蘇英姿 章勤瓊

【摘? ?要】計數(shù)單位是數(shù)與運算的核心概念。借助只有端點和方向的半結構化數(shù)線，讓學生經歷靈活選擇計數(shù)單位和對計數(shù)單位進行轉化來表征不同數(shù)的活動，能幫助學生自主構建計數(shù)單位，感悟其產生的意義，實現(xiàn)計數(shù)單位體系的架構、十進制數(shù)意義的貫通和數(shù)感的提升。

【關鍵詞】數(shù)線；計數(shù)單位；十進制；數(shù)感；表征

【課前思考】

計數(shù)單位是數(shù)與運算的核心概念［1］，數(shù)的讀、寫、表征、運算都要借助計數(shù)單位。計數(shù)單位對十進制數(shù)認識的一致性教學起著統(tǒng)領作用。針對計數(shù)單位的認識，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在不同學段提出了不同的要求。具體要求包括：第一學段，在實際情境中感悟并理解萬以內數(shù)的意義，理解數(shù)位的含義，了解計數(shù)單位；第二學段，通過認識萬以上的數(shù)，了解十進制計數(shù)法，初步認識小數(shù)和分數(shù)，感悟分數(shù)單位，理解計數(shù)單位的意義；第三學段，結合具體情境探索并理解小數(shù)和分數(shù)的意義，感悟計數(shù)單位。認識計數(shù)單位是為了更好地認識數(shù)，最終實現(xiàn)對十進制數(shù)意義理解的貫通，達到數(shù)感培養(yǎng)的目的。計數(shù)單位的認識需要達成以下兩個目的：（1）建構計數(shù)單位并感悟其意義和價值，其中，計數(shù)單位“十”的建構尤為關鍵，它是建構其他計數(shù)單位并進行方法遷移的起點。（2）感悟十進制，能運用進率進行單位轉化，即將10個低級單位合成1個高級單位，將1個高級單位分成10個低級單位。

如何幫助學生更好地認識計數(shù)單位？克萊門茨和薩拉馬提出：在任意長度、給定端點的數(shù)線上標記數(shù)字的心理結構的能力對年幼兒童尤其重要，這種能力支持著計算、估計以及其他數(shù)學過程的發(fā)展和表現(xiàn)。［2］數(shù)線是學生認識數(shù)的重要載體，在數(shù)的認識的各個階段均有數(shù)線的“身影”。很多數(shù)線都是已標注好起點、方向和單位長度的結構化數(shù)線（數(shù)軸），且都平均分成10份，這樣的呈現(xiàn)形式不利于幫助學生真正理解計數(shù)單位及其轉化。以只有端點和方向的半結構化數(shù)線為載體，創(chuàng)設讓學生根據(jù)不同要求確定單位長度進行表征的活動，能夠促進學生對計數(shù)單位的理解和轉化。為此，筆者以二年級學生為教學對象，在他們學習了萬以內數(shù)，會用直觀學具表征數(shù)之后，以“神奇的數(shù)線”為主題創(chuàng)設了一次教學實踐。

