陸鵬飛, 王 悅*, 石 恒, 湯 亮

1. 北京航空航天大學宇航學院, 北京 102206 2. 北京控制工程研究所, 北京 100094 3. 空間智能控制技術全國重點實驗室, 北京 100094

0 引 言

近地軌道上空間碎片的日益積累對航天器的發(fā)射與在軌運行造成了諸多潛在威脅,因此針對空間碎片減緩方面開展研究具有迫切的現實意義[1].現有的空間碎片減緩方法主要包括3個方面:被動減緩[2-3]、主動規(guī)避[4-5]和主動清除[6-8].其中主動清除指發(fā)射航天器接近并捕獲目標碎片使其離軌再入,是一種能夠高效減少空間碎片數量的方法.抵近技術是碎片主動清除任務設計中的關鍵技術,是實現進一步成像、捕獲等在軌操作的前提.因此,有必要對抵近過程的軌道控制方法進行深入研究.順光抵近指航天器沿著目標逆光方向,即近似位于目標和太陽連線之間對目標實施抵近操作.在實際工程中,順光抵近具有非常重要的應用價值,可以為抵近航天器觀測目標提供良好的光照條件,并在一定意義上降低抵近航天器的可觀測性.

現有直接關于抵近軌道控制的研究較少,但在航天器交會軌道控制方面國內外已經積累了較多工作.在遠距離交會方面,現有研究主要基于二體或受攝二體動力學模型展開研究,并且設計目標集中于降低完成交會所需的燃料消耗.根據推力方式的不同,存在脈沖變軌控制和小推力變軌控制兩種方式.脈沖變軌為當前工程實際中使用最廣泛的軌道控制方式,其中一種設計思路在LAWDEN[9]提出的主矢量理論基礎上進行.該理論可以給出最優(yōu)脈沖控制滿足的必要條件,并為脈沖方式的改良提供指導,可用于設計脈沖變軌交會問題的控制策略[10-11].然而,該理論給出的最優(yōu)性條件并不是充分的,并且數學推導較為繁雜.另一種方法是將脈沖交會問題建模為一個非線性規(guī)劃(NLP)問題,通過數值優(yōu)化算法進行求解[12-14].該類方法的難點在于描述最優(yōu)變軌策略的NLP問題包含很多局部極值,需要采用一些啟發(fā)式優(yōu)化算法去獲得全局最優(yōu)解.另一方面,電推進方式具有更高的比沖,因此連續(xù)小推力變軌具有良好的應用前景.基于小推力變軌的交會問題可歸結為一個最優(yōu)控制問題,通過形狀函數法[15]、直接法[16]、間接法[17]等途徑可以設計滿足最優(yōu)性的推力控制.

遠距離導引至目標附近后,航天器與目標間的近距離軌跡規(guī)劃與控制通常在相對動力學下進行.常用的模型包括C-W方程、T-H方程、相對軌道要素法等.C-W方程適用于目標軌道為近圓軌道且相對距離較近的情況,T-H方程則將適用范圍拓展至目標軌道偏心率較大的情形,相對軌道要素法可以用于相對距離更大的場景.在這些相對運動模型的基礎上,一些近距離操作任務的規(guī)劃與控制問題被進一步研究.文獻[18]提出一種基于采樣的近距離軌跡規(guī)劃方法,可以實時解算燃料最優(yōu)的相對運動.文獻[19]中根據相對軌道要素法設計了水滴型懸停構型脈沖控制策略.文獻[20]設計了對翻滾非合作目標的近距離抵近繞飛連續(xù)推力控制策略.文獻[21]提出一種綜合多步優(yōu)化和序列二次規(guī)劃的優(yōu)化算法,用于求解遠程抵近和近距離掠飛觀測的最優(yōu)軌跡.

然而,目前幾乎還沒有關于順光抵近控制方法的研究見諸公開報道.本文對航天器近距離順光抵近和順光構型維持的脈沖控制策略設計進行研究.在目標軌道系下建立航天器對目標的近距離相對運動方程;研究了順光抵近過程的脈沖控制問題,建立順光走廊的幾何概念,通過將路徑約束轉化為點約束的技巧,構建并求解描述最優(yōu)脈沖變軌方式的NLP問題.進一步分析了目標軌道坐標系下的目標—太陽連線長期變化規(guī)律,并基于控制時刻與控制位置點采樣以及動力學擬合的思路,設計了一種順光位置維持的控制策略.通過數值算例驗證了所提出控制策略的有效性.

