鄒 圓,楊道理,王立威

1.重慶工商大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,重慶 400067 2.重慶工商大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院,重慶 400067 3.六盤水師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院,貴州 六盤水 553004

1 引 言

多屬性群決策指多人共同參與決策分析,在各屬性下對(duì)方案進(jìn)行評(píng)估,通過(guò)將不同決策者提供的帶有各自偏好的決策信息進(jìn)行集結(jié),據(jù)此對(duì)備選方案排序并選優(yōu)的過(guò)程[1]。由于經(jīng)濟(jì)社會(huì)等領(lǐng)域中現(xiàn)實(shí)決策問(wèn)題的復(fù)雜性、人們自身知識(shí)的有限性及認(rèn)識(shí)事物的局限性,專家們往往難以給出精確的評(píng)估值而使決策問(wèn)題通常帶有不確定特征。Gau等[2]于1993年首次提出Vague集概念,其特點(diǎn)在于同時(shí)包含了支持隸屬度、反對(duì)隸屬度和未知度3方面信息;Mishra等[3]認(rèn)為相比于單一隸屬度的Zadeh模糊集,Vague集對(duì)事物的刻畫更為細(xì)膩,可視為Zadeh模糊集概念的推廣。以Vague值表征的專家評(píng)價(jià)信息可很好契合人類思維“亦此亦彼、非此非彼”的模糊特性,因而引起了研究者們的極大關(guān)注并在不確定多屬性群決策問(wèn)題中獲得了廣泛的應(yīng)用[4-6]。

對(duì)Vague多屬性群決策的現(xiàn)有研究主要聚焦于兩個(gè)方面:一是方案排序及選優(yōu)。Liu[7]、Zhou[8]、 Gao[9]等將TOPSIS方法引入Vague集,通過(guò)算出各備選方案與正負(fù)理想解之間的差距以對(duì)方案進(jìn)行排序;Wang[10]、 Guo[11]、 Lin[12]、 許昌林等[13]各自定義Vague集記分函數(shù),將Vague值轉(zhuǎn)化為精確數(shù),從而計(jì)算各方案的得分,分?jǐn)?shù)越高表示方案越優(yōu);Gui[14]提出了基于Vague集的灰色關(guān)聯(lián)分析排序方法。二是個(gè)體決策信息集結(jié)到群體判斷。一些學(xué)者通過(guò)定義Vague集的基本運(yùn)算諸如實(shí)數(shù)與Vague值乘積[15]、Vague值間的交并運(yùn)算[16]、Vague值間的乘積[17]、Vague集間的相似度[18]等將評(píng)價(jià)信息集結(jié),獲得方案的最終評(píng)價(jià)值。上述操作均未涉及Vague集未知度的合理分配,融合結(jié)果存在不同程度的偏差。Wang[19]將Vague值轉(zhuǎn)化為Fuzzy值后進(jìn)行信息融合以篩選方案,但在轉(zhuǎn)換時(shí)易造成信息損失。后續(xù),Wang等[20]定義了Vague集的極小和極大信心度,并利用線性規(guī)劃模型求出群體最優(yōu)綜合信心度,以此作為唯一依據(jù)進(jìn)行決策,其缺陷在于未考慮其他影響因素。鑒于傳統(tǒng)方法對(duì)Vague 信息集結(jié)時(shí)未知度分配不合理以及將Vague信息轉(zhuǎn)化為其他類型信息處理所導(dǎo)致的信息損失問(wèn)題,崔春生等[21]提出了基于證據(jù)理論的Vague多屬性群決策方法。證據(jù)理論作為一種被廣泛運(yùn)用的不確定信息處理方法,在信息融合中不需要先驗(yàn)概率[22],且在證據(jù)合成過(guò)程中可對(duì)未知度進(jìn)行重新分配,在不確定信息的表達(dá)與融合上具有優(yōu)勢(shì),有效地解決了 Vague多屬性群決策的信息集結(jié)難題。

