeoGebra 3D計(jì)算器。在此階段還需準(zhǔn)備好項(xiàng)目活動(dòng)所需原材料，如剪刀、卡紙、多邊形磁力片、化學(xué)球棍模型學(xué)具等。為落實(shí)本文所提出的案例，在項(xiàng)目具體開(kāi)展階段，將實(shí)踐路徑劃分為循環(huán)進(jìn)行的五個(gè)階段，如圖2。

在項(xiàng)目規(guī)劃階段要充分考慮學(xué)生可能遇到的問(wèn)題，具體開(kāi)展時(shí)應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)幫助學(xué)生搭建學(xué)習(xí)支架，使其能夠更好地抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，為后續(xù)開(kāi)展其他相關(guān)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)提供參考。本項(xiàng)目圍繞“任務(wù)一：制作正多面體”與“任務(wù)二：制作其他多面體”展開(kāi)，并利用任務(wù)一的探究過(guò)程為學(xué)生搭建探究多面體的支架。任務(wù)二則主要類比任務(wù)一在課外自主完成探究，在課堂上進(jìn)行成果展示。

三、項(xiàng)目開(kāi)展階段

由于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)以學(xué)生為中心，以小組合作探究為主要形式，內(nèi)容涉及動(dòng)手制作部分，全部使用課內(nèi)教學(xué)時(shí)間可能不夠，因此可以采用課內(nèi)課外相結(jié)合的形式。例如以小組為單位在課外完成查閱資料、準(zhǔn)備材料、具體制作等活動(dòng)，在課內(nèi)開(kāi)展設(shè)計(jì)方案、完成項(xiàng)目、匯報(bào)交流等核心內(nèi)容。本案例可設(shè)置為3個(gè)課時(shí)。其中，任務(wù)一2課時(shí)，任務(wù)二1課時(shí)。

任務(wù)一：制作正多面體（第1課時(shí)）

（一）創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)項(xiàng)目

創(chuàng)設(shè)情境 早在古典時(shí)期，多面體就已經(jīng)為人所知。它不僅在數(shù)學(xué)中扮演著重要角色，還在哲學(xué)中有著重要影響，并且在不同的學(xué)科領(lǐng)域之間架起了橋梁。在阿什莫爾博物館中，陳列著4 000年前蘇格蘭新石器時(shí)期的正多面體刻石。多面體在我們的生活中無(wú)處不在。足球是最常見(jiàn)的半正多面體?；瘜W(xué)中的許多晶體也呈現(xiàn)出多面體的幾何模型。今天，讓我們一起走進(jìn)“神奇的多面體”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)。

問(wèn)題1-1 如圖3，觀察刻石圖片，它們有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生了解生活中的多面體，并以其中一種特殊多面體——正多面體引入課堂。教師讓學(xué)生欣賞刻石，并尋找出正多面體的共同特征：各個(gè)面都是全等正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等多面角。

融入數(shù)學(xué)文化 一直以來(lái)，正多面體就被視作數(shù)學(xué)史上最美妙、最獨(dú)特的發(fā)現(xiàn)之一。早在公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家泰阿泰德第一個(gè)完整描述了正多面體。但是最后正多面體沒(méi)有被稱為“泰阿泰德立體”，而是被稱作“柏拉圖立體”。這是因?yàn)榘乩瓐D將正多面體和宇宙元素聯(lián)系起來(lái)，將生成宇宙的四原質(zhì)火、氣、水和土的粒子分別賦予了正四面體、正八面體、正二十面體和正方體的形狀，還以正十二面體來(lái)表示宇宙本身。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)學(xué)史的融入，學(xué)生進(jìn)一步了解了正多面體的發(fā)展歷程、感受數(shù)學(xué)文化的魅力，拓展學(xué)生的知識(shí)面。

跨學(xué)科內(nèi)涵 16世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒將正多面體的研究從古希臘時(shí)期帶入了近代。他堅(jiān)信天體之間如音樂(lè)般和諧，天體的運(yùn)行遵循完美的數(shù)學(xué)規(guī)律。他借助柏拉圖立體與行星軌道的相切，得到了著名的太陽(yáng)系行星模型。

