李春美, 楊緒君, 吳 香

(重慶交通大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,重慶 400074)

0 引 言

近年來,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在模式識別[1]、聯(lián)想記憶、信號處理[2]和安全通信等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,引起了許多研究者的關(guān)注[3]．由于分數(shù)階模型相比傳統(tǒng)的整數(shù)階模型,有很好的遺傳性和記憶性,能更準確地描述復雜系統(tǒng)的動力學行為,因此,許多學者開始研究分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),并得到了顯著的研究成果[4-6]．

同步現(xiàn)象作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種重要的動態(tài)行為,是分數(shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的一個熱點問題,包括完全同步[7]、準同步[8]和Mittag-Leffer同步[9]．文獻[10]研究了一類分數(shù)階復值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準投影同步和完全同步問題,通過設(shè)計合適的線性反饋控制器和自適應(yīng)控制,利用Laplace變換和Mittag-Leffler函數(shù)的性質(zhì)建立了一個新的分數(shù)階微分不等式．目前,已有許多學者對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的投影問題進行了深入研究[11-13]．文獻[14]利用復變函數(shù)和Mittag-Leffler函數(shù)的理論討論了分數(shù)階遞歸復值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬投影同步．文獻[15]研究了分數(shù)階復值記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的投影同步問題,根據(jù)分數(shù)階多時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理和比較原理,得到了保證驅(qū)動響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)同步的一些判據(jù)．文獻[16]研究了一類分數(shù)階延遲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的驅(qū)動響應(yīng)同步問題．

以上關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究,都是關(guān)于實值或復值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的,但在實際應(yīng)用中,會遇到多維數(shù)據(jù),實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和復值神經(jīng)元無法很好地處理這些數(shù)據(jù)．而四元數(shù)由一個實部和三個虛部組成,可以有效地處理多維數(shù)據(jù)．因此,一些學者將四元數(shù)引入到經(jīng)典的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,建立了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[17-18]．與實值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和復值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的存儲容量大,可處理多維信息,應(yīng)用于圖像處理、計算機圖形學、彩色夜視等領(lǐng)域[19-20]．文獻[21]將分數(shù)階四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分解成四個實值部分,通過分數(shù)階微分不等式,設(shè)計合適的控制器,研究了分數(shù)階四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的投影問題．文獻[22-24]將四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分解為兩個復值系統(tǒng)或四個實值系統(tǒng)．雖然這種分離方法是可行和有效的,但它導致了模型維數(shù)增加,增強了理論分析的復雜性．文獻[25]研究了具有時滯和參數(shù)不確定的四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性問題．目前,將四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步性問題當作一個整體來研究尚不多見．

鑒于此,本文研究了具有時變時滯的四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的投影同步問題．通過選取合適的Lyapunov-Krasovskii泛函,結(jié)合積分不等式,得到了網(wǎng)絡(luò)投影同步的不等式判據(jù)．

注1H表示四元數(shù)斜域,Hn和Hn×n分別表示n維四元數(shù)空間和n×n四元數(shù)矩陣集．AT和A*分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣和共軛轉(zhuǎn)置矩陣．

1 預 備 知 識

四元數(shù)可以寫成q=q0+q1i+q2j+q3k,其中q0,q1,q2,q3∈R,i,j,k為虛數(shù)單位,滿足下列條件:

i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j．

由此,可以看出四元數(shù)乘積不滿足交換律．如果p=p0+p1i+p2j+p3k∈H,q=q0+q1i+q2j+q3k∈H,則p與q的和定義為

p+q=(p0+q0)+(p1+q1)i+(p2+q2)j+(p3+q3)k;

p與q的積定義為

pq=(p0q0-p1q1-p2q2-p3q3)+(p0q1+p1q0-p2q3-p3q2)i+

(p0q2+p2q0-p1q3+p3q1)j+(p0q3+p3q0+p1q2-p2q1)k．

四元數(shù)q的共軛定義為

四元數(shù)q的模定義為

定義1(分數(shù)階積分) 設(shè)f(t)∈Hn在[t0,+∞)是分段連續(xù)的函數(shù),函數(shù)f(t)的分數(shù)階積分定義為

定義2(Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)) 設(shè)f(t)∈Hn在[t0,+∞)是可微的函數(shù),函數(shù)f(t)的分數(shù)階導數(shù)定義為

其中

m-1<α

引理1[5]若z(t)∈R是連續(xù)可導的函數(shù),且z(t)的導數(shù)是可積的,則對?t>0,α∈(0,1),下面的不等式成立:

