盛 超, 宋 超, 沈紅新

1. 宇航動力學國家重點實驗室, 西安 710043 2. 西安衛(wèi)星測控中心, 西安 710043

0 引 言

隨著人類科技水平的不斷進步,世界各國對太空的探索也愈發(fā)頻繁與深入.在軌航天器的種類、數(shù)量不斷提升,航天任務逐漸呈現(xiàn)出復雜化、精細化的發(fā)展趨勢,航天器在遙感成像、通信中繼、深空探測與授時定位等領域起到了難以取代的作用,但太空環(huán)境具有高真空、強輻射與溫度變化劇烈等特性[1],這對航天器上儀器設備的正常工作提出了嚴峻的挑戰(zhàn).合理利用并及時維護航天器,具有十分重要的科學價值與經(jīng)濟效益.

20世紀以來,全世界范圍內衛(wèi)星及其應用產業(yè)發(fā)展十分迅速.據(jù)統(tǒng)計,2022年世界航天共實施186次發(fā)射任務,發(fā)射航天器2 505個,均創(chuàng)歷史新高.隨著在軌航天器數(shù)量的不斷增加以及空間任務的不斷復雜,在軌衛(wèi)星故障事件的數(shù)量與復雜度不斷增長[2].為盡快恢復失效衛(wèi)星功能,一方面需要地面衛(wèi)星測控部門分析預測衛(wèi)星的姿軌位置,在合適時機發(fā)送遙控指令以重啟衛(wèi)星,例如2006年我國某型號衛(wèi)星在入軌后的太陽帆板展開階段突然信號中斷,專家分析后認為該事件起因是帆板故障導致衛(wèi)星斷電,后經(jīng)專業(yè)技術人員推測斷電時刻并預估衛(wèi)星運動狀態(tài),利用衛(wèi)星帆板對日時可短暫接受地面遙控指令的時機,調整帆板姿態(tài)使其能持續(xù)供電,最終成功使衛(wèi)星恢復正常[3].另一方面,可利用空間機械臂實施在軌維修、捕獲與回收等操作,避免失效衛(wèi)星長期占用軌道位置,影響其他衛(wèi)星正常工作,例如歐空局針對其失效衛(wèi)星Envisat啟動了e.Deorbit項目[4],擬采用新型機械臂、飛網(wǎng)、魚叉等機構對Envisat進行捕獲并實施離軌處置[5],但目前仍未有實質性的操作進展.

為快速有效開展失效衛(wèi)星的地面搶救與在軌維護任務,需要準確把握衛(wèi)星的運動規(guī)律并預測衛(wèi)星姿軌狀態(tài),從而在恰當時機發(fā)送遙控指令或實施捕獲操作[6].蔡立鋒等[7]對衛(wèi)星受到重力梯度力矩作用下的自旋運動,特別是自旋軸和章動角的變化特性進行了分析,能夠對近地衛(wèi)星姿態(tài)失控后的姿態(tài)確定和運動預測提供參考.EFIMOV等[8]針對太陽同步軌道上衛(wèi)星受到電渦流阻尼力矩的情況,根據(jù)剛體運動的Hamilton函數(shù)建立了航天器運動的精確模型,分析了航天器姿態(tài)與角動量矢量的演化情況.COCHRAN[9]采用一種基于Lie代數(shù)生成近似正則變換的一般攝動方法,分析了重力梯度力矩作用下航天器長期自旋運動的演化情況.劉延柱[10]基于Serret-Andoyer變量建立了剛體的定點運動方程,并分析了受微弱力矩作用的剛體或高速旋轉剛體的運動特征.