正多面體在化學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用?？此泣S金的黃鐵礦（二硫化鐵）晶體就是呈正十二面體形狀的，而貨真價(jià)實(shí)的黃金晶體是正八面體。通過(guò)研究碳原子的化學(xué)特性，化學(xué)家們還合成了立方烷C8H8、正四面體烷C4H4。

而在生物中，形體微小的放射蟲(chóng)竟然也具有不同正多面體的形狀。還有一些病毒，像皰疹病毒、艾滋病病毒等也都呈正二十面體。看來(lái)，盡管這些病毒令人恐懼，但都是幾何高手。

正多面體作為一種對(duì)稱結(jié)構(gòu)，總能讓人感受到秩序、莊重、和諧的美感。古語(yǔ)有云：“夫美也者，上下、內(nèi)外、大小、遠(yuǎn)近皆無(wú)害焉，故曰美。”里里外外皆均衡妥帖，方為“美”。早在公元前500年，伊特剌斯坎人就開(kāi)始使用正十二面體的青銅器。古代的凱爾特人也同樣喜愛(ài)正十二面體形狀的物品。倫敦大英博物館的埃及館里，還可以看到托勒密王朝時(shí)期的正二十面體骰子。

問(wèn)題1-2 生活中還有哪些熟知的正多面體？有哪些知名的正多面體模型？利用化學(xué)的球棍模型學(xué)具，動(dòng)手?jǐn)[出一些正多面體的晶體模型。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)與科學(xué)、數(shù)學(xué)與藝術(shù)的融入，學(xué)生進(jìn)一步感悟正多面體的應(yīng)用價(jià)值，為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)提供有力支撐。將數(shù)學(xué)中的正多面體模型與化學(xué)晶體模型相聯(lián)系，學(xué)生能更直觀地感受正多面體的立體形式與晶體中的數(shù)學(xué)模型。

（二）動(dòng)手實(shí)操，制作模型

問(wèn)題2-1 想要制作一個(gè)正多面體需要哪些要素？利用GeoGebra 3D計(jì)算器畫(huà)出正多面體（如圖4），觀察它們的關(guān)鍵要素，將表2補(bǔ)充完整。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生思考與討論正多面體的關(guān)鍵要素，包括面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、平面展開(kāi)圖等。教師指導(dǎo)學(xué)生借助GeoGebra 3D計(jì)算器作出正多面體，通過(guò)觀察3D幾何體得出各要素。列表表示面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)是為了方便后續(xù)正多面體個(gè)數(shù)與歐拉公式的呈現(xiàn)。而平面展開(kāi)圖的繪制是為下一步制作正多面體做準(zhǔn)備。

借助數(shù)字化工具，考查學(xué)生的直觀想象能力，不僅包含立體幾何，也有平面幾何知識(shí)。GeoGebra作為一個(gè)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，能夠使學(xué)生更加深入地理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)能夠直觀展示幾何模型，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象地可視化，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和建構(gòu)［5］。

問(wèn)題2-2 明確要素后如何制作正多面體？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)方案并制作一個(gè)正多面體。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生以小組為單位討論并設(shè)計(jì)正多面體的制作方案，具體包括所需材料和制作步驟，記錄方案和討論過(guò)程等。依據(jù)方案，學(xué)生可充分運(yùn)用幾何知識(shí)制作正多面體，并進(jìn)行優(yōu)化，使制作的正多面體盡可能美觀。教師讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，將平面展開(kāi)圖折成立體圖形，發(fā)展學(xué)生的直觀想象數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。該活動(dòng)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力、合作意識(shí)與責(zé)任意識(shí)等精神品質(zhì)。

