王澤學　陳維

摘 要：基于BICOMB2和SPSS26.0分析軟件，對來自CNKI的2015篇有關(guān)數(shù)學解題的有效文獻進行可視化分析，根據(jù)熱點知識圖譜了解我國近20年數(shù)學解題研究熱點和發(fā)展趨勢.我國數(shù)學解題的研究熱點由“解題策略以及解題教學”；“解題反思：一題多解”；“解題思路、技巧以及思想與方法”三個方面組成.研究熱點領(lǐng)域呈現(xiàn)出四大發(fā)展趨勢：解題中滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng);不等式問題探究;波利亞中的元認知思想；注重解題教學中反思能力.

關(guān)鍵詞：數(shù)學解題；研究熱點；發(fā)展趨勢；知識圖譜

2021年國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱《“雙減”政策》），指出“減輕學生過重作業(yè)負擔”［1］.那這是不是意味著數(shù)學習題對于數(shù)學的學習不再那么重要？曾經(jīng)，在國際數(shù)學教育界就出現(xiàn)過“中國學習者悖論”，即中國學生的數(shù)學學習成績優(yōu)良，但其創(chuàng)新和思維能力不足［2］.前者是我國熟能生巧理念，雙基的實施等等所帶來的，而后者就是過重的作業(yè)負擔，機械地做題所產(chǎn)生的.但對于數(shù)學而言，不做題肯定是行不通的.波利亞說：“掌握數(shù)學就是意味著善于解題［3］.”單壿教授在《解題研究》談到解題重要性說；“學數(shù)學的目的，不為別的，就是為了學會解題［4］.”這充分說明數(shù)學解題的重要性，那怎樣解題以及解題教學在《“雙減”政策》的背景下更至關(guān)重要，我國對于數(shù)學解題的研究成果也碩果累累.因此利用BICOMB2和SPSS26.0分析軟件對數(shù)學解題研究領(lǐng)域的文獻進行系統(tǒng)梳理，對我國近二十年數(shù)學解題研究現(xiàn)狀以及發(fā)展趨勢進行直觀呈現(xiàn)，便于數(shù)學解題領(lǐng)域的研究者們進行下一步的探究.

1 研究數(shù)據(jù)和方法

1.1 研究數(shù)據(jù)

以中國知網(wǎng)（CNKI）中的學術(shù)期刊與學位論文作為文獻來源，以“數(shù)學解題”為主題進行檢索，時間跨度為2003—2022年，時間截止至2022年11月28日.檢索到學術(shù)期刊論文1519篇，碩博士論文714篇，共2233篇，利用“檢索—初篩—納入—綜合”4個步驟進行甄選［5］，最終選定有效文獻2015篇.

1.2 研究方法

利用Bicomb2和SPSS26.0軟件進行分析.從高頻關(guān)鍵詞、近似值矩陣、聚類圖和熱點知識圖譜四個方面對數(shù)學解題研究領(lǐng)域進行解讀.這種方法不僅能直觀地揭示該領(lǐng)域的研究熱點以及熱點間的關(guān)系，還能對該領(lǐng)域發(fā)展趨勢進行預(yù)測.

2 研究過程

2.1 確定高頻關(guān)鍵詞

首先，利用Bicomb2分析軟件提取并統(tǒng)計關(guān)鍵詞，獲得2538關(guān)鍵詞；其次，將含義重合的關(guān)鍵詞進行合并，如將“解題”和“數(shù)學解題”合并為“數(shù)學解題”等，得到有效關(guān)鍵詞的頻次為6845次；最后，截取累計頻次為40%左右的關(guān)鍵詞為高頻關(guān)鍵詞，共獲得33個關(guān)鍵詞，結(jié)果見表1.