1 相對運動動力學模型

本文研究對近圓軌道目標的順光抵近問題.動力學模型為地球為中心的二體問題,抵近航天器與目標均假設為質點.以目標為原點,建立目標軌道坐標系,其中z軸指向地心,x軸在軌道平面內垂直于z軸,指向與目標平運動方向一致,y軸由右手定則確定,如圖1所示,圖中IJK為地球赤道慣性坐標系,O代表目標,SC代表抵近航天器,Δr為目標指向航天器的位置矢量.

圖1 近距離相對運動示意圖Fig.1 Schematic diagram of close-proximity relative motion

抵近航天器相對目標的運動可用C-W方程描述,表述為

(1)

式中,ω為目標的軌道平均角速率,x、y和z為Δr在目標軌道系O-xyz下的分量,fx、fy和fz為施加在航天器上的控制加速度.

(2)

式中,A和B為定常矩陣,其表達可參考文獻[22].方程(2)的狀態(tài)轉移矩陣形式的解為

(3)

式中,t0為初始時刻,X0為狀態(tài)變量在初始時刻的值,Φ(t,t0)為狀態(tài)轉移矩陣,其表達式為

(4)

式中,υ=ω(t-t0),s為sinυ,c為cosυ.

當抵近航天器以脈沖方式變軌時,式(3)變?yōu)?/p>

(5)

式中,ti是脈沖變軌的時刻,N為時刻t之前機動發(fā)生的次數,Δvi為抵近航天器對應ti時刻的脈沖速度增量矢量.

2 近距離順光抵近脈沖控制策略

2.1 順光走廊定義

本節(jié)從幾何上給出順光走廊的定義.由于抵近任務持續(xù)時長相比于地球繞太陽公轉周期為小量,因此,假設任務過程中太陽在慣性空間中的方位不變,記太陽在地球赤道慣性系中的位置為rS,在計算中根據星歷獲取.設在時刻t目標的位置為rT(t),則該時刻由目標指向太陽的位置矢量為

L(t)=rS-rT(t)

(6)

順光走廊定義為以目標為頂點、以目標—太陽連線為軸線的圓錐內的位置集合,示意圖如圖2所示,數學上可表達為

圖2 順光走廊定義Fig.2 Definition of the sunlight corridor

(7)

式中,θlim為圓錐的半錐角,稱作走廊角.

由于在相對運動框架下設計近距離抵近控制,因此,為方便起見將順光走廊轉換到目標軌道坐標系中描述為

(8)

式中,rO和LO(t)分別為目標軌道坐標系下描述的相對位置以及目標—太陽連線方向,時刻t從地球赤道慣性坐標系向目標軌道坐標系的轉換矩陣為式(9)所示.

(9)

其中,iT和ΩT分別為目標軌道的傾角和升交點赤經,而uT是t時刻目標的緯度輻角.

在目標軌道系中,太陽的方位時刻都在變化.因此,順光走廊的定義依賴于時間.隨著時間推移,在目標軌道系中,順光走廊繞目標作定點轉動.

2.2 抵近初始狀態(tài)建立

抵近航天器在初始時刻t0可能位于順光走廊外,為了保證后續(xù)抵近任務的順利開展,需要建立合適的抵近初始狀態(tài).

X-(tini)=Φ(tini,t0)X+(t0)

(10)

式中,“-”表示脈沖前,而“+”表示脈沖后.將狀態(tài)量拆分為相對位置與相對速度的分塊形式

(11)

(12)

(13)

2.3 順光抵近控制脈沖優(yōu)化

建立抵近初始狀態(tài)后,通過多脈沖變軌的方式,控制抵近航天器的相對軌跡位于動態(tài)變化的順光走廊內,實現從距離目標dini處抵近至距離目標dfin處,并要求在給定時間上限Δtlim內完成.最優(yōu)的脈沖控制策略通過NLP問題的構建與求解確定.

NLP問題的優(yōu)化變量包括N次脈沖機動的時刻,及其幅值、方位角和仰角,記作

w=(t1,…,tN,Δv1,…,ΔvN,α1,…,αN,β1,…,βN)

其中,ti、Δvi、αi和βi分別為第i次脈沖的時刻、幅值、方位角和仰角,i=1,…,N.方位角和仰角在目標軌道坐標系中定義,其中方位角αi指速度增量矢量在xy平面上的投影與x軸間的夾角,仰角βi指速度增量矢量與xy平面的夾角.

