張凱杰,岳坤明,薛 浩

上海理工大學 機械工程學院,上海 200093

1 引 言

螺旋錐齒輪由于重合系數(shù)大、承載能力強、傳動效率高、傳動平穩(wěn)[1]等優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用于各種交錯軸傳動的機械設(shè)備中。近幾年來,數(shù)字化虛擬技術(shù)[2]被廣泛應(yīng)用于螺旋錐齒輪的設(shè)計中,用來指導螺旋錐齒輪的實際加工。由于螺旋錐齒輪的齒面形狀復(fù)雜,因此,很多學者針對齒面重構(gòu)進行了研究,其中NURBS擬合函數(shù)得到廣泛應(yīng)用。Rui等[3]利用最小二乘法對NURBS擬合后的齒面進行二次優(yōu)化逼近,相比于CAD/CAM中立方體非均勻有理B樣條曲線和曲面的擬合技術(shù),齒面的精度明顯提高;林家春等[4]對齒面測量點進行NURBS曲面擬合,并建立真實齒面的三維參數(shù)化模型,將建立的參數(shù)化模型與理論模型比較得出齒廓偏差,解決了特大型齒輪特征線的測量問題;丁撼等[5]結(jié)合三次NURBS曲線曲面造型技術(shù)的在CAD/CAM中的優(yōu)勢完成球面漸開線齒面的精確擬合,利用蒙皮法構(gòu)造的NURBS齒面基礎(chǔ)上提出相關(guān)優(yōu)化方案,為齒面接觸分析提供了齒面數(shù)據(jù)與基礎(chǔ)模型;鄧辰等[6]通過循環(huán)高斯核的Kriging模型得到齒面控制頂點,進而對雙重螺旋法加工的齒面進行重構(gòu),再通過數(shù)值測量驗證了重構(gòu)齒面的整體精度高,最后通過蒙面法實現(xiàn)了齒面的重構(gòu);馬力全等[7]詳細介紹了雙二次NURBS曲線及曲面權(quán)重系數(shù)的計算方法,去掉了傳統(tǒng)方法中對相關(guān)矩陣的求逆,并增加了一項頂點系數(shù),該方法能夠快速計算出每一個控制頂點的權(quán)重系數(shù)。大部分齒面重構(gòu)的研究都只是確保了擬合曲面的最大誤差以及平均誤差,卻忽視了誤差的整體分布情況以及是否存在局部過擬合等問題;王笑一等[8]基于齒面誤差的3D表達提出了特征數(shù)據(jù)集的定義方法以及基于統(tǒng)計的齒面誤差評價指標計算方法。因此,利用統(tǒng)計學方法詮釋齒面誤差將更好地反映整體齒面擬合情況。

進行刀傾法虛擬切齒時,小輪齒面呈現(xiàn)碎片式現(xiàn)象,不利于后續(xù)的網(wǎng)格劃分與有限元分析,因此需要對加工后的齒面進行重構(gòu)處理。由于接觸斑點分布是作為螺旋錐齒輪接觸性能以及判斷其承載能力的一個重要指標,而接觸斑點分布直接取決于重構(gòu)齒面的情況,因此在進行有限元分析時,齒面誤差的隨機性可能會導致接觸斑點歧義,從而使設(shè)計者為達良好接觸區(qū)域而錯誤地調(diào)整機床參數(shù),從而降低齒輪傳動性能。本文采用Newton-Raphson方法確定齒面的中央控制頂點,通過虛擬切齒技術(shù)確定齒面的邊界,從而實現(xiàn)齒面分區(qū),再基于雙二次NURBS曲面權(quán)重系數(shù)計算方法計算各控制頂點的權(quán)重分布,從而實現(xiàn)對各控制頂點間自適應(yīng)分配插值節(jié)點數(shù),使重構(gòu)齒面的誤差在各齒面劃分區(qū)域上均勻分布,避免了重構(gòu)齒面的局部失真而降低齒輪接觸仿真分析的準確性。

2 基于權(quán)重控制的曲面重構(gòu)

曲面重構(gòu)方法分為以下4個步驟,如圖1所示:

