山西省太原市第三實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 (030031) 董立偉

人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)》(2020年5月第1版)(以下簡(jiǎn)稱“選修二”)第四章《數(shù)列》部分出現(xiàn)了許多由一次分式形式的遞推關(guān)系猜想通項(xiàng)公式的數(shù)列問(wèn)題. 這類問(wèn)題本身并不難解,但學(xué)生們更想知道的是如何通過(guò)嚴(yán)格的推理得到這類數(shù)列的通項(xiàng)公式. 對(duì)分式遞歸數(shù)列,我們熟知的求通項(xiàng)的解法是不動(dòng)點(diǎn)法. 這種方法確實(shí)巧妙,但是學(xué)生們也只能套用,很難理解其深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵. 事實(shí)上,利用齊次化的方法可以得到求解此類數(shù)列通項(xiàng)公式的一種初等解法.

第三步(構(gòu)造).利用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等差或等比數(shù)列求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

以下用兩個(gè)例子來(lái)闡述該類型問(wèn)題的解法.

以下用兩個(gè)例子描述該類型問(wèn)題求解過(guò)程.

例3 (選修二第48頁(yè)例3改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=0,2an+1-anan+1=1(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例4 (選修二第51頁(yè)習(xí)題4.4第3題改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

結(jié)語(yǔ)：利用齊次化,我們將一次分式形式的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為二階線性遞推關(guān)系,進(jìn)而可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等差或等比數(shù)列,求得其通項(xiàng)公式,從而得到此類問(wèn)題的一種更易為高中生接受的初等解法.