期望控制過程中的脈沖代價最小,因此NLP問題的目標函數設計為N次脈沖機動幅值總和

(14)

順光抵近過程考慮的約束包括3類,第一類為優(yōu)化變量需滿足的界約束,包括

(1)脈沖時刻的上下界約束

tini≤t1≤t2≤…≤tN≤tini+Δtlim

(2)單次脈沖速度增量幅值的上下界約束

0≤Δvi≤Δvlim,i=1,…,N

(3)脈沖方向角約束

0≤αi≤2π
-π/2≤βi≤π/2,i=1,…,N

第二類約束為終端相對位置和相對速度約束,表述為

(15)

式中,r(tN)和v(tN)可通過式(5)表述為優(yōu)化變量的函數,分別為

(16)

推導中用到了常矩陣B的值,B=[03×3I3×3]T.

第三類約束表征在抵近過程中,抵近航天器的相對位置一直處于順光走廊內,為一個路徑約束

(17)

利用放縮技巧,將約束(17)轉化為點約束

(18)

數值測試表明,式(18)中“[ ]”內關于t的函數極大值數量很少,可通過分區(qū)間求解極值的方法獲得最大值.

綜合前述分析,所構建的用于求解最優(yōu)脈沖控制策略的NLP問題可以表述為如下形式:

(19)

對該NLP問題用粒子群優(yōu)化(PSO)算法進行求解,可以得到實現順光抵近操作最優(yōu)的脈沖控制方式以及對應的軌跡.

3 順光構型維持脈沖控制策略

本節(jié)介紹在順光抵近過程結束后,實現抵近航天器位置維持在順光走廊內且持續(xù)較長時間的脈沖控制策略.首先對目標—太陽連線方向在目標軌道坐標系中的長期變化規(guī)律進行分析,隨后設計了一種基于控制時刻與控制位置點采樣,以及軌跡動力學擬合的順光構型維持策略.

(20)

則式(20)中的第1式和第3式簡化為

(21)

(22)

基于上述分析可知,若衛(wèi)星與目標保持恒定距離并持續(xù)位于順光走廊內,衛(wèi)星相對目標的運動在目標軌道面法向分量近似保持恒定值,而在目標軌道面內的運動分量近似位于以目標為圓心的圓上,且變化周期與目標軌道周期相同.由于C-W方程形成的自然相對運動在目標軌道面法向上的分量為關于目標軌道面的振動,難以保持于順光走廊內.因此,本節(jié)后續(xù)設計了一種基于控制時刻與控制位置點采樣,以及軌跡動力學擬合的脈沖控制策略,以實現順光構型的長時間維持.

由于研究中考慮對近圓軌道目標的抵近,目標的軌道角速率接近常值.因此,由式(22)可推斷出,順光走廊的定點轉動角速率也近似為常值.所以將目標軌道周期T=2π/ω等間隔劃分為M段,選取控制時刻節(jié)點

對于每一個控制時刻節(jié)點,解算對應時刻目標—太陽連線上距離目標dfin處點的相對位置矢量,作為控制位置點.

rn,1=dfin·LO(τ1),
rn,2=dfin·LO(τ2),
?
rn,M+1=dfin·LO(τM+1).

對相鄰的兩個控制時刻節(jié)點及對應的控制位置點進行相對Lambert問題的求解,以確定這段時間內抵近航天器滿足兩點邊界位置約束和飛行時間約束的相對運動軌跡.本文中相對Lambert問題基于C-W方程的狀態(tài)轉移形式求解,其核心為根據某段相對軌跡的始末位置約束,計算其始末時刻速度,計算公式已由式(12)給出,不再贅述.以τi～τi+1段為例,在τi時刻,滿足約束的相對速度為

(23)

在τi+1時刻,滿足約束的相對速度為

(24)

類似可以解出在每一個控制時刻節(jié)點,分別滿足前一段相對運動軌跡約束和后一段相對運動軌跡約束對應的相對速度,示意圖如圖3所示,在第i個時間節(jié)點,用于擬合軌跡的速度增量為

圖3 相對軌跡動力學擬合Fig.3 Dynamical fitting of relative motion’s trajectories

(25)

tN+T時刻后的每一個周期內都可用上述方法設計維持的脈沖策略,從而實現長時間的順光構型位置保持.