從表1可以看出，33個高頻關(guān)鍵詞的頻次之和為2630次，占總頻次的38.42%.其中排名前10的關(guān)鍵詞出現(xiàn)頻次均大于60，分別是數(shù)學解題（456），中學數(shù)學（322），解題教學（231），解題能力（178），中學生（120），數(shù)學思想方法（94），解題策略（90），應(yīng)用（75），數(shù)形結(jié)合思想（73），解題錯誤（63）.可見我國數(shù)學解題領(lǐng)域的研究多以中學生解題能力、解題策略、解題錯誤、解題中思想方法以及中學數(shù)學解題教學為主.而波利亞解題思想（58）、構(gòu)造法（55）出現(xiàn)的頻次也大于等于55，說明在解題策略和解題方法的研究中，波利亞解題思想和構(gòu)造法最受關(guān)注.

2.2 生成近似值矩陣

利用Bicomb2分析軟件對上述的33個高頻關(guān)鍵詞進行共詞分析，生成詞篇矩陣并導(dǎo)入SPSS26.0，選取落合系數(shù)得到相似矩陣，結(jié)果見表2.

表2中的數(shù)字反映了兩關(guān)鍵詞之間的相似度，數(shù)字越大，兩關(guān)鍵詞間距離越近，相似度越高，反之距離越遠，相似度越低.表2中，各個關(guān)鍵詞到“數(shù)學解題”距離由近及遠的順序依次為：數(shù)學思想方法（0.130）、中學生（0.098）、中學數(shù)學（0.086）、解題教學（0.043）、解題策略（0.035）、解題能力（0.014）.可見“數(shù)學解題”與“數(shù)學思想方法”“中學生”“中學數(shù)學”之間的距離最近，這說明研究者們在數(shù)學解題研究領(lǐng)域中，更關(guān)注中學階段以及解題中的數(shù)學思想方法.

2.3 生成高頻關(guān)鍵詞聚類圖

為了更直觀呈現(xiàn)高頻關(guān)鍵詞間的關(guān)系，利用SPSS26對BICOMB2軟件生成的詞篇矩陣進行聚類分析，如圖1所示.

圖1中，縱軸數(shù)字代表與之相應(yīng)的高頻關(guān)鍵詞，橫軸數(shù)字代表關(guān)鍵詞之間的距離，數(shù)字越小，表明距離越近，關(guān)系更密切［6］.從數(shù)學解題高頻關(guān)鍵詞聚類圖（圖1）可直觀看出33高頻關(guān)鍵詞被分為3大類.種類1為“解題策略以及解題教學”研究，包括解題策略、數(shù)學應(yīng)用題、小學數(shù)學、解題能力、培養(yǎng)、審題、解題教學等16個關(guān)鍵詞;種類2為“解題反思：一題多解”研究，包括解題反思、一題多解2個關(guān)鍵詞；種類3為“解題思路、技巧以及思想與方法”研究，包括解題技巧、不等式、中學數(shù)學、函數(shù)、解題思路、解題方法、數(shù)學思想方法等15個關(guān)鍵詞.

2.4 繪制數(shù)學解題研究熱點的可視化圖譜

用SPSS26進行多維尺度分析，并選擇Z分數(shù)進行標準化，結(jié)合聚類分析結(jié)果，繪制出數(shù)學解題研究熱點知識圖譜.結(jié)果見圖2.

從圖2可以看出，解題策略以及解題教學研究（領(lǐng)域1）位于第三、第四象限，其中在第三象限中，“解題策略”“解題錯誤”“波利亞解題思想”“解題教學”“培養(yǎng)”“數(shù)學核心素養(yǎng)”“數(shù)學應(yīng)用題”關(guān)鍵詞在Y軸距離較近，這表明在解題策略中運用波利亞解題思想，數(shù)學應(yīng)用題中避免解題錯誤以及在解題教學中培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)研究已經(jīng)形成了一定的研究規(guī)模，但并未處于整個研究網(wǎng)絡(luò)的中心.“元認知”“問題解決”“數(shù)學思維”“審題”“小學數(shù)學”等關(guān)鍵詞位于第四象限，是整個領(lǐng)域的邊緣主題，研究者們很少關(guān)注，因此在培養(yǎng)小學數(shù)學的數(shù)學思維，問題解決中的元認知思想，數(shù)學解題中的審題等方面也需要引起重視.