【教學目標】

1.經歷根據(jù)不同要求確定單位長度，在數(shù)線上進行表征的過程，建構計數(shù)單位十、百、千、萬，體會其產生的意義。

2.借助數(shù)線，進行計數(shù)單位的轉化，表征包含多級計算單位的數(shù)，感悟十進制。

3.建立計數(shù)單位間的聯(lián)系，建構計數(shù)單位體系，培養(yǎng)數(shù)感。

教學重點：借助數(shù)線，根據(jù)數(shù)的大小，靈活選擇合適的計數(shù)單位進行表征。

教學難點：通過計數(shù)單位的轉化，在數(shù)線上準確表征數(shù)。

【教學過程】

一、多元表征9和76，體會“十”的意義

教師布置學習任務：畫圖表示出9和76。要求每名學生在學習單上獨立完成學習任務。

1.交流9的表征方法

教師呈現(xiàn)一名學生表征9的作品。

師：向大家介紹一下你是怎么畫的？

生：我是1個1個畫的，畫了9個圓。

師：你畫了9個一。

2.對比、勾連76的表征方法

教師呈現(xiàn)表征76的①號、②號學生作品（如圖1）。

師：對比這兩種畫法，你覺得有什么不同？

生：①號作品是1個1個畫的，畫了76個一；②號作品先10個10個畫，畫了7個十，再1個1個畫，畫了6個一。

師：②號作品為什么要10個10個圈起來？

生：先每10個圈起來，畫出7個十，再畫6個一來表示，這樣更容易看出76。

教師呈現(xiàn)表征76的③號學生作品（如圖2）。

師：對比②號和③號作品，哪種方法能更簡潔地表示7個十和6個一，為什么？

生：③號作品更簡潔。因為③號作品是將10個看成1份，只要畫7個十和6個一，而②號作品是1個1個畫，到10個再圈起來，畫了70個圓后再畫6個圓，一共畫了76個圓。

師：②號作品中每個圓代表幾？③號作品中每個圓代表幾？

生：②號作品中每個圓代表一。③號作品中，左邊7個圓，每個圓代表十；右邊6個圓，每個圓代表一。

教師呈現(xiàn)表征76的④號、⑤號學生作品（如圖3）。

師：對比③號、④號和⑤號作品，這三種方法有什么相同的地方？

生：它們都表示出了7個十和6個一，都出現(xiàn)了用一個圖形代表十。

設計意圖：通過讓學生畫圖表征9和76，教師了解了學生對計數(shù)單位“十”和計數(shù)單位“一”關系的理解水平。教師依次呈現(xiàn)表征76的不同方法，并進行了三次比較：第一次對比①號和②號作品，讓學生體會產生計數(shù)單位“十”的必要性；第二次對比②號和③號作品，對表征的方法進行優(yōu)化；第三次對比③號、④號和⑤號作品，勾連計數(shù)器、數(shù)位圖與學生自創(chuàng)表征方法之間的共性，讓學生進一步體會計數(shù)單位“十”的價值及用計數(shù)單位“十”來表征76的優(yōu)勢。

二、建構計數(shù)單位“十”，勾連“一”和“十”

1.用數(shù)線表征9，學會表征方法

教師用課件出示數(shù)線（如圖4）。

師：如果有這樣一條線，你覺得9應該畫在哪里，為什么？

生：（學生用手指著從0往右數(shù)的第9個點）在這個點上。

師：你是怎么看出來它是9，而不是其他數(shù)的呢？

生：從0到1為一格，表示1，從1到2為一格，也表示1，從0到2就是兩格，表示2，這樣往下數(shù)，一直數(shù)到9。

2.用數(shù)線表征76，建構計數(shù)單位“十”

教師布置學習任務：請你在圖4這條線上表示出76。要求每名學生在學習單上獨立完成學習任務。

教師呈現(xiàn)表征76的①號、②號學生作品（如圖5），并引導學生進行對比。

師：對比這兩種畫法，你覺得哪種方法更好，為什么？

生：②號作品的畫法更好，因為它準確地表示出了76，而①號作品中的76是不是真的在這里并不能確定。

師：②號作品是怎么表示出76的？

生：1大格表示10，7大格就是70，1小格表示1，6小格就是6，相加就是76。

師：②號作品中，70～80之間為什么要畫小格，1小格代表幾？

生：76比70大，比80小，這1大格表示10，沒法表示76里面的6，所以將70～80這格分一分，用每小格表示1，就可以表示出6了。

師：這里的每小格是不是一樣大？70～80之間畫了幾小格？

生：每小格是一樣大的，它們之間畫了10小格，表示十里面有10個一。

師：10小格剛好是這里的1大格，也就是十。將這個十分成10個一，從中找到6個一，和7個十合起來就準確地表示出了76。

設計意圖：先讓學生在數(shù)線上表示9，使學生易于將數(shù)與形進行一一對應。接著讓學生挑戰(zhàn)在同一數(shù)線上表示76，促使學生確定數(shù)線的單位長度為十。最后在對76的表征方法的對比中，引導學生通過單位轉化，將1個十平均分，得到10個一，進而表征出76。由此，學生對76中6的表征從一個模糊的范圍走向了準確，且學生經歷了由計數(shù)單位“十”向計數(shù)單位“一”轉化的過程，對“一”和“十”的十進關系有了深刻的理解。