4 數值實例

通過兩個算例來驗證方法的有效性,第1個算例中目標運動在地球靜止軌道(GEO)上,第2個算例中目標運動在太陽同步軌道(SSO)上.兩個算例的初始時刻都為UTC時間2025年1月1日0時0分0秒.在初始時刻目標和抵近航天器的軌道六要素見表1.由DE438星歷文件計算得到該時刻太陽在地球J2000坐標系中的位置矢量投影為[0.267 327 -1.327 243 -0.575 347]T×108km,順光走廊的走廊角θlim取2.5°.基于第2和第3節(jié)中的方法分別設計抵近與構型維持控制策略.仿真動力學模型為考慮地球扁率J2項的受攝二體問題,其中地球引力常數取398 600.5 km3/s2,地球半徑取6 371.11 km,J2項系數取1.082 63×10-3.

表1 初始軌道要素取值Tab.1 Values of the initial orbital elements

4.1 順光抵近算例

算例1要求抵近航天器首先在4 h內建立抵近初始狀態(tài),然后從距離目標50 km處順光抵近至距離目標10 km處,用時不超過2 h;算例2要求抵近航天器首先在0.5 h內建立抵近初始狀態(tài),然后從距離目標25 km處順光抵近至距離目標10 km處,用時不超過2 h.首先基于2.2節(jié)中的方法建立抵近初始狀態(tài).算例1的計算結果為第一次變軌脈沖消耗6.82 m/s,第二次變軌脈沖消耗8.03 m/s,建立抵近初始狀態(tài)總脈沖消耗14.85 m/s,圖4為算例1建立抵近初始狀態(tài)過程的相對運動軌跡,圖5為該階段目標與航天器間距離的變化.算例2的計算結果為第一次變軌脈沖消耗16.36 m/s,第二次變軌脈沖消耗10.35 m/s,建立抵近初始狀態(tài)總脈沖消耗26.71 m/s.圖6和圖7分別展示了算例2這一階段的相對軌跡以及目標與航天器間距離變化.從結果中可以看出,抵近航天器成功于給定時間轉移至目標—太陽連線上距離目標給定距離的位置附近.

圖4 建立抵近初始狀態(tài)過程的相對運動軌跡(算例1)Fig.4 The relative motion during the establishment process of the initial state (case 1)

圖5 建立抵近初始狀態(tài)過程的相對距離(算例1)Fig.5 The distance between the target and the spacecraft during the establishment process of the initial state (case 1)

圖6 建立抵近初始狀態(tài)過程的相對運動軌跡(算例2)Fig.6 The relative motion during the establishment process of the initial state (case 2)

圖7 建立抵近初始狀態(tài)過程的相對距離(算例2)Fig.7 The distance between the target and the spacecraft during the establishment process of the initial state (case 2)

隨后,基于2.3中的方法設計順光抵近過程的控制脈沖及運動軌跡.在構建的NLP問題中,取脈沖次數上限為5,通過粒子群優(yōu)化算法求解NLP問題,粒子個數取20,迭代次數為2 000.算例1所得最優(yōu)的控制脈沖消耗量為12.56 m/s,抵近過程用時為2 h,優(yōu)化出的實際脈沖策略退化為始末時刻各執(zhí)行一次脈沖,其中第1次脈沖大小為6.66 m/s,第2次脈沖大小為5.90 m/s;算例2優(yōu)化出的最小控制脈沖消耗量為51.51 m/s,抵近過程用時0.296 3 h,優(yōu)化出的實際脈沖次數為3脈沖,大小分別為21.48 m/s、15.08 m/s和14.94 m/s.

算例1抵近過程的相對軌跡見圖8.目標—航天器連線與目標—太陽連線夾角隨時間變化的關系如圖9所示,抵近過程目標與航天器間的距離如圖10所示;算例2對應的結果見圖11～13.從結果中可見,抵近過程中,航天器位置一直位于順光走廊內,從較遠距離順利抵近至距目標10 km附近.由于仿真采用了更精確的模型,因此仿真結果與標稱設計結果存在少量的偏差,但不影響結果對所設計控制策略的有效性證明.