（三）匯報(bào)展示，評(píng)價(jià)交流

匯報(bào)展示 請(qǐng)各小組展示項(xiàng)目式學(xué)習(xí)成果，并匯報(bào)制作過(guò)程。

設(shè)計(jì)意圖：各小組選取代表匯報(bào)本組項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)方案、遇到的問(wèn)題及其解決方案等，展示制作的正多面體。在匯報(bào)展示的過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)行自我總結(jié)。教師對(duì)各小組進(jìn)行評(píng)價(jià)，并引導(dǎo)學(xué)生與組內(nèi)、組外同學(xué)交流收獲與改進(jìn)之處，填寫(xiě)評(píng)價(jià)量表。在自評(píng)互評(píng)的過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)行自我反思。同時(shí)，在聽(tīng)取他人匯報(bào)的過(guò)程中進(jìn)一步優(yōu)化自己的項(xiàng)目成果。

（四）性質(zhì)探究，定理推導(dǎo)（第2課時(shí)）

問(wèn)題3-1 上節(jié)課我們分組制作了正多面體，除了上述五種正多面體，你還能做出其他正多面體嗎？用準(zhǔn)備好的多邊形卡片拼一拼。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生思考正多面體個(gè)數(shù)。從組成正多面體的正多邊形的邊數(shù)和個(gè)數(shù)入手，學(xué)生嘗試用準(zhǔn)備好的多邊形卡片拼湊多面體，探尋能夠組成正多面體的條件。

由于正多面體是凸多面體，即沒(méi)有凹陷的頂點(diǎn)和棱，因此每一個(gè)頂點(diǎn)處由相鄰兩棱所成的面角之和小于360°。不然，若在某一頂點(diǎn)處上述各面角之和等于360°，則交于該頂點(diǎn)的所有面都將落在同一平面上；若在某一頂點(diǎn)處的上述各面角之和大于360°，則以該頂點(diǎn)為端點(diǎn)的某些棱將是凹陷的。

因?yàn)槎嗝骟w的任一頂點(diǎn)處至少要有三個(gè)多邊形相遇，而正多面體的每一個(gè)面都是全等的正多邊形，正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角和都相等，所以正多面體的多面角都必須小于120°，這是正多面體的另一個(gè)必要條件。而正六邊形的內(nèi)角恰好為120°，因此正六邊形不可能圍成正多面體，所有邊數(shù)大于6的正多邊形也都不可能圍成正多面體。

這就是說(shuō)只有當(dāng)正多邊形的邊數(shù)小于6時(shí)，頂角的角度之和小于360°，卡片之間還留有空隙，才能夠拉成一個(gè)立體的角。即只有正三角形、正方形和正五邊形才有可能圍成正多面體。再進(jìn)一步借助多邊形卡片，正三角形對(duì)應(yīng)能夠組成正四面體、正八面體、正二十面體，正四邊形對(duì)應(yīng)能夠組成正六面體，正五邊形對(duì)應(yīng)能夠組成正十二面體。

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手探究，得出正多面體存在的條件。在此過(guò)程中滲透反證的思想，培養(yǎng)學(xué)生的自我探究能力。

融入數(shù)學(xué)文化 其實(shí)第一個(gè)完整描述正多面體特征的古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家泰阿泰德，早已知道只有五種正多面體，即正四面體、正方體、正八面體、正二十面體和正十二面體。

設(shè)計(jì)意圖：教師簡(jiǎn)要講述數(shù)學(xué)史，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)家求真務(wù)實(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的精神。該教學(xué)設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生通過(guò)了解數(shù)學(xué)家探索問(wèn)題的思維過(guò)程，提高用數(shù)學(xué)家的眼光發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力［6］。

問(wèn)題3-2 回顧制作正多面體時(shí)所列出的多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)等關(guān)鍵要素的表格，你能從中發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生借助上一節(jié)課問(wèn)題2-1所列表格（見(jiàn)表2），歸納正多面體的面數(shù)（F）、頂點(diǎn)數(shù)（V）、棱數(shù)（E）之間的關(guān)系。討論探究、總結(jié)歸納歐拉公式V+F-E=2，初步感知拓?fù)鋵W(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

