重慶市綦江中學(xué) (401420) 晏炳剛 劉 燕

2023年新高考全國(guó)Ⅱ卷21題是一道定點(diǎn)定直線的問(wèn)題,涉及非對(duì)稱韋達(dá)定理的處理,也關(guān)聯(lián)極點(diǎn)極線背景問(wèn)題.本文就該題解法進(jìn)行分析,先給出多種非對(duì)稱韋達(dá)定理處理思路,再對(duì)雙曲線背景題目進(jìn)行溯源,得到更一般性的結(jié)論,最后把結(jié)論推廣到橢圓中.

1.題目呈現(xiàn)

⑴求曲線C的方程;

⑵記C的左右頂點(diǎn)為A1,A2,過(guò)T(-4,0)的直線l與C 交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M在第二象限,記MA1,NA2的交點(diǎn)為P,證明:點(diǎn)P在定直線上.

2.解法探究

⑶是非對(duì)稱形式的韋達(dá)定理,下面是處理方法.

思路1 部分韋達(dá)定理+消元化簡(jiǎn)

思路2 構(gòu)造韋達(dá)定理消元化簡(jiǎn)

思路3 韋達(dá)定理積化和

思路4 韋達(dá)定理和化積

思路5 代入曲線構(gòu)造韋達(dá)定理

思路6 方程組法

y2x1+y1x2=k(x2+4)x1+k(x1+4)x2

點(diǎn)評(píng)：此解法是消去y,留下x的解法.核心思路是求交點(diǎn)P的軌跡方程,聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)是基本思路,進(jìn)而得到

以上6個(gè)處理方法,思路1和2,計(jì)算量適中.方法3和4,計(jì)算量小.方法5構(gòu)造對(duì)稱式意義較大,方法6思路巧妙.

3. 題目溯源

(1)求E方程;(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).