三、建構計數(shù)單位“百”“千”“萬”，理解相鄰計數(shù)單位的關系

1.建構計數(shù)單位“百”，建立“十”和“百”的關系

教師布置學習任務：請你在圖4這條線上表示出300、500、860。要求每名學生在學習單上獨立完成學習任務。

教師呈現(xiàn)①號學生作品（如圖6），并引導學生進行解釋。

師：像圖6這樣畫可以嗎？怎么知道他畫的是對的？

生：可以這樣畫。因為1大格表示100，3大格就是300，5大格就是500。畫860時，他在800和900之間平均分了10個十，取了6個十，將8個百和6個十合起來，就是860。

師：（教師用手指著800～900之間的小格）你怎么知道這里的1小格就是10？

生：100里有10個十，10個十就是100。

教師呈現(xiàn)②號學生作品（如圖7）。

師：你們覺得畫②號作品的同學是怎么想的？這里的1格表示幾？

生：這幅圖中，前面的幾格表示每格是150，后面1格又表示100。

師：在這樣的數(shù)線上能表示出300、500和860嗎？會遇到什么問題？

生：每格要變得一樣長，后面的數(shù)線每格也要變成150，所以要把550改成600。

生：雖然現(xiàn)在每格都一樣長，都表示150，但要在1格表示150的線上準確地表示出500比較有難度，要表示出860就更困難了。

師：你們覺得要想在這條線上準確地表示出300、500、860，需要注意哪些問題？

生：線上每格的長度要一樣，且每大格最好是100，這樣表示起來更準確、更方便。

2.建構計數(shù)單位“千”和“萬”，勾連相鄰計數(shù)單位

教師布置學習任務：請你在圖4這條線上表示出2000、8700、10000。要求每名學生在學習單上獨立完成學習任務。

教師呈現(xiàn)③號學生作品（如圖8），并引導學生進行解釋。

師：這樣表示對嗎？誰來說一說。

生：這樣表示是對的。這里1大格是1000，2大格是2000，8大格7小格就是8700，10大格是10000。

教師呈現(xiàn)圖6和圖8，引導學生進行比較。

師：觀察這兩條表示數(shù)的線，比較一下有什么不同？

生：圖6這條線上1大格表示100，1小格表示10；圖8這條線上1大格表示1000，1小格表示100。

師：你怎么知道圖8這條線上1小格就是100？

生：10個百是1000，1小格是把1000平均分成了10份。

設計意圖：教師通過創(chuàng)設不同的學習任務，讓學生經歷通過表征不同大小的數(shù)，靈活選擇計數(shù)單位的過程，幫助學生積累用數(shù)線表征數(shù)的經驗，建構計數(shù)單位“百”“千”“萬”，理解相鄰計數(shù)單位的十進關系，感悟十進制。在理解計數(shù)單位“百”的教學中，教師通過呈現(xiàn)一個單位長度不是百且單位長度不一致的反例，引導學生理解數(shù)線的均分特征（單位長度要一致），體會計數(shù)單位“百”產生的意義，體驗用十進制計數(shù)單位來表示十進制數(shù)的優(yōu)越性。

四、橫聯(lián)縱拓，建構計數(shù)單位體系

1.在數(shù)線上找9900、9990、9999，提煉轉化規(guī)則

教師呈現(xiàn)0～10000的數(shù)線（如圖9）。

師：大家能在這條線上找到9900嗎？要怎么找？

生：先找到9000，再將9000～10000這1大格平均分成10小格，每小格就是100，9小格就是900，這樣就能找到9900了。

師：能找到9990嗎？會在哪里？

生：將9900和10000之間的這格再平均分成10小格，1小格是10，9小格是90。

生：將9990～10000之間的這格再平均分成10小格，1小格是1，9小格是9。

教師用課件動態(tài)演示找9900、9990的過程（如圖10）。

師：回顧一下，我們是怎么找到9990里千位上的9的？這么分的依據(jù)是什么？

生：因為萬里面有10個千，將萬平均分成10份，每份是1000，9份是9000。

師：百位上的9呢？十位上的9呢？如果找9999的位置，該怎么找個位上的9在哪里呢？依據(jù)又是什么？

生：都是將1大格平均分成10小格，找9小格。依據(jù)是千里面有10個百，百里面有10個十，十里面有10個一。

2.揭示課題，體會數(shù)線的價值

師：今天我們在這條線上表示出了很多數(shù)，其實大家在一年級時就遇到過它，它叫作數(shù)線。在學習用數(shù)線表示數(shù)之前，我們已經可以用畫圖、計數(shù)器、數(shù)位圖等來表示數(shù)了，那為什么還要學習用數(shù)線表示數(shù)呢？

