陳 彥, 王 威

(揚州職業(yè)大學, 江蘇 揚州 225009)

《理論力學》中運動學部分關(guān)于點的變速曲線運動給出了點的速度、切向加速度、法向加速度和全加速度的一般計算公式[1],但經(jīng)典的例子不是很多,只有一道擺線(或旋輪線)和一道阿基米德螺線的例題。由于變速曲線運動本身的復(fù)雜性,所以必須和一般曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合起來加以研究。對數(shù)螺線是質(zhì)點切向、法向加速度均為常數(shù)的平面運動軌跡[2-3]。質(zhì)點能不能以等角速度繞固定點轉(zhuǎn)動的同時又沿著對數(shù)螺線運動?邵云以勻速轉(zhuǎn)動的水平光滑直管內(nèi)小球的離心運動為例給出了肯定的答案[4],但是并沒有給出質(zhì)點速度和加速度的一般計算公式,也沒有清楚地闡明質(zhì)點分別在自然軸系、極坐標系和動參考系中速度矢量和加速度矢量的內(nèi)在統(tǒng)一性以及和對數(shù)螺線的幾何性質(zhì)有何關(guān)聯(lián),筆者針對這些問題進行分析討論。

1 質(zhì)點沿對數(shù)螺線運動的速度與加速度公式

對數(shù)螺線在極坐標系(ρ,θ)下的一般方程為:

ρ=aebθ(a>0,b≠0)

(1)

它的圖形如圖1所示,從起點A(ρ=a,θ=0)出發(fā),逆時針轉(zhuǎn)向,隨著極角的增大,當b>0時,越繞越遠離極點;當b<0時,越繞越靠近極點而永遠達不到極點。對數(shù)螺線最重要的幾何性質(zhì)就是等角性,即曲線上任意一點的切矢與徑矢成固定角度α=arccot(b)(0<α<π,α≠π/2),α為對數(shù)螺線的傾斜度,所以對數(shù)螺線又叫等角螺線。

圖1 對數(shù)螺線

1.1 質(zhì)點沿對數(shù)螺線運動的速度

將對數(shù)螺線在極坐標系下的方程轉(zhuǎn)化為直角坐標系下以θ為參數(shù)的參數(shù)方程[5]如下:

(2)

如果質(zhì)點從起點A(ρ=a,θ=0)開始繞極點等角速度轉(zhuǎn)動,并且沿著對數(shù)螺線運動,設(shè)角速度為ω,以逆時針轉(zhuǎn)動為正,順時針轉(zhuǎn)動為負,從而θ=ωt,先將其代入方程(1),得到極徑ρ與時間t的關(guān)系式(3),再代入方程(2),轉(zhuǎn)化為以時間t為參數(shù)的參數(shù)方程(4),如下:

ρ(t)=aebωt(a>0,b≠0,t>0)

(3)

(4)

已知參數(shù)方程形式的弧微分公式[5]如下:

(5)

將方程(4)代入式(5)并化簡得

(6)

這樣質(zhì)點在任意時刻的線速度為:

(7)

τ為切向單位矢量,指向與質(zhì)點的運動方向一致,根據(jù)教材,公式有[6]

(8)

將方程(4)代入式(8)并化簡得:

τ=(cos(ωt+arccotb),sin(ωt+arccotb) )

=(cos(ωt+α),sin(ωt+α) )

(9)

根據(jù)《理論力學》中速度在極坐標系中的投影式,將方程(3)與θ=ωt代入,計算結(jié)果如下:

(10)

1.2 質(zhì)點沿對數(shù)螺線運動的加速度

通過公式(6),求得質(zhì)點在任意時刻沿對數(shù)螺線運動的切向加速度為:

(11)

從速度(7)和切向加速度(11)的表達式可以看出,當bω>0時,二者符號相同,質(zhì)點作變加速曲線運動(圖2(a));當bω<0時,二者符號相反,質(zhì)點作變減速曲線運動(圖2(b))。

(a)變加速曲線運動(α=β,ω>0,b>0)

(b)變減速曲線運動(π-α=β,ω>0,b<0)圖2 質(zhì)點沿對數(shù)螺線運動

已知參數(shù)方程形式的曲率公式如下:

(12)

將方程(4)代入式(12),求出質(zhì)點在任意時刻所在位置的曲率,并化簡得

(13)

從而求得質(zhì)點在任意時刻沿對數(shù)螺線運動的法向加速度為

(14)

n為法向單位矢量,如圖2所示,指向曲線內(nèi)凹一側(cè),可由τ旋轉(zhuǎn)90°得到

n=(-sin(ωt+α),cos(ωt+α))(ω>0)

n=(sin(ωt+α),-cos(ωt+α))(ω<0)

(15)

所以全加速度大小

(16)

如圖2所示,它與切向加速度之間的夾角的余切為

(17)

所以β=arccot|b|(0<β<π/2),此角度恰好等于對數(shù)螺線的傾斜度或其補角,結(jié)合對數(shù)螺線的等角性得出結(jié)論:全加速度的方向恰為徑矢方向或者與之關(guān)于內(nèi)法線軸對稱的方向。