圖1 曲面重構(gòu)流程圖Fig.1 Flowchart of surface reconstruction

以一對準雙曲面齒輪副為研究對象,基于格里森制的HFT計算卡解析[9]刀傾法加工的小輪以及成形法加工的大輪,通過Visual Basic程序?qū)喤鬟M行參數(shù)計算,并利用CATIA二次開發(fā)進行參數(shù)化建模。根據(jù)螺旋錐齒輪的切齒加工原理,推導出輪坯與刀具之間的初始相對位置以及運動關(guān)系,通過CATIA中的VBA宏程序控制刀具與輪坯的運動。因此先根據(jù)小輪加工參數(shù)使刀具相對于輪坯進行空間定位,再通過CATIA中的宏命令進行連續(xù)切削50次,從而得出小輪齒面上完整的刀痕線,但是這種做法會大大降低齒面精度,故需對小輪齒面進行重構(gòu)。一般而言,型值點越多,曲面擬合越精確,但是其計算成本也會線性增加,故在保證擬合精度的前提下,應(yīng)盡量提取較少型值點。

為了使重構(gòu)后的齒面更好貼合理論齒面,通過引入理論點作為齒面上的面控制頂點,從而進行曲面擬合。由于螺旋錐齒輪的齒面相當復(fù)雜,其齒面方程不能通過顯示函數(shù)進行表達,故本節(jié)通過齒面共軛原理[10-11],由Newton-Raphson方法計算表面點的坐標值,這個方法包括坐標變換方程、運動方程以及齒坯邊界方程,如式(1)所示:

式(1)中,Rg(s,θ,φ)表示齒輪在運動過程中的位置向量;Rc(s,θ)表示刀具在運動過程中的位置向量;Mcg(Xb,Xd,E0,δj,Sj,qa,θq,θz,φ)表示坐標變換矩陣;fgc表示齒輪嚙合方程;fm(δm,δg,Om,Og,b,de)表示由設(shè)計參數(shù)定義的齒輪邊界方程。

其中,s為刀刃頂距(mm),θ為刀轉(zhuǎn)角(°),φ為床位(mm),Xb為機床基點到背部的距離(mm),Xd為機床基點到底座的距離(mm),E0為偏移量(mm),δj為機床根角(°),Sj為徑向輪位(mm),qa為安裝角(°),θq為刀傾角(°),δm為面錐角(°),δg為根錐角(°),Om為面錐頂點到交叉點距離(mm),Og為根錐頂點到交叉點距離(mm),b為齒寬(mm),de為外端直徑(mm)。

由上述方程組求解得到曲面上3×7的點陣坐標,計算共軛齒面型值點示意圖如圖2所示。

圖2 齒面型值點的計算Fig. 2 Calculation of points on tooth surface

2.1 權(quán)重計算及曲率調(diào)整

2.1.1計算權(quán)重系數(shù)

雙二次NURBS曲面的數(shù)學表達式[7]:

(2)

式(2)中,t為規(guī)范后的參數(shù)變量,t∈[0,1];ωi,j為控制頂點的權(quán)重系數(shù);Ni,2(t)為2次B樣條基函數(shù)。

雙二次NURBS曲面擬合的研究中,建立一組合適的權(quán)重系數(shù)能有效提高曲面擬合精度。由于權(quán)重系數(shù)能調(diào)節(jié)曲面形狀與控制頂點之間的關(guān)系,故調(diào)節(jié)各點的權(quán)重系數(shù)會影響該點自身及其相鄰點對應(yīng)的曲面形狀。當權(quán)重系數(shù)增大,曲面就會逼近控制頂點,反之則會遠離控制頂點。一個控制頂點的權(quán)重系數(shù)由其自身和周圍的鄰點共同確定,對于雙二次NURBS曲面而言,計算一個控制頂點的權(quán)重系數(shù)需要9個頂點。

根據(jù)圖3的齒面分區(qū)示意圖,將各區(qū)域的頂點作為權(quán)重計算的控制頂點。

圖3 齒面分區(qū)示意圖Fig. 3 The sketch of tooth surface partition

由控制頂點本身及其周圍的9個點計算出各頂點的權(quán)重系數(shù),表達式如式(3)所示:

(3)

