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        挖掘分類標(biāo)準(zhǔn),走好分類討論第一步

        2018-07-30 10:37:26江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué)宗麗華
        數(shù)學(xué)大世界 2018年21期
        關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù)公式分類

        江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué) 宗麗華

        所謂分類討論,就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),就需對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對(duì)每類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。

        分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要數(shù)學(xué)思想,由于它能訓(xùn)練和培養(yǎng)思維品質(zhì)的條理性和概括性,因此是高考重點(diǎn)考查的思想方法之一。明確分類標(biāo)準(zhǔn),是準(zhǔn)確解決分類討論問題的前提,分類標(biāo)準(zhǔn)的確定類型主要有三種:一是根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn);二是根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn);三是根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)。

        一、根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)

        例如,根據(jù)集合元素的性質(zhì);空集是任何集合的子集;去絕對(duì)值需要分正數(shù)、零和負(fù)實(shí)數(shù)三類情況討論等。

        二、根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)

        例如,在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí),讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到指數(shù)函數(shù) 的單調(diào)性因底數(shù)a的取值范圍不同而不同,即:當(dāng)a>1時(shí), 在定義域內(nèi)為增函數(shù);當(dāng) 0<a<1 時(shí), 在定義域內(nèi)為減函數(shù)。再比如,在利用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到求和公式是受到公比q限制的,即:當(dāng)q=1時(shí), ;當(dāng)q≠1 時(shí),

        例3 已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6,前8項(xiàng)和為-4。

        (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

        (2)設(shè)bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

        三、根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

        參數(shù)廣泛地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的各種問題之中,參數(shù)的存在會(huì)對(duì)問題的解決產(chǎn)生種種影響。一個(gè)問題中的參數(shù)通??梢匀讉€(gè)不同的數(shù)值,而在不同取值情況下,所采用的解決策略和處理方式都不盡相同,因而會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果,這就要求我們必須對(duì)參數(shù)取不同值時(shí)的各種情況分別加以討論。比如在習(xí)題教學(xué)中,含有參數(shù)的方程、不等式等問題是比較常見的。

        分析:首先這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式,學(xué)生很容易認(rèn)為是一個(gè)二次不等式,實(shí)際上不一定。因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)是含參數(shù)的,取值不同使不等式類型發(fā)生變化,故需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類:(1) ;(2)a=0。對(duì)于(2),不等式易解,而對(duì)于(1),又需要再次分類:

        或 ,因?yàn)檫@兩種情形下,不等式解集的形式是不同的。不等式的解是在兩根之外,還是在兩根之間,而確定這一點(diǎn)之后,又會(huì)遇大誰(shuí)小的問題。因而又需要做一次分類討論。故而在解題時(shí),需要做三次分類討論。

        總之,分類討論思想能夠促使學(xué)生全面而周密地分析和思考問題,有助于提高思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。因而,在教學(xué)中對(duì)分類討論思想進(jìn)行教學(xué)滲透時(shí),指導(dǎo)學(xué)生挖掘分類標(biāo)準(zhǔn),可以優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,達(dá)到事半功倍的效果。

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