解題思路、技巧以及思想與方法的研究（領(lǐng)域3）位于第一、第二象限，在第一象限中，“中學數(shù)學”“函數(shù)”“解題方法”“解題技巧”“解題思路”各關(guān)鍵詞間聯(lián)系較為緊密，表明中學數(shù)學對函數(shù)、不等式的解題思路、技巧以及方法研究成果較為豐富，也是現(xiàn)階段此領(lǐng)域中的熱點、重點.在第二象限中，“數(shù)學解題”“數(shù)學思想方法”等關(guān)鍵詞聯(lián)系緊密，又形成數(shù)學解題中運用數(shù)學思想方法研究領(lǐng)域，同時與“解題反思：一題多解”研究（領(lǐng)域2）位于同一象限，表明這兩個領(lǐng)域的研究較為活躍，未來可以探究思考將這兩個領(lǐng)域的研究與其他領(lǐng)域關(guān)聯(lián)起來.

3 數(shù)學解題研究發(fā)展趨勢分析

3.1 解題中滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

在圖2中，領(lǐng)域3中“數(shù)學解題”“數(shù)學思想方法”等五個關(guān)鍵詞聯(lián)系較為緊密，形成在數(shù)學解題中滲透數(shù)學思想方法研究領(lǐng)域.經(jīng)徐利治教授的倡導(dǎo)下，近幾十年，數(shù)學思想方法已經(jīng)成為廣大教師頻繁使用的詞語，在數(shù)學解題教學中滲透數(shù)學思想方法已為廣大教師所接受.因此也引來了研究者們樂此不疲地進行探究.領(lǐng)域1中“解題教學”“培養(yǎng)”“數(shù)學核心素養(yǎng)”三個關(guān)鍵詞在Y軸距離較近，形成解題教學中培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)研究領(lǐng)域.2014年教育部發(fā)布《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，指出“研究制定學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學業(yè)質(zhì)量標準”［7］.在此之后，有關(guān)核心素養(yǎng)的研究猶如雨后春筍般出現(xiàn)，而且大多數(shù)的落腳點都是如何培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).比如在數(shù)學文化領(lǐng)域，也在思考數(shù)學文化如何促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展？具體有哪些途徑？那不免也會將數(shù)學思想方法和核心素養(yǎng)之間聯(lián)系起來，史寧中教授提到數(shù)學基本思想與數(shù)學“雙基”“四基”、數(shù)學核心素養(yǎng)都是一脈相承的，基于“四基”的數(shù)學教學就是基于數(shù)學核心素養(yǎng)的數(shù)學教學［8］.因此數(shù)學思想方法與數(shù)學核心素養(yǎng)有著不可割裂的聯(lián)系.但從圖3可以看出，“數(shù)學思想方法”“數(shù)學核心素養(yǎng)”這兩個領(lǐng)域關(guān)鍵詞的距離較遠，說明其相關(guān)性不高，研究者常忽略之間的關(guān)系.所以通過“數(shù)學解題”這一橋梁，在解題中滲透數(shù)學思想方法，從而促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展是未來探究的方向.

3.2 不等式問題探究

從圖2可以看出，領(lǐng)域3的研究熱點以不等式為中心，說明數(shù)學中的解題思路，解題技巧，解題方法都能從不等式問題入手，在解不等式過程中滲透著許多數(shù)學思想方法，而且不等式在數(shù)學解題中也有廣泛的應(yīng)用.安振平老師提出了二十六個優(yōu)美不等式［9］，引來了很多讀者探討.其中李建潮利用配偶法證明第1個不等式［10］；何業(yè)亮利用齊次化的解題技巧對其中第5個給出了簡潔證法［11］；李雙娥利用極化恒等式證明其中第19個不等式［12］；查正開運用數(shù)學歸納法證明第21個不等式［13］；王煒利用換元法證明其中第23個不等式［14］；蘇建國利用函數(shù)思想證明其中第14、17、18和第19個不等式［15］；衛(wèi)福山通過適當?shù)淖儞Q，利用三角不等式“變”出很多代數(shù)不等式證明其中第5、6、7和第25個不等式，這其實就是化歸的思想方法［16］.不等式在數(shù)學解題中的應(yīng)用也比較廣泛，如用基本不等式求最值，柯西不等式在幾何中的應(yīng)用.這足以說明不等式在數(shù)學解題中有著很高的戰(zhàn)略價值，而優(yōu)美不等式不僅僅只有這二十六個，同一不等式可以尋找新的通識解法，不等式中所展示的解題思路，解題技巧以及所滲透數(shù)學思想方法值得去深度探究.