問(wèn)題3-3 多面體歐拉公式該如何證明？請(qǐng)小組討論，并試借助正多面體展開(kāi)圖，用數(shù)學(xué)歸納法證明。

設(shè)計(jì)意圖 歐拉公式有許多證明方式。對(duì)于高一學(xué)生而言，可以嘗試用比較容易理解的數(shù)學(xué)歸納法［7］進(jìn)行證明。

類比正多邊形的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)關(guān)系的歸納方式?，F(xiàn)將正多面體降維轉(zhuǎn)化為平面圖，設(shè)想正多面體是由一個(gè)平面依次將其余各個(gè)面逐一添加而形成的。因此，一個(gè)正多面體就需要由一個(gè)平面添加F-1個(gè)面形成。從添加第二個(gè)平面開(kāi)始，每添加一個(gè)平面，增加的棱數(shù)總比增加的頂點(diǎn)數(shù)多1。當(dāng)添加了F-2個(gè)面后，可得E=V+（F-2）。當(dāng)增加最后一個(gè)面而形成立體時(shí)，棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)均未增加，因此，仍然是E=V+（F-2），即V+F-E=2。

數(shù)學(xué)歸納法的表述簡(jiǎn)明準(zhǔn)確、易于理解，可以降低證明的難度。數(shù)學(xué)歸納法也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的一種證明方式。同時(shí)，類比正多邊形的研究其實(shí)也是使歐拉公式獲得了從平面到空間的推廣。

問(wèn)題3-4 能否用歐拉公式證明正多面體只有五種？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生思考正多面體歐拉公式的應(yīng)用。

設(shè)正多面體的面是正n邊形，一個(gè)頂點(diǎn)處的面角數(shù)為m。

則nF=2E，mV=2E，又因?yàn)閂+F-2=E，

則2E/m+2E/n-2=E，即1/m+1/n-1/E=1/2。

當(dāng)棱數(shù)E≥3時(shí)，解得m，n，E的整數(shù)解為（m，n，E）=（3，3，6），（4，3，12），（5，3，30），（3，4，12），（3，5，30）。

它們分別對(duì)應(yīng)于正四面體、正八面體、正二十面體、正六面體與正十二面體。由此可證得正多面體只有五種。問(wèn)題3-1是用反證法解答，歐拉公式給證明正多面體的種數(shù)提供了一個(gè)新的思路。正多面體種數(shù)的一題多解，旨在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)新能力。

融入數(shù)學(xué)文化 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說(shuō)，讀讀歐拉，他是所有人的老師。歐拉是數(shù)學(xué)史上公認(rèn)的4位最偉大的數(shù)學(xué)家之一。幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數(shù)論的歐拉函數(shù)、變分法的歐拉方程、復(fù)變函數(shù)的歐拉公式……歐拉還是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。

天才在于勤奮，而歐拉就是最典型的一位。在歐拉的數(shù)學(xué)生涯中，他的視力一直在惡化，近乎完全失明。即便如此，病痛似乎并未影響歐拉的學(xué)術(shù)生產(chǎn)力，在失明后的17年里，他都是在完全失明的情況下做研究。他以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進(jìn)行研究，直到逝世。歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生觀看歐拉生平介紹的視頻，感受歐拉一生中所遇到的挫折與取得的成就。通過(guò)感受數(shù)學(xué)家的成長(zhǎng)歷程及在數(shù)學(xué)乃至社會(huì)生活中的貢獻(xiàn)、成就和影響力，學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)積極的情感態(tài)度和正確的價(jià)值觀。數(shù)學(xué)家的精神作為數(shù)學(xué)文化中的一部分，對(duì)落實(shí)“立德樹(shù)人”的根本任務(wù)具有重要作用。