圖1 近年來在軌衛(wèi)星故障情況統(tǒng)計Fig.1 Statistics of satellite failures in orbit in recent years

上述研究均針對外部環(huán)境攝動作用下航天器的運動演化過程展開研究,隨著空間任務的不斷深入與復雜,航天器逐漸向著大型化、復雜化和柔性化的方向發(fā)展,太陽帆板、機械臂與天線等大型柔性附件得到了廣泛的應用[13],攜帶這類柔性附件航天器的姿軌運動與彈性振動之間存在著復雜的耦合關系[12],并且柔性附件的彈性振動會持續(xù)耗散航天器的能量,相比于外部空間環(huán)境造成的擾動[15],這種內部因素對航天器運動演化的影響更為顯著.以攜帶大型太陽帆板的典型失效衛(wèi)星Envisat為例,其觀測數(shù)據(jù)表明,截至2013年5月份,Envisat的角速度曾有一段迅速增加的時期,目前學界對這一現(xiàn)象的成因仍無統(tǒng)一解釋,隨后Envisat的角速度呈緩慢降低趨勢,研究表明這是由于衛(wèi)星電渦流與地磁場相互作用,不斷損耗衛(wèi)星能量所致.目前學界關于Envisat的自旋運動趨勢以及主要影響因素雖達成一定共識,但仍未有能夠準確描述其運動演化規(guī)律的數(shù)學模型[16],這進一步提升了Envisat后續(xù)處理任務的設計難度.

本文以柔性失效衛(wèi)星的搶救與維修任務設計需求為牽引,針對一類攜帶大型柔性附件的失效航天器,分析其能量損耗過程與對應的運動演化規(guī)律,首先基于拉格朗日方程建立柔性航天器的姿態(tài)-振動耦合動力學模型,然后根據(jù)能量耗散規(guī)律分析柔性航天器不同自旋狀態(tài)的穩(wěn)定性,最后分析了衛(wèi)星初始角速度、柔性附件的安裝位置、柔性附件的初始振動狀態(tài)、柔性結構與材料特性等因素對能量耗散速率的影響,并從能量耗散規(guī)律的角度分析了航天器的運動演化趨勢.

1 攜帶柔性附件航天器的動力學建模

首先對航天器動力學模型推導過程中使用的坐標系進行說明:

(1)中心體坐標系fb(ObXbYbZb):原點在中心體質心,坐標軸為中心體慣量主軸;

(2)柔性附件坐標系ff(OfXfYfZf):原點在附件與中心體的連接點,坐標軸固連于附件上;

(3)航天器坐標系fs(OsXsYsZs):原點在航天器質心,坐標軸為航天器慣量主軸.

圖2 航天器動力學模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of spacecraft dynamics model

(1)

利用假設模態(tài)法將變形量展開,即有:ufi=Φfiq,其中:Φfi為某一質量微元處前l(fā)階振型所對應的變形量,為3×l階矩陣,僅與微元位置相關;q為柔性附件的模態(tài)坐標,為l×1階矩陣,僅與時間相關.利用模態(tài)坐標與變形量的關系可將質量微元的位置與速度寫為

(2)

(3)

柔性附件的動能為

(4)

其中,

上述推導過程中忽略了部分量級較小且不影響演化過程衛(wèi)星守恒量的耦合項,并且認為柔性部件固連于中心體,連接處無間隙且無相對運動.式(4)中右側3項分別為柔性附件隨中心體轉動動能、振動動能和轉動-振動耦合動能.

另外,柔性附件在振動過程,其彈性形變會產生彈性勢能,可表示為[17]

V=UTKUU=qTKqq

(5)

其中:U為所有柔性附件質量微元變形量組成的矢量;KU為所有質量微元對應的剛度矩陣,維數(shù)與質量微元個數(shù)相關;Kq為模態(tài)坐標q對應的剛度矩陣,維數(shù)與模態(tài)坐標維數(shù)相關.

航天器的總動能為中心體動能與柔性附件動能之和,總能量為航天器的總動能和柔性附件彈性勢能之和,航天器的拉格朗日量為總動能和柔性附件彈性勢能之差,根據(jù)式(1)、式(4)與式(5),航天器總能量Es和拉格朗日量L具體寫為

(6)

(7)

為便于后續(xù)分析,對各附件的運動描述方式進行調整:

(8)

2)對模態(tài)坐標進行歸一化處理[17],選取新的模態(tài)坐標η并令q=Fη,其中F為2類模態(tài)坐標之間的轉換矩陣,且滿足FTMfF=E3.