3.3 波利亞中的元認知思想

在圖2中可以看出，領(lǐng)域1中的“元認知”“問題解決”“數(shù)學思維”“策略”“審題”等關(guān)鍵詞在第四象限，而這幾個關(guān)鍵詞主要圍繞元認知展開.元認知是指人們對自己認知的認識［17］，如解一道題過程，審題，思考解題思路，解題后反思都屬于元認知.數(shù)學元認知在數(shù)學認知過程中具有重要作用，主要體現(xiàn)在數(shù)學問題解決、數(shù)學思維、數(shù)學學業(yè)成績?nèi)齻€方面［18］.而如何培養(yǎng)元認知能力，則可以從波利亞元認知思想著手.因為波利亞解題思想不僅是一種解題策略，也是一個完整的元認知體系.“怎樣解題表”給出的“提示語”就是典型的元認知知識［19］.譬如，“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”、“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”、“你知道一條與它有關(guān)的定理嗎？”［20］等等.這些提示語都不直接拿來解題，而是在合適的時機給予正確的引導(dǎo).因而在解題時經(jīng)常自覺地運用這些提示語，是提高解題元認知能力的有效途徑.因此，波利亞思想中含有豐富的元認知論述，是研究數(shù)學元認知的思想寶庫［21］.但是除了波利亞中的元認知思想，其他數(shù)學家中的數(shù)學思想是否也有著元認知思想？這值得去關(guān)注和發(fā)現(xiàn).另外，在教學中，教師還能引導(dǎo)學生總結(jié)自己的提示語，這樣學生不僅印象深刻，而且學生的元認知能力也得以提高.

3.4 注重解題教學中反思能力

波利亞在“怎樣解題表”中將解題過程分為四個階段：理解題目，擬定方案，執(zhí)行方案，回顧［20］.然而在教學實踐中往往只注重了前三個環(huán)節(jié)，而忽視了最后的一個環(huán)節(jié)——回顧，有些甚至于把解題教學直接演變?yōu)椤邦}海戰(zhàn)術(shù)”［22］，學生也逐漸喪失學習數(shù)學的興趣.王華老師認為，解決數(shù)學問題有三種境界：就題論題，就題論法，就題論道［23］.第一種境界就是解一道題，會一道題，每道題都是獨立的存在；第二種境界就是通過這道題學會了解決問題的一般方法，能舉一反三；第三種境界是解一道題，總結(jié)了一條規(guī)律，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).因此，教師如果只教一道題，學生就只會一道題；教師能歸納總結(jié)出問題的一般方法，學生也能觸類旁通；教師如果不會反思，也教不出會反思的學生.所以教師首先要加強自身反思能力，在解題教學中提高學生的反思水平，爭取做到“就題論道”［24］.在圖2中，領(lǐng)域2中“解題反思”和“一題多解”形成了“解題反思：一題多解”研究領(lǐng)域，一題多解就是一種很重要的解題后的反思.首先對于同一個問題，當一種解法完成后，經(jīng)過回顧思考，去尋找另一種解法，一種更加簡潔的方法.再進一步反思尋找不同解法之間的聯(lián)系，總結(jié)共性，這也是多解歸一.其次，會了一道題，更要學會觸類旁通，相似的題要聯(lián)系起來，尋找共同規(guī)律，歸納總結(jié)出一類題型；最后，再回到題目本身，可以通過改變條件，轉(zhuǎn)換問題形式，也就是常說的變式訓練，讓學生更能掌握問題的本質(zhì).