引理2 若p(t)∈H是連續(xù)可微的函數(shù),M為正定的Hermite矩陣,則對?t>0,α∈(0,1),下面的不等式成立:

證明由于M為正定的Hermite矩陣,則存在一個酉矩陣W∈Hn×n與正定的對角陣Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),使得M=WΛW,其中λm(m=1,2,…,n)是矩陣M的特征值．

令

U(t)=Wp(t)=(U1(t),U2(t),…,Un(t))T,Um(t)=xm(t)+iym(t)+jzm(t)+kum(t),

則

由引理2得

引理3[17]Q∈Hn×n為正定的Hermite矩陣,向量函數(shù)u(x):[a,b]→Hn,a

引理4[24]Q∈Cn×n為正定的Hermite矩陣,向量函數(shù)u(x):[a,b]→Cn,a

引理5Q∈Hn×n為正定的Hermite矩陣,向量函數(shù)u(x):[a,b]→Hn,a

2 模 型 描 述

本文考慮如下一類具有時變時滯分數(shù)階四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

(1)

其中0<α<1,p(t)=(p1(t),p2(t),…,pn(t))T∈Hn表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量;E=diag(e1,e2,…,en)表示自反饋矩陣,ei>0,i∈1,2,…,n;σ(t)表示時變時滯;A,B分別表示t和t-σ(t)時刻的連接權(quán)矩陣;向量激活函數(shù)f(p(t))=(f1(p1(t)),f2(p2(t)),…,fn(pn(t)))T∈Hn,g(p(t-σ(t))=(g1(p1(t-σ(t))),g2(p2(t-σ(t))),…,gn(pn(t-σ(t))))T∈Hn;L表示相應(yīng)的外部輸入．

本文做假設(shè)如下．

假設(shè)1 對任意的x,y∈H,存在兩個正常數(shù)λi,γi(i=1,2,…,n),使得

|fi(x)-fi(y)|≤λi|x-y|,|gi(x)-gi(y)|≤γi|x-y|．

(2)

令

Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),Γ=diag(γ1,γ2,…,γn)．

假設(shè)2 時滯σ(t)是連續(xù)可導的,且滿足如下條件:

(3)

考慮響應(yīng)系統(tǒng)如下:

(4)

其中u(t)為控制器．控制器設(shè)計如下:

u(t)=-K(q(t)-Fp(t))+EFp(t)-FEp(t)-Af(Fp(t))+FAf(p(t))-

Bg(Fp(t-σ(t)))+FBg(p(t-σ(t)))-(I-F)L,

(5)

其中K∈Rn×n是控制器u(t)的系數(shù)矩陣,I為單位矩陣．

定義誤差為

θ(t)=q(t)-Fp(t),

(6)

其中

θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…,θn(t))*∈Hn,F=diag(F1,F2,…,Fn)>0．

則由系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(4)得到誤差系統(tǒng)如下:

(7)

其中

g(θ(t-σ(t)))+Fp(t-σ(t)))-g(Fp(t-σ(t)))．

3 主 要 結(jié) 論

(8)

證明選擇如下Lyapunov泛函:

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t),

(9)

其中

(10)

(11)

(12)

對V1(t),V2(t),V3(t)求導,得

θ*(t)(-P1(E+K)-(E+K)*P1+(E+K)*P2(E+K))θ(t)+

(13)

(14)

(15)

在假設(shè)1條件下,存在正定對角矩陣K1,W,有

(16)

(17)

由式(13)—(17)可知

(18)

其中

根據(jù)Lyapunov理論,可知系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(4)是投影同步的．

注2 當系統(tǒng)(1)的時變時滯退化成常時滯時,相應(yīng)的驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)為

(19)

(20)

其中控制器u(t)=-K(q(t)-Fp(t))+EFp(t)-FEp(t)-Af(Fp(t))+FAf(p(t))-Bg(Fp(t-σ))+FBg(p(t-σ))-(I-F)L．

推論1 若假設(shè)1成立,如果存在正定的Hermite矩陣Pi(i=1,2,…,6),兩個正定的對角矩陣K1,W,滿足如下線性矩陣不等式:

(21)