（五）例題呈現(xiàn)，靈活運(yùn)用

例1 表面積為[23]的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則求此球的體積。

例2 求正二十面體相鄰兩個(gè)面所成的二面角。

設(shè)計(jì)意圖：高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)應(yīng)落腳到課本知識(shí)中。通過(guò)兩道例題，學(xué)生感悟到正多面體中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)及其在數(shù)學(xué)中的價(jià)值。例1主要考查幾何體的表面積、體積，需要學(xué)生從平面幾何入手，先計(jì)算正八面體一個(gè)面的三角形的面積，進(jìn)而求出棱長(zhǎng)。通過(guò)球體的體積公式最終得到正八面體外接球的體積。例2則是對(duì)正多面體二面角的考查。正二十面體線面較多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在解題過(guò)程中需要緊緊抓住正多面體所有二面角相等的性質(zhì)，化整體為局部，問(wèn)題自然就能得到解決。

高中數(shù)學(xué)對(duì)正四面體、正八面體的考查往往以較為簡(jiǎn)單的形式出現(xiàn)，至于正十二面體、正二十面體則鮮有考查，最常見(jiàn)的莫過(guò)于對(duì)正方體的考查。正多面體中的點(diǎn)線、線線、點(diǎn)面、線面、面面關(guān)系涵蓋了立體幾何中各種典型的位置關(guān)系，是正確理解和把握空間位置關(guān)系的基礎(chǔ)，同時(shí)也能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

任務(wù)二：制作其他多面體（第3課時(shí)）

活動(dòng)任務(wù) 幾百年來(lái)，多面體吸引著許多的數(shù)學(xué)家。在化學(xué)、建筑、藝術(shù)中，多面體給科學(xué)家、建筑師和藝術(shù)家?guī)チ撕芏囔`感。按照分組與抽簽，完成以下活動(dòng)任務(wù)。

活動(dòng)1 制作半正多面體

學(xué)生觀察足球的形狀，化學(xué)中的足球烯模型，南北朝官員獨(dú)孤信的印信等幾何體，歸納出半正多面體的定義。所有多面角都相等，且各個(gè)面是邊數(shù)不全相同的正多邊形的多面體，叫作半正多面體，也稱為阿基米德多面體。

任務(wù)1：探究半正多面體與正多面體之間的關(guān)系。

任務(wù)2：類比正多面體的制作過(guò)程，制作一個(gè)半正多面體。

任務(wù)3：借助凸多面體歐拉公式，尋找以正三角形為面的凸多面體的個(gè)數(shù)。

任務(wù)4：撰寫(xiě)項(xiàng)目計(jì)劃書(shū)并進(jìn)行成果展示。

活動(dòng)2 制作正星體

以正多面體各面為底，向外作正棱錐，使這些棱錐的側(cè)面皆為相等的正三角形，這樣得到的凹多面體為正星體。

任務(wù)1：探究正星體與正多面體之間的關(guān)系。

任務(wù)2：類比正多面體的制作過(guò)程，制作一個(gè)正星體。

任務(wù)3：正星體中還蘊(yùn)含著哪些知識(shí)？

任務(wù)4：撰寫(xiě)項(xiàng)目計(jì)劃書(shū)并進(jìn)行成果展示。

活動(dòng)3 制作以正三角形為面的凸多面體

在正多面體中，有3種是以正三角形為面的多面體。除此以外，還存在著其他以正三角形為面的多面體嗎？

任務(wù)1：類比正多面體的制作過(guò)程，制作一個(gè)以正三角形為面的凸多面體。

任務(wù)2：借助凸多面體歐拉公式，尋找以正三角形為面的凸多面體的個(gè)數(shù)。

任務(wù)3：撰寫(xiě)項(xiàng)目計(jì)劃書(shū)并進(jìn)行成果展示。

活動(dòng)4 制作埃舍爾多面體

被稱為“數(shù)學(xué)藝術(shù)家”的荷蘭畫(huà)家埃舍爾，因其繪畫(huà)中的數(shù)學(xué)性而聞名。在其作品《星》中，埃舍爾將不同的多面體放在同一幅畫(huà)里，形成群星閃爍、互相照耀的效果。正中的多面體是一個(gè)菱形十二面體（每個(gè)面都是菱形的十二面體）對(duì)應(yīng)的星狀多面體，即在菱形十二面體的每一個(gè)面上“長(zhǎng)”出一個(gè)四棱錐得到的多面體。這樣的多面體被稱為埃舍爾多面體。