式(3)中,ri為相關(guān)矢量,Ri,j為相關(guān)矩陣,bi,j為頂點系數(shù)。根據(jù)文獻[12]可知,ωmin為0.1,ωmax為1.0,ri,Ri,j,bi,j的計算公式如式(4)、式(6)、式(7)所示:

(4)

(5)

式(5)中,C為相關(guān)系數(shù),一般取2[13];nc為控制頂點數(shù)目,故這里nc等于45。

(6)

bi,j=zi,j-zmin

(7)

式(7)中,zi,j為控制頂點在z方向上的坐標值,zmin為45個控制頂點中最小的z值。

上述式(2)—式(7)中的i,j分別表示控制頂點在齒長和齒高方向的下標,i=0,1,…,8;j=0,1,…,4。

曲面控制頂點權(quán)重系數(shù)傳遞示意圖如圖4所示:

圖4 權(quán)重系數(shù)傳遞示意圖Fig. 4 The schematic diagram of weight coefficient

(8)

由式(8),計算得小輪凹面的各控制頂點權(quán)重系數(shù),其權(quán)重分布如圖5所示。

圖5 小輪凹面控制頂點的權(quán)重分布Fig. 5 Weight distribution of points on pinion concave

2.1.2曲率調(diào)整

通過在兩兩控制頂點間插值,可改變各區(qū)域曲面曲率,從而間接影響整體曲面精度。若插值點數(shù)量偏少可能導致曲面精度達不到預(yù)期要求,而插值數(shù)量偏多又會產(chǎn)生“過擬合”現(xiàn)象,反而導致整體或局部曲面精度下降,因此,需要得出各分區(qū)控制點間的最優(yōu)插值點數(shù)量。本節(jié)將兩兩控制頂點間的權(quán)重系數(shù)差值之比轉(zhuǎn)化為各控制點間的插值節(jié)點數(shù)之比,通過同比例增加各區(qū)域插值節(jié)點數(shù),直至開始出現(xiàn)局部“過擬合”現(xiàn)象為止,重構(gòu)齒面的誤差均值隨插值節(jié)點數(shù)的增加而呈現(xiàn)“先降低后上升”的趨勢,如圖6所示,其原因就在于插值點數(shù)過多而導致的“過擬合”現(xiàn)象。通過同比例增加插值點數(shù)進行曲率調(diào)整之后,最終擬合曲面的誤差均值僅為0.79 μm。

圖6 誤差均值變化趨勢Fig. 6 Variation trend of average error

2.2 曲面重構(gòu)

通過MATLAB軟件,根據(jù)上述控制頂點的權(quán)重系數(shù)對各齒面區(qū)域進行自適應(yīng)插值,再通過擬合構(gòu)成的數(shù)值點陣實現(xiàn)小輪凹面的重構(gòu),如圖7所示。通過編寫的程序?qū)⒅貥?gòu)后的曲面圖像生成“.scr”的腳本文件,在Windows操作系統(tǒng)中,它將被默認當作屏保腳本程序。通過實驗發(fā)現(xiàn),可以借助AutoCAD中“script”命令將此腳本文件打開,實現(xiàn)數(shù)據(jù)文件的格式轉(zhuǎn)換,使得曲面圖像在三維軟件中得以呈現(xiàn),由此方法,同樣可以將小輪的凸面圖像導入,以小輪凹凸齒面作為輪齒重構(gòu)的邊界條件,實現(xiàn)輪齒包絡(luò),進而可以重構(gòu)出齒面誤差比較小的一對齒輪,再將其導入HyperMesh中進行網(wǎng)格的劃分,以便進行后續(xù)的齒面接觸分析。

圖7 齒面重構(gòu)Fig. 7 Tooth surface reconstruction

3 誤差測量與誤差分布

為了將統(tǒng)計學原理運用于齒面測量數(shù)據(jù)實現(xiàn)齒面評價,需要建立數(shù)學模型來表達三維齒面誤差。從本質(zhì)上將,齒面誤差評價是對一系列誤差數(shù)據(jù)點進行統(tǒng)計運算,從而獲得具有代表性的統(tǒng)計量。本節(jié)通過Newton-Raphson方法[10-11]計算小輪凹面近似點坐標,得到齒高方向25點、齒長方向81點的特征數(shù)據(jù)集,所謂齒面誤差是指數(shù)據(jù)點與擬合齒面的法向偏差,以增加實體材料方向為正,減少實體材料方向為負[8]。