那么式(7)所示的拉格朗日量可以寫作

(9)

其中:ωs=Asbωb,是系下航天器的角速度;Rsf=FRf;Λ為柔性附件頻率對角陣.

本文認為帆板振動過程中的阻尼作用強度與彈性形變成正比,即采用線性阻尼模型,并且認為能量耗散僅由柔性部件振動引起,忽略星上液體晃動引起的能量耗散.根據(jù)文獻[18],柔性附件能量耗散的瑞利耗散函數(shù)可以寫作

(10)

其中,ξ為柔性附件阻尼比.

根據(jù)拉格朗日方程,不考慮外部輸入時航天器動力學方程可以表示為

(11)

(12)

(13)

將式(12)與式(13)合寫成矩陣形式,有

(14)

2 航天器不同自旋狀態(tài)穩(wěn)定性分析

根據(jù)控制論,當系統(tǒng)處于能量最低點時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,本節(jié)將分析航天器能量最低時的運動狀態(tài).

根據(jù)角動量定理,航天器不受外力矩時,慣性系下角動量的大小與方向均保持恒定.由式(3)與式(9),航天器在系下的角動量可以表示為

(15)

引入拉格朗日函數(shù)

(16)

其中,λ為拉格朗日乘子.

顯然,當L′取得最小值時,航天器處于能量最低狀態(tài).當式(17)～(19)均為0時,航天器總能量Es取得極值

(17)

(18)

(19)

根據(jù)計算,航天器總能量處極值時有3組可能的運動狀態(tài):

(20)

上述分析中Isx、Isy與Isz分別為航天器繞Xs軸、Ys軸與Zs軸的轉動慣量.顯然航天器自旋軸慣量越大,總能量越小,故航天器只有繞其最大慣量軸的自旋運動是穩(wěn)定的.并且由于柔性附件振動過程會逐漸耗散能量,經(jīng)過足夠長的時間后,航天器運動狀態(tài)均會收斂至繞最大慣量主軸自旋.

另外根據(jù)文獻[17],對于滿足Isx=Isy=It

(21)

3 能量耗散影響因素分析

上一節(jié)的定性分析表明,航天器在柔性部件能量耗散作用下,經(jīng)過長期運動演化將穩(wěn)定于繞最大慣量軸自旋的運動狀態(tài),本節(jié)將基于數(shù)值仿真分析影響能量耗散速率的因素,并從能量耗散角度分析柔性衛(wèi)星的運動演化趨勢.

柔性附件的安裝方式如圖3所示,部分仿真參數(shù)如下:

圖3 柔性附件的安裝示意圖Fig.3 Installation diagram of flexible attachments

柔性附件前三階固有頻率分別為0.5 Hz、1.8 Hz和6.2 Hz,柔性附件的前三階振型如圖4所示.

圖4 柔性附件前三階振型Fig.4 First three vibration modes of flexible attachments

(1) 航天器初始角速度對能量耗散速率的影響

圖5中給出了不同初始角速度條件下,航天器能量耗散的趨勢,其中橫坐標為時間,縱坐標為當前時刻能量與初始時刻能量的比值,可以看出,航天器初始角速度越大,能量耗散速度越快.