任務(wù)1：制作一個(gè)埃舍爾多面體。

任務(wù)2：查閱資料，搜集整理埃舍爾作品中的數(shù)學(xué)與藝術(shù)。

任務(wù)3：撰寫(xiě)項(xiàng)目計(jì)劃書(shū)并進(jìn)行成果展示。

活動(dòng)5 制作三立方體合體

被稱為“數(shù)學(xué)藝術(shù)家”的荷蘭畫(huà)家埃舍爾，因其繪畫(huà)中的數(shù)學(xué)性而聞名。在其作品《瀑布》中有這樣一個(gè)幾何體，它是由完全重合的三個(gè)立方體分別繞x軸、y軸、z軸旋轉(zhuǎn)45°，所得到的高度重合的三立方體合體。

任務(wù)1：類比正多面體的制作過(guò)程，制作一個(gè)三立方體合體。

任務(wù)2：觀察制作好的三立方體合體，思考三個(gè)立方體相交后分割出多少個(gè)區(qū)域。

任務(wù)3：撰寫(xiě)項(xiàng)目計(jì)劃書(shū)并進(jìn)行成果展示。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)拓展任務(wù)，學(xué)生進(jìn)一步類比正多面體的探究過(guò)程并對(duì)其他多面體進(jìn)行設(shè)計(jì)制作。以分組的形式展開(kāi)能夠使各個(gè)小組的學(xué)生有針對(duì)性地探究某一種多邊形。對(duì)高中生開(kāi)展多樣化的多面體活動(dòng)旨在使學(xué)生對(duì)多面體有更多的了解，從而可以感受到數(shù)學(xué)的魅力，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和創(chuàng)造力，并把空間想象力延伸到化學(xué)、藝術(shù)及生活中。各子任務(wù)主要在課外完成，課上進(jìn)行匯報(bào)展示。

四、項(xiàng)目展示評(píng)價(jià)

（一）成果展示

該環(huán)節(jié)旨在鼓勵(lì)學(xué)生在解決各子任務(wù)的基礎(chǔ)上，對(duì)整個(gè)項(xiàng)目有系統(tǒng)性的思考，以培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的邏輯性，最終梳理形成項(xiàng)目成果。本項(xiàng)目包括小組成果與個(gè)人成果，學(xué)生還需參照項(xiàng)目目標(biāo)，自我反思成果中所存在的問(wèn)題，并對(duì)項(xiàng)目成果進(jìn)行改進(jìn)與優(yōu)化，具體成果內(nèi)容見(jiàn)表3。

（二）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)應(yīng)該是多維度的，可以以項(xiàng)目目標(biāo)為基礎(chǔ)，以學(xué)生自評(píng)、組內(nèi)互評(píng)、教師評(píng)價(jià)等不同主體相結(jié)合，以結(jié)果性評(píng)價(jià)、表現(xiàn)性評(píng)價(jià)與情感態(tài)度評(píng)價(jià)［8］并存的方式開(kāi)展項(xiàng)目評(píng)價(jià)。由此可以建立如表4的評(píng)價(jià)量表。通過(guò)評(píng)價(jià)量表，學(xué)生能直觀看到自己在項(xiàng)目任務(wù)中的優(yōu)勢(shì)與不足，也方便教師開(kāi)展后續(xù)的個(gè)性化指導(dǎo)。

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［5］陳明選，都書(shū)文，彭修香.促進(jìn)深度理解的高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)研究［J］.電化教育研究，2023（3）：84-90，98.

［6］李婉玥，張維忠.教科書(shū)中數(shù)學(xué)家形象與精神的呈現(xiàn)［J］.當(dāng)代教育與文化，2023（1）：47-53.

［7］黃忠裕.從思想與文化的高度挖掘多面體歐拉公式的教育價(jià)值：談高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的多面體歐拉公式［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（5）：3-6.

［8］郭衎，曹一鳴.綜合與實(shí)踐：從主題活動(dòng)到項(xiàng)目學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022（5）：9-13.

（責(zé)任編輯：陸順演）