生：以前我們表示幾個數(shù)要畫幾幅圖，現(xiàn)在我們在一條數(shù)線上就可以同時表示好多數(shù)。

生：要是數(shù)線很長很長，我就可以找到很多很多數(shù)。

生：只要根據(jù)數(shù)的大小，確定1大格的長度，就可以表示了。

師：是呀，一條數(shù)線上可以同時表示很多數(shù)，數(shù)線真神奇。

3.拓寬思考范圍，建構計數(shù)單位體系

師：關于數(shù)線，你還想研究什么？

生：要是數(shù)很大很大，每格是幾呢？

生：每格是1000的能平均分成10個百，每格是100的能平均分成10個十，每格是10的能平均分成10個一，每格是1的能不能再平均分呢？如果再平均分下去每格是幾呢？

……

師：看來關于數(shù)線還有很多未知的奧秘等著我們去探索。

設計意圖：教師先通過計數(shù)單位之間的相互轉化，讓學生在數(shù)線上找出9900、9990、9999，勾連相鄰計數(shù)單位“一”“十”“百”“千”，打通計數(shù)單位層層遞進的十進關系，幫助學生結構化地看待這些計數(shù)單位。接著用動態(tài)演示和思辨活動，讓學生體會用數(shù)線表征的意義。最后以數(shù)線的研究為抓手，引導學生根據(jù)計數(shù)單位的十進關系，進行前延后拓，為更多計數(shù)單位的學習和數(shù)系的貫通奠定基礎。

【教學反思】

一、以數(shù)線為載體，建構理解不同計數(shù)單位

建構計數(shù)單位，就是要讓學生在大腦中形成一個個結構為10個一組的計數(shù)單位，并讓他們感悟不同計數(shù)單位的意義。只有經歷知識產生的必要性，充分感知、體驗知識產生的過程，才能抽象概括，把握知識的本質，把握知識之間的本質聯(lián)系。［3］ 教師要抓住計數(shù)單位“十”這個關鍵點，多元表征76，并進行方法對比優(yōu)化，在此基礎上用數(shù)線來表征，讓學生充分經歷“十”的建構過程，體會計數(shù)單位“十”產生的意義。再以計數(shù)單位“十”的建構為基點，引導學生進行方法遷移，讓學生通過在同樣的數(shù)線模型上表示更大數(shù)的任務，經歷計數(shù)單位“百”“千”“萬”的構建過程，不斷體會用十進計數(shù)單位來表示十進制數(shù)的優(yōu)越性，體會十進制的價值。

二、借助數(shù)線進行計數(shù)單位轉化，建構計數(shù)單位體系

對計數(shù)單位本質的把握不僅要建構理解每個計數(shù)單位，還要找到計數(shù)單位之間的聯(lián)結規(guī)則，將已學的計數(shù)單位放置于整個計數(shù)單位體系中，形成計數(shù)單位系統(tǒng)，實現(xiàn)以有限的單位表示無限數(shù)的可能。學生通過借助數(shù)線表征不同的大數(shù)的活動，學習運用進率找到合適的計數(shù)單位，在數(shù)線上找到9900、9990、9999，從而提煉出計數(shù)單位轉化的規(guī)則。這些活動可幫助學生對計數(shù)單位進行可視勾連，達到逐步建構計數(shù)單位體系的目的，實現(xiàn)十進制數(shù)意義理解的貫通和數(shù)感的培養(yǎng)。

參考文獻：

［1］丁銳.新課標“數(shù)與運算”主題的結構化及核心概念：馬云鵬教授、吳正憲老師訪談錄（三）［J］.小學教學（數(shù)學版），2022（10）：4-8.

［2］克萊門茨，薩拉馬.兒童早期的數(shù)學學習與教育：基于學習路徑的研究［M］.張俊，陶瑩，李正清，等譯.北京：教育科學出版社，2019.

［3］劉加霞.小學數(shù)學有效教學［M］.北京：北京師范大學出版社，2015.

（1.浙江省玉環(huán)市楚門文興小學

2.福建師范大學教育學院）