再對一系列數(shù)據(jù)點偏差X1,X2,…,Xn進行均值和標準差的計算,并將其作為重構(gòu)齒面的精度統(tǒng)計指標。

其均值與標準差分別定義為

(9)

(10)

3.1 基于Catia曲面重構(gòu)的誤差測量

利用Catia的多截面擬合算法進行齒面重構(gòu)時,齒面的精度依賴于輔助截面的數(shù)量,輔助截面數(shù)量越多,齒面精度也越高,但計算成本也因此線性增長。誤差測量使用的是Catia中的測量模塊,將81*25特征數(shù)據(jù)集導入,測量其到重構(gòu)齒面的法向距離,如圖8所示,數(shù)據(jù)點到重構(gòu)齒面之間的法向距離,隨著輔助截面的數(shù)量增加,齒面的誤差均值不斷減小,并逐漸趨于穩(wěn)定,最終穩(wěn)定值為2.62 μm,齒長誤差均值為3.29 μm,齒高誤差均值為1.95 μm,表明齒長方向的誤差敏感度更大,此時的誤差分布情況如圖9(a)所示,并通過在齒長與齒高方向上等距選擇誤差點陣,表示齒長與齒高誤差,如圖10(a)、圖10(b)所示。

圖8 基于Catia的誤差測量Fig. 8 Error measurement by Catia

(a) 基于Catia擬合的曲面誤差分布

(a) 基于Catia擬合的齒長誤差

3.2 基于插值法曲面擬合的誤差測量

MATLAB中有一些快速插值的擬合算法,本節(jié)以分段三次樣條插值(Spline)為例,如果直接對控制頂點間進行均勻插值擬合,則會非常容易出現(xiàn)局部“過擬合”現(xiàn)象,從而導致局部區(qū)域的齒面誤差偏大。為了驗證直接插值的擬合度優(yōu)劣性,本節(jié)依舊使用控制頂點進行插值擬合,得出重構(gòu)曲面,再將計算的81*25的特征數(shù)據(jù)點陣導入,測量點陣到擬合曲面之間的法向距離。得出結(jié)論:由分段三次樣條直接插值擬合的齒面,其齒面誤差均值為1.94 μm,齒長誤差均值為1.76 μm,齒高誤差均值為2.12 μm,表明齒高方向的誤差敏感度更大,其齒面誤差分布情況如圖9(b)所示,其齒長與齒高誤差分別如11(a)、圖11(b)所示。而先通過控制頂點權(quán)重系數(shù)自適應(yīng)分配各控制頂點間的插值節(jié)點數(shù)之后再進行數(shù)值擬合曲面操作,其曲面誤差均值僅為0.79 μm,比之前的3種擬合效果更佳,其齒長誤差均值為0.76 μm,齒高誤差均值為0.82 μm,相比之下,誤差相差較小,則可表明誤差敏感度基本一致,從均值誤差的角度來看,通過控制頂點權(quán)重系數(shù)進行自適應(yīng)插值這一擬合方法更有意義。其齒面誤差分布情況如圖9(c)所示,其齒長與齒高誤差分別如圖12(a)、圖12(b)所示。

(a) 基于Spline直接插值的齒長誤差

(a) 基于權(quán)重控制自適應(yīng)插值的齒長誤差

通過這3種擬合方式下的齒面誤差分布情況對比,可以看出:通過Catia進行多截面擬合的齒面,其誤差分布整體上比較凌亂;基于Spline進行直接插值擬合的齒面,其誤差分布相對來說呈現(xiàn)一定的規(guī)律性,但是存在局部“過擬合”現(xiàn)象;而通過控制頂點權(quán)重系數(shù)自適應(yīng)分配各區(qū)域插值節(jié)點數(shù)后,再進行齒面的插值擬合,其誤差分布整體上具有均勻性,并且不存在局部“過擬合”現(xiàn)象。此外,通過計算3種擬合方式下的數(shù)據(jù)點偏差的標準差,得出:圖9(a)的標準差為0.795 μm,圖9(b)的標準差為0.549 μm,圖9(c)的標準差為0.083 μm,由此再次證明基于權(quán)重控制自適應(yīng)插值的曲面擬合效果最好。

