李寧

比較函數(shù)式大小問題側重于考查簡單基本函數(shù) 的單調(diào)性以及不等式的性質.此類問題的難度一般不 大，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).本文以2022年廣 東佛山二模卷中的第12題為例，探討一下比較函數(shù)式 大小問題的解法.

題目：

此題目主要考查指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性和 圖象的綜合應用.要比較幾個函數(shù)式的大小，需將已知 關系式進行適當?shù)淖冃?，靈活運用不等式的性質、構 造函數(shù)法求解.

方法一：利用不等式的性質

不等式的性質很多，如傳遞性、可加性、可乘性、 對稱性等.在比較函數(shù)式的大小時，可將已知關系式進 行恒等變形，逐步向要比較的函數(shù)式靠攏，并根據(jù)已 知關系式的范圍，靈活運用不等式的性質，確定要比 較的函數(shù)式的范圍，進而判斷出兩個函數(shù)式的大小關 系.對于本題，可先把 e y sin x = e x sin y 等號兩邊的式子 拆開來看，分別比較 e x 與e y 、sin x與 sin y 的大??；然后 根據(jù)不等式的可乘性和對稱性，以及正弦函數(shù)的單調(diào) 性來比較 cos x + cos y與0 大小.

解：

方法二：構造函數(shù)法

構造函數(shù)法是解答代數(shù)問題的常用方法.在比較 函數(shù)式的大小時，往往需根據(jù)已知關系式或要比較的 函數(shù)式的結構特征，構造出合適的函數(shù)模型.對于不等 式而言，通常需構造同構式.然后研究函數(shù)的單調(diào)性、 對稱性、周期性、圖象，并確定兩個自變量，即可根據(jù) 函數(shù)的性質比較出兩個函數(shù)式的大小.

解法1.

需先根據(jù) sin x e x = sin y e y 的結構特征，構造同構式 f （x）= sin x e x ；然后根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關 系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而確定x、y的取值范圍；最 后根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質確定問題的答案.

解法2

我們先根據(jù)已知關系式構造函數(shù) f （x）= sin x e x ；然后 根據(jù)極值點 π 4 ，構造出函數(shù) F（x）= f （ π 4 + x）- f （ π 4 - x）， 將問題看作極值點偏移問題來求出 x + y 的范圍；最后 根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)式的大小.

相比較而言，第一種方法比較常用，適用于較為 簡單的比較函數(shù)式大小問題；第二種方法較為復雜， 適用于較為復雜的比較函數(shù)式大小問題.

（作者單位：山東省棗莊市第二中學）