其中Π11=-(E+K)*P1-P1(E+K)+(E+K)*(P2+σ2P4+σ4P6)(E+K)+ΛK1Λ+ΓWΓ,Π12=P1A-(E+K)*(P2+σ2P4+σ4P6)A,Π13=P1B-(E+K)*(P2+σ2P4+σ4P6)B,Π14=-(E+K)*P3,Π15=-σ3(E+K)*P5,Π22=A*(P2+σ2P4+σ4P6)A-K1,Π23=A*(P2+σ2P4+σ4P6)B,Π33=B*(P2+σ2P4+σ4P6)B-W．

根據(jù)Lyapunov理論,可知系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(4)是投影同步的．

注3 文獻[26]研究了分數(shù)階四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步性,但沒有考慮時滯．該模型是本文研究模型的特例,本文研究的模型更符合實際,研究結(jié)果也更具有普遍性．

4 數(shù) 值 例 子

例1 考慮以下二維的時變時滯分數(shù)階四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動系統(tǒng):

(22)

其中α=0.98,σ(t)=|sin(2t)|,p(t)=(p1(t),p2(t))T∈H2,f1(p(t))=f2(p(t))=g1(p(t))=g2(p(t))=0.25tanh(p(t)),

對應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(23)

(24)

當Λ=diag(0.25,0.25)時,Γ=diag(0.25,0.25),滿足假設(shè)1和假設(shè)2．

利用MATLAB對線性矩陣不等式(8)求得可行解為

因此,定理1的條件成立,從而系統(tǒng)(7)的零點是穩(wěn)定的,即系統(tǒng)(4)和系統(tǒng)(1)可以實現(xiàn)投影同步．數(shù)值仿真選取如下初始條件:

p0=[4.5+0.9i-3.5j-2k,4.5-0.9i-5.5j+2k]T,

q0=[-5.5-2i-3.5j-5k,-1.5-3i-7.5j+5k]T．

圖1、圖2給出了驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)在未施加控制時狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線,圖3給出了誤差系統(tǒng)(7)在未施加控制時狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線．

圖1 未加控制時,狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線Fig.1 The time response curves of state variables without control

圖2 未加控制時,狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線Fig.2 The time response curves of state variables without control

圖3 未加控制時,誤差變量的時間響應(yīng)曲線Fig.3 Time response curves of error variables without control注 為了解釋圖中的顏色,讀者可以參考本文的電子網(wǎng)頁版本,后同．

當投影系數(shù)矩陣F取為F=diag(1,1),驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)完全同步．圖4、圖5給出了驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4) 在施加控制時狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線．圖6給出了誤差系統(tǒng)(7) 在施加控制時狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線．

圖4 投影矩陣為F=diag(1,1),施加控制時,狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線Fig.4 Projection matrix F=diag(1,1),and the time response curves of state variables with control

圖5 投影矩陣為F=diag(1,1),施加控制時,狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線Fig.5 Projection matrix F=diag(1,1),and the time response curves of state variables with control

圖6 投影矩陣為F=diag(1,1),施加控制時,誤差變量的時間響應(yīng)曲線Fig.6 Projection matrix F=diag(1,1),and the time response curves of error variables

當投影系數(shù)矩陣F取為F=diag(-1,-1),驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)反同步．圖7、圖8給出了驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)在施加控制時狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線．圖9給出了誤差系統(tǒng)(7)在施加控制時狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線．

圖7 投影矩陣為F=diag(-1,-1),施加控制時,狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線Fig.7 Projection matrix F=diag(-1,-1),and the time response curves of state variables with control

圖8 投影矩陣為F=diag(-1,-1),施加控制時,狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線Fig.8 Projection matrix F=diag(-1,-1),and the time response curves of state variables with control

圖9 投影矩陣為F=diag(-1,-1),施加控制時,誤差變量的時間響應(yīng)曲線Fig.9 Projection matrix F=diag(-1,-1),and the time response curves of error variables

如圖1、2、3所示,狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線驗證了在不施加控制時,驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)不同步,誤差系統(tǒng)(7)是不穩(wěn)定的．在施加控制時,圖6和圖9表明誤差系統(tǒng)(7)是穩(wěn)定的．當投影系數(shù)矩陣F取為F=diag(1,1),圖4和圖5表明驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)完全同步;當投影系數(shù)矩陣F取為F=diag(-1,-1),圖7和圖8表明驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(4)反同步．

5 結(jié) 論

本文研究了具有時變時滯的四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)投影同步問題．在合適的控制器下,通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù),并利用一些不等式技巧,得到了具有時變時滯分數(shù)階四元數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的投影同步的充分性判據(jù)．最后通過數(shù)值仿真實例驗證了所得結(jié)論的有效性和可行性．