4 重構(gòu)齒面的有限元分析

4.1 輪齒重構(gòu)及網(wǎng)格劃分

將上述重構(gòu)的齒面分別導入Catia中,與輪坯齒頂面和齒根面形成包絡(luò)體,通過封閉曲面并實體化得出單個輪齒,再由陣列得出重構(gòu)全齒模型。由于網(wǎng)格質(zhì)量直接影響有限元分析結(jié)果的可靠性,故將全齒模型導入Hypermesh中,進行手動劃分網(wǎng)格,這樣比在Abaqus中進行自動劃分的網(wǎng)格質(zhì)量高,由于本節(jié)研究的是大小齒輪正轉(zhuǎn)過程中的齒面接觸斑點分布情況,故需對小輪凹面及大輪凸面進行網(wǎng)格加密,因為全齒模型呈中心對稱結(jié)構(gòu),故可先切割出單齒進行網(wǎng)格劃分,在陣列單齒網(wǎng)格過程中,為了確保每個輪齒的左右端面網(wǎng)格節(jié)點一一對應(yīng),故需預(yù)先在單齒的一端面劃分2D過渡網(wǎng)格,再將其復(fù)制旋轉(zhuǎn)到另一端面,這樣陣列出全齒網(wǎng)格模型在兩兩單齒之間無縫銜接,有效地保證了網(wǎng)格劃分的正確性。

4.2 重構(gòu)模型的有限元分析

4.2.1Abaqus分析前處理

將Hypermesh中劃分的網(wǎng)格模型導入Abaqus中進行有限元分析,定義材料為20CrMnTi,模型材料參數(shù)如表1所示。這里采用Static、General求解器[14],將齒面設(shè)置為通用接觸,接觸面的切向摩擦因子為0.15,法向摩擦為硬接觸,將齒坯內(nèi)表面耦合至其軸線上的一點,對此耦合點施加位移和載荷可間接控制齒坯運動。為了求解的收斂性以及結(jié)果的正確性,設(shè)置3個分析步驟:第1步大輪固定,旋轉(zhuǎn)小輪0.005 rad,使其接觸上大輪,消除裝配之間的間隙 ;第2步放開大輪旋轉(zhuǎn)自由度,并添加阻力矩,同時旋轉(zhuǎn)小輪0.2 rad,使其受力逐漸穩(wěn)定;第3步為主要的接觸分析步,大輪的設(shè)置繼承第2步,待力平衡關(guān)系建立后,旋轉(zhuǎn)小輪3.14 rad,設(shè)置完成,最后提交作業(yè),完成接觸分析。

表1 模型材料參數(shù)Table 1 Material parameters of model

4.2.2重構(gòu)齒面的接觸斑點對比

將小輪作為主動輪,大輪作為從動輪,在從動輪的內(nèi)圈耦合點上施加100 N·m的阻力矩。選擇小輪某一輪齒的凹面作為觀察對象,觀察從嚙入到嚙出這一周期內(nèi)不同時刻的齒面接觸斑點分布情況,其中,以小輪和大輪剛嚙合的時刻定為起始0 °轉(zhuǎn)角,選取小輪轉(zhuǎn)角為5 °、10 °、15 °、20 °、25 °、30 °,得出一個嚙合周期內(nèi)不同時刻的齒面接觸斑點,如表2所示。從表2中可以看出,這3種重構(gòu)方法下的齒面接觸線形狀基本都為橢圓形,滿足赫茲理論,說明這對螺旋錐齒輪副的接觸情況符合一般規(guī)律。但由于通過不同的擬合方法進行輪齒的重構(gòu),故導致這3種方法下的齒面接觸情況略有差異。