圖5 衛(wèi)星初始角速度對能量耗散速率的影響Fig.5 Influence of initial angular velocity on energy dissipation rate

圖5中的5組算例中,航天器在初始時刻均處于自旋與章動的復合運動狀態(tài),且根據(jù)各算例角速度初值可知其章動角均相同(7°左右).當航天器三軸角速度均為2(°)/s左右時,經(jīng)過50天航天器仍具有初始時刻99.89%的能量,即航天器的運動狀態(tài)幾乎沒有改變;而當三軸初始角速度為10(°)/s左右,50天后航天器只具有初始時刻77.4%的能量,根據(jù)相應曲線可知此時航天器章動已經(jīng)大幅收斂,接近繞最大慣量主軸自旋的穩(wěn)定運動狀態(tài).根據(jù)航天器的轉動動力學方程式(12),考慮到長期無控運動過程中柔性附件振動較弱,忽略模態(tài)坐標相關項后可以得到

(22)

(2)柔性附件的安裝位置對能量耗散速率的影響

圖6給出了柔性附件安裝位置不同時,航天器能量耗散的趨勢.其中Yf是柔性附件距中心體的距離,如圖3所示.根據(jù)式(4)中If的表達式與式(8)中航天器慣量主軸坐標系的分析,柔性附件不同的安裝位置會影響航天器的質量分布,而不同的質量分布特性會導致式(22)右側各角速度乘積項的系數(shù)不同,從而改變航天器能量耗散速度.航天器質量分布越分散,各主軸慣量之差越大,航天器能量耗散速率就越快.

圖6 柔性附件的安裝位置對能量耗散速率的影響Fig.6 Influence of installation status of flexible attachments on energy dissipation rate

(3)柔性附件初始振動狀態(tài)對能量耗散速率的影響

圖7給出了柔性附件初始振動狀態(tài)不同時,航天器能量耗散的趨勢.Ef0為柔性附件的初始振動能量,包括彈性勢能與振動動能.從圖7左上子圖中可以看出,當柔性部件在初始時刻存在彈性形變時,航天器將在100 s內迅速耗散掉初始彈性勢能,并在被自旋運動激發(fā)的受迫振動過程中繼續(xù)耗散航天器能量,此時的能量耗散速度與初始振動狀態(tài)無關,而圖7右下子圖說明不同初始振動狀態(tài)的航天器在末狀態(tài)時剩余能量基本一致,故航天器初始振動狀態(tài)對能量耗散速率基本無影響.

圖7 初始振動狀態(tài)對能量耗散速率的影響Fig.7 Influence of initial vibration state on energy dissipation rate

(4)柔性附件材料特性對能量耗散速率的影響

圖8給出了柔性附件阻尼比不同時,航天器能量耗散的趨勢,當阻尼比為0.009時,航天器可在22天左右時收斂至繞最大慣量主軸的運動;而阻尼比為0.005時,航天器在45天左右時收斂至繞最大慣量主軸的運動,阻尼比為0.001時,航天器在50天時仍未收斂至繞最大慣量主軸的運動.也就是說,柔性附件阻尼比越大,能量耗散速度越快,這一結論可以由式(10)的能量耗散函數(shù)直接得到.

圖8 柔性附件材料特性對能量耗散速率的影響Fig.8 Influence of material characteristics of flexible attachments on energy dissipation rate

4 結 論

本文針對失效衛(wèi)星的救援與維護任務設計需求,建立了適用于攜帶柔性附件航天器長期在軌演化分析的姿態(tài)-振動耦合動力學模型,從理論上分析了不同自旋狀態(tài)的穩(wěn)定性,并研究了航天器能量耗散速度的3種主要影響因素.所得出的主要結論如下:

1)針對所研究的不同問題背景,應有選擇地簡化航天器動力學模型,在失效衛(wèi)星長期運動演化分析中,為保障分析結果的精度,應保持航天器角動量守恒,故研究中應避免簡化掉過多耦合項;

2)航天器繞不同空間軸自旋時,若航天器角動量一定,則自旋軸慣量越大,航天器能量越小,并且由于柔性附件振動會導致持續(xù)的能量耗散,航天器經(jīng)過足夠長時間的運動演化后均會收斂至繞最大慣量軸的自旋運動,但這一過程耗時很長;

3)根據(jù)理論分析與數(shù)值仿真,柔性航天器能量耗散速率主要與衛(wèi)星初始角速度、柔性附件的安裝位置、柔性附件材料特性等因素相關,而柔性附件的初始振動狀態(tài)對能量耗散速率影響很小.