圖8 抵近過程的相對運動軌跡仿真(算例1)Fig.8 The relative motion during the approach process (case 1)

圖9 抵近過程目標—太陽與目標—航天器連線角偏差仿真結果 (算例1)Fig.9 The angular deviation between the line of target-Sun and that of target-spacecraft during the approach process (case 1)

圖10 抵近過程相對距離仿真結果 (算例1)Fig.10 The distance between the target and the spacecraft during the approach process (case 1)

圖11 抵近過程的相對運動軌跡仿真(算例 2)Fig.11 The relative motion during the approach process (case 2)

圖12 抵近過程目標—太陽與目標—航天器連線角偏差仿真結果(算例 2)Fig.12 The angular deviation between the line of target-Sun and that of target-spacecraft during the approach process (case 2)

圖13 抵近過程相對距離仿真結果(算例2)Fig.13 The distance between the target and the spacecraft during the approach process (case 2)

4.2 順光構型維持算例

在4.1中算例的基礎上,對完成順光抵近后航天器在順光區(qū)域內的位置維持進行設計.以維持一個目標軌道周期為例,即23.936 h.根據第3節(jié)中的算法實現,首先將期望維持時長等間隔劃分為15個區(qū)間,選取16個控制時間節(jié)點,用相對Lambert問題進行動力學擬合.最終算例1中維持單個周期所需要的脈沖速度增量消耗共計6.33 m/s,平均每次控制脈沖大小為0.422 m/s;算例2中維持單個周期所需要的脈沖速度增量消耗共計93.30 m/s,平均每次控制脈沖大小為5.83 m/s.圖14～16分別展示了算例1構型維持中航天器的相對軌跡、目標—航天器連線與目標—太陽連線夾角隨時間變化的關系以及目標與航天器間的距離.圖17～19展示算例2中的相關結果.根據結果可見,在考慮了J2項攝動的更高精度模型下,所設計的控制方法仍可以實現目標—太陽與目標—航天器連線角偏差保持于較小范圍內,在第1個算例中小于2°,在第2個算例中小于5°.因此,所提出的脈沖控制策略能夠完成航天器在目標順光走廊內的長時間維持任務.

圖14 維持過程的相對運動軌跡(算例1)Fig.14 The relative motion during the maintenance process (case 1)

圖15 目標—太陽與目標—航天器連線角偏差(算例1)Fig.15 The angular deviation between the line of target-Sun and that of target-spacecraft during the maintenance process (case 1)

圖16 維持過程相對距離 (算例1)Fig.16 The distance between the target and the spacecraft during the maintenance process (case 1)

圖17 維持過程的相對運動軌跡(算例2)Fig.17 The relative motion during the maintenance process (case 2)

圖19 維持過程相對距離 (算例2)Fig.19 The distance between the target and the spacecraft during the maintenance process (case 2)

表2 維持效果與維持消耗結果 (算例1)Tab.2 Results of the performance and cost for maintenance (case 1)

下面進一步分析控制節(jié)點數目對維持精度與維持消耗的影響.取控制節(jié)點數分別為9、12、16和21,進行一個目標軌道周期時長的順光構型維持,算例1與算例2對應的維持效果與維持消耗分別在表2和表3中給出.分析結果可知,一般來說,控制節(jié)點數越多,則維持過程中的最大角偏差與距離偏差越小,且脈沖消耗沒有顯著增加.實際使用中可根據控制誤差需求合理設置控制節(jié)點數.但在算例2中當控制節(jié)點增加到一定數目時,無法通過繼續(xù)增加節(jié)點的數目來降低角偏差,其原因是因為該算例中目標軌道高度較低,地球J2項攝動較為顯著,偏差的主要來源已經變成了設計模型與仿真模型間的偏差.未來可以進一步研究考慮各種攝動情況下的順光抵近與順光構型維持控制策略.

表3 維持效果與維持消耗結果 (算例2)Tab.3 Results of the performance and cost for maintenance (case 2)

5 結 論

本文研究了對空間目標近距離順光抵近與順光構型維持的脈沖控制問題.建立順光走廊的幾何概念,提出一種基于NLP模型的順光抵近最優(yōu)脈沖控制策略求解方法.分析目標軌道坐標系下的目標—太陽連線長期變化規(guī)律,設計基于控制時刻與控制位置點采樣和動力學擬合的順光構型維持策略,并進行數值實例求解與分析.仿真結果表明,所提出的方法可以有效地完成順光抵近任務與順光構型維持任務,具備良好的實用性能.