表2 重構(gòu)齒面的接觸斑點Tabel 2 Contact spots of refactoring tooth surface

由表2中3種重構(gòu)方式下的齒面接觸斑點情況可以看出:首先這3種重構(gòu)齒面的接觸斑點具有相似之處,當小輪轉(zhuǎn)過25 °時,在靠近小輪齒頂位置均有接觸斑點的分布,則可說明這是由于加工參數(shù)的設(shè)計誤差導致的齒頂不良接觸,而并非是由于齒面重構(gòu)方法導致的,因此為了確保齒輪的接觸強度,可以通過反調(diào)加工參數(shù)[15]或者齒面修形[16]來消除齒頂接觸?；贑atia重構(gòu)的齒面由于其齒面誤差的隨機性造成接觸斑點不連續(xù)以及部分齒面區(qū)域存在應(yīng)力歧義的問題;基于Spline直接插值法進行重構(gòu)的齒面因為齒長方向的“龍格”問題導致剛嚙入時的接觸線偏長,并且因為偏齒根處的齒面誤差偏大而導致在整個嚙合周期內(nèi)均有疑似齒根接觸現(xiàn)象;基于權(quán)重控制的重構(gòu)齒面,其瞬時接觸斑點具有唯一性,則可說明這種齒面重構(gòu)方法具有良好的魯棒性與準確性,可為齒輪的有限元接觸分析提供正確的指導。

5 結(jié) 論

通過數(shù)值擬合技術(shù)與有限元分析相結(jié)合,對螺旋錐齒輪曲面重構(gòu)進行了以下研究:

通過Catia對螺旋錐齒輪進行高精度切齒,可有效保證切齒文件的可讀性與切齒的精度,同時為避免從齒面直接選取的數(shù)據(jù)點出現(xiàn)異常值,故而根據(jù)“牛頓-拉夫遜”方法對齒面近似理論點進行計算,并結(jié)合切齒后的齒坯輪廓點進行齒面分區(qū),有效避開從“碎片式”表面上取點的隨機性。

基于雙二次NURBS曲面權(quán)重系數(shù)計算方法得出各控制頂點的權(quán)重分布,由此自適應(yīng)分配各控制頂點間的插值節(jié)點數(shù),從而實現(xiàn)齒面的重構(gòu),可有效避免隨機插值的“過擬合”現(xiàn)象,并保證齒面擬合誤差在各齒面分劃區(qū)域中均勻分布。

將統(tǒng)計方法運用于齒面測量數(shù)據(jù)實現(xiàn)重構(gòu)齒面的評價,并比較了基于Catia重構(gòu)齒面的方法、基于直接插值擬合齒面的方法以及基于權(quán)重控制的重構(gòu)齒面方法下的齒面誤差。其中,利用Catia重構(gòu)的齒面整體誤差均值為2.62 μm,標準差為0.795 μm,齒長方向誤差為3.29 μm,齒高方向誤差為1.95 μm,表明在Catia軟件中進行的曲面擬合,擬合誤差在齒長方向更為敏感;利用Spline進行直接均布插值重構(gòu)的齒面整體誤差均值為1.94 μm,標準差為0.549 μm,齒長方向誤差為1.76 μm,齒高方向誤差為2.12 μm,表明通過直接插值法進行的曲面擬合,擬合誤差在齒高方向更為敏感;基于權(quán)重控制重構(gòu)的齒面整體誤差均值為0.79 μm,標準差為0.083 μm,齒長方向誤差為0.76μm,齒高方向誤差為0.82 μm,表明根據(jù)控制頂點權(quán)重系數(shù)自適應(yīng)分配插值節(jié)點數(shù)進行的曲面擬合,誤差分布相對比較均勻,齒長方向與齒高方向的擬合誤差敏感度基本一致,相比于另外兩種方法,齒面的重構(gòu)情況得到了較大的改善。

基于有限元法,對比了不同重構(gòu)方式下的齒面瞬時接觸斑點,發(fā)現(xiàn)經(jīng)Catia重構(gòu)的齒面上接觸斑點存在歧義,其原因在于齒面誤差的隨機性;通過Spline直接插值擬合的齒面上有偏向齒根側(cè)接觸斑點,是由于齒長方向的“過擬合”而導致偏齒根處的齒面誤差偏大所造成;而基于權(quán)重控制的重構(gòu)齒面上的瞬時接觸斑點具有唯一性,為技術(shù)人員觀察有限元結(jié)果來反調(diào)加工參數(shù)或齒面修形提供正確指導。