根據(jù)《理論力學》中加速度在極坐標系中的投影式,將方程(3)與θ=ωt代入,計算結(jié)果如下:

(18)

容易驗證

(19)

aρ即為全加速度在徑矢方向的投影,因為a、b和ω都不等于0,所以aθ肯定不為0,也就是全加速度在θ方向必然有分量。假設(shè)質(zhì)點沿著對數(shù)螺線逆時針轉(zhuǎn)動(ω>0),不管作變加速運動(b>0)還是作變減速運動(b<0),全加速度的方向一定是沿著與徑矢關(guān)于內(nèi)法線軸對稱的方向,且指向曲線內(nèi)凹一側(cè),如圖2所示;而順時針轉(zhuǎn)動(ω<0)的情況正好相反。

2 應(yīng)用實例

如圖3所示,內(nèi)壁光滑的直管在水平面內(nèi)繞其端點O以勻角速度ω轉(zhuǎn)動,設(shè)初始時刻t=0,此時直管位于Ox軸,質(zhì)量為m的小球相對靜止于管內(nèi)A點,OA=k。隨著直管的轉(zhuǎn)動,小球在離心力的作用下被甩出。

(a)小球的速度

(b)小球的加速度圖3 勻速轉(zhuǎn)動光滑直管內(nèi)小球的離心運動

設(shè)t時刻小球的極坐標為(ρ,θ),如果以地面為定參考系,小球的絕對速度為va,絕對加速度即全加速度為aa;如果以轉(zhuǎn)動的直管為動參考系,小球的相對速度為vr,相對加速度為ar。牽連點為A點,牽連速度為ve,牽連加速度為ae,由于牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動,所以小球存在科氏加速度aC。根據(jù)文獻[4]中的結(jié)論,在直管旋轉(zhuǎn)半圈后,即θ>π時,小球的運動軌跡近似為對數(shù)螺線,此時小球的運動軌跡方程為:

(20)

對比方程(3),顯然a=k/2,b=1,所以此對數(shù)螺線的傾斜度α=π/4。

2.1 小球的速度

在定參考系中分析小球在t時刻的速度,將a和b代入式(7),得小球的線速度即絕對速度:

(21)

其中τ=(cos(ωt+π/4),sin(ωt+π/4)),從圖3(a)中可以看出小球的速度方向與直管徑向的夾角即為此對數(shù)螺線的傾斜度。

在轉(zhuǎn)動參考系中分析小球的速度,將a和b代入式(10),并且小球的相對速度vr和牽連速度ve的大小與速度在極坐標系中的投影滿足

(22)

所以小球的相對速度vr剛好等于速度在極坐標系中的徑向分量vρ,而牽連速度ve剛好等于速度在極坐標系中的環(huán)向分量vθ,方向如圖3(a)所示,結(jié)論和文獻[4]一致。

如果從不同參考系的角度理解速度矢量的合成,即

v=va=vρ+vθ=vr+ve

(23)

2.2 小球的加速度

在定參考系中用自然軸系分析小球在t時刻的加速度,將a和b分別代入式(11)、式(14)和式(16),得小球切向加速度at和法向加速度an的大小:

(24)

方向如圖3(b)所示,得小球全加速度a的大小即絕對加速度aa的大小:

a=aa=kω2eωt=2ρ(t)ω2

(25)

根據(jù)上面的結(jié)論得知全加速度方向與速度方向夾角也等于π/4,由于小球作變加速運動,如圖3(b)所示全加速度方向必然與直管垂直,指向極角增大的地方。

在轉(zhuǎn)動參考系中分析小球的加速度,將a和b代入式(18),得aρ=0,從式(18)中可以看出加速度的徑向分量aρ中的第一項即相對加速度ar,第二項即牽連加速度ae,二者大小相等,方向相反,如圖3(b)所示,即

ar=ae=ρ(t)ω2

(26)

而式(18)中的環(huán)向分量aθ即為小球的科氏加速度aC,所以

aθ=aC=kω2eωt=2ωvr=2ρ(t)ω2

(27)

方向如圖3(b)所示,結(jié)論和文獻[4]一致。

如果從不同參考系的角度理解加速度矢量的合成,即

a=aa=at+an=aρ+aθ=ar+ae+aC

=aθ=aC

(28)

3 結(jié)語

對數(shù)螺線最重要的幾何性質(zhì)就是等角性,結(jié)論剛好驗證了這一性質(zhì)?？梢娫谝话闱€運動中,質(zhì)點的切向和法向加速度均為常數(shù)這個條件,只是運動軌跡為對數(shù)螺線的充分但非必要條件。以勻速轉(zhuǎn)動的水平光滑直管內(nèi)小球的離心運動為例,運用本文的計算公式,驗證了文獻[4]結(jié)論的正確性,并且清楚地闡明了質(zhì)點分別在自然軸系、極坐標系和動參考系中速度矢量和加速度矢量的內(nèi)在統(tǒng)一性。