4 結(jié)論與展望

對20年來有關(guān)數(shù)學解題的學術(shù)期刊論文和碩博士論文進行了系統(tǒng)梳理，對數(shù)學解題領(lǐng)域的研究熱點有了更直觀的了解，研究中所呈現(xiàn)的問題也值得關(guān)注：首先，如何讓“數(shù)學解題”作為載體，使數(shù)學思想方法促進數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展；其次，不等式在數(shù)學解題中有著非常重要的地位，從簡單到復(fù)雜，每一個不等式所帶來的思路、技巧以及蘊含的數(shù)學思想方法都值得去深度剖析；然后數(shù)學元認知對數(shù)學解題也有著重要的作用，除了波利亞思想中含有的豐富元認知論述以外，其他數(shù)學家思想也值得挖掘、探究，從而培養(yǎng)元認知能力；最后在解題過程中往往會忽略總結(jié)反思環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該從自身做起，帶領(lǐng)學生一起進行一題多解、多解歸一、多題歸一的實踐，從而在解題教學中提高反思能力.

參考文獻：

［1］ 中共中央辦公廳國務(wù)院辦公廳.關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見［J］.中華人民共和國國務(wù)院公報，2021（22）：149.

［2］ 張奠基，宋乃慶.數(shù)學教育概論（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2016.

［3］ 羅增儒，羅新兵.作為數(shù)學教育任務(wù)的數(shù)學解題［J］.數(shù)學教育學報，2005（1）：125.

［4］ 單壿.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2016.

［5］ 張楠，宋乃慶，黃新，etal.國際STEAM教師研究的熱點與發(fā)展趨勢——基于VOSviewer的文獻計量分析［J］.開放教育研究，2020，26（5）：7887.

［6］ 郭文斌，聶文華.我國隨班就讀研究熱點及發(fā)展趨勢［J］.現(xiàn)代特殊教育，2021（9）：1723.

［7］ 《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》節(jié)選［J］.教育科學論壇，2017（20）：35.

［8］ 劉祖希.訪史寧中教授：談數(shù)學基本思想、數(shù)學核心素養(yǎng)等問題［J］.數(shù)學通報，2017，56（5）：15.

［9］ 安振平.二十六個優(yōu)美不等式［J］.中學數(shù)學教學參考：上半月高中，2010（1）：136.

［10］ 李建潮.配偶法證明“第一個”優(yōu)美不等式［J］.河北理科教學研究，2016（5）：4344.

［11］ 何業(yè)亮.一個優(yōu)美不等式的簡潔證法［J］.中學數(shù)學教學，2018（1）：52.

［12］ 李雙娥.簡證第19個優(yōu)美不等式［J］.數(shù)學學習與研究，2017（21）：142.

［13］ 查正開.第二十一個優(yōu)美不等式的證明與推廣［J］.數(shù)學教育研究，2012（4）：46.

［14］ 王煒.用換元法證明不等式——第23個優(yōu)美不等式的別證和推廣［J］.數(shù)學教學通訊，2018（9）：7778.

［15］ 蘇建國.幾個優(yōu)美不等式的統(tǒng)一證明和推廣［J］.數(shù)學教育研究，2012（1）：6364.

［16］ 衛(wèi)福山.幾個優(yōu)美不等式的淵源及證明［J］.中學數(shù)學：高中版，2012（5）：7273.

［17］ 袁文斌.談元認知理論在數(shù)學解題過程中的作用［J］.社會科學家，2007（S1）：1545.

［18］ 歐慧謀，唐劍嵐.國內(nèi)數(shù)學元認知的研究與思考［J］.課程·教材·教法，2012，32（5）：5861.

［19］ 涂榮豹.數(shù)學解題學習中的元認知［J］.數(shù)學教育學報，2002（4）：611.

［20］ G·波利亞.怎樣解題［M］.上海：上海科技教育出版社，2011.

［21］ 徐伯華，朱鳳琴.論波利亞的元認知思想［J］.數(shù)學教育學報，2008（3）：1416.

［22］ 王宏賓，羅增儒.例談解題回顧的意義［J］.數(shù)學教學，2007（5）：36.

［23］ 王華.由如何獲得梯形底邊上的中點談起［J］.數(shù)學教學，2009（1）：1819.

［24］ 陳永明.數(shù)學習題教學研究［M］.上海：上海教育出版社，2014.