通過(guò)對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究梳理發(fā)現(xiàn),學(xué)者們往往關(guān)注Vague信息轉(zhuǎn)化和信息集結(jié),較少探討Vague多屬性群決策問(wèn)題中的專家評(píng)分可信度獲取規(guī)則,通常是直接先驗(yàn)給定可信度點(diǎn)值,這缺乏客觀依據(jù),也未考慮專家在不同屬性下評(píng)分可信度的差異,影響評(píng)價(jià)結(jié)果的內(nèi)在一致性。模糊熵是對(duì)Vague信息模糊不確定性的客觀度量,熵值越大,表示模糊不確定性越高,專家評(píng)價(jià)信息的可信度越低,可用來(lái)客觀反映專家在決策中的評(píng)分可信性。本文在前人工作的基礎(chǔ)上,將模糊熵的思想引入Vague決策環(huán)境中,結(jié)合證據(jù)理論和Vague集記分函數(shù),提出了一種新的完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的Vague多屬性群決策方法。該方法基于專家群體的原始評(píng)價(jià)信息,利用模糊熵獲取各專家在不同屬性下的評(píng)分可信度,從而構(gòu)建起專家評(píng)價(jià)信息與其可信度之間的一一映射關(guān)系,降低了由于可信度賦值的主觀性對(duì)最終決策結(jié)果產(chǎn)生的影響。引入證據(jù)理論來(lái)解決Vague多屬性群決策的信息集結(jié)問(wèn)題,以及利用記分函數(shù)進(jìn)行Vague值轉(zhuǎn)化及排序,最后以一個(gè)決策實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

2 問(wèn)題描述及方法基礎(chǔ)

2.1 問(wèn)題描述

(1)

考慮各屬性對(duì)決策方案的重要性,假定專家ek對(duì)屬性Cj給出的Vague權(quán)重值為wkj,其中wkj=[tkj,1-fkj],tkj,fkj,πkj=(1-fkj)-tkj分別表示重要度、不重要度與對(duì)屬性影響的未知度,則可構(gòu)建屬性權(quán)重矩陣W為

(2)

基于專家評(píng)分可信度、決策矩陣與屬性權(quán)重矩陣對(duì)各方案進(jìn)行集成評(píng)價(jià),最終篩選出最優(yōu)決策方案。本文主要解決的問(wèn)題在于:傳統(tǒng)方法一般事先給定專家評(píng)分可信度,往往帶有一定的主觀性,且對(duì)所有屬性均相同,缺乏客觀依據(jù)與針對(duì)性,并影響方案的最終評(píng)價(jià)結(jié)果。而本質(zhì)上造成專家評(píng)分可信度不一的來(lái)源在于其在Vague決策過(guò)程中的未知性、不確定性與模糊性。模糊熵作為上述特征的度量工具,可據(jù)此來(lái)計(jì)算評(píng)分可信度。首先,通過(guò)計(jì)算各專家Vague決策矩陣中的模糊熵獲得其在各屬性上的評(píng)分可信度;其次,基于D-S證據(jù)理論對(duì)各專家關(guān)于每一個(gè)方案的Vague評(píng)價(jià)值進(jìn)行信息集結(jié);再次,確定各屬性權(quán)重并計(jì)算決策方案的最終評(píng)價(jià)值;最后根據(jù)評(píng)價(jià)值進(jìn)行方案的排序與擇優(yōu)。

2.2 Vague集模糊熵

Vague集的模糊熵通常被用來(lái)度量Vague集的未知性、不確定性以及二者交叉時(shí)形成的模糊性。其公理化要求為[23]

定義1 假設(shè)A是論域U上的一個(gè)Vague集,記為A(x)=[tA(x),1-fA(x)],其中tA(x),fA(x)及πA(x)=1-tA(x)-fA(x)分別為x在A中的支持度、反對(duì)度和未知度。稱函數(shù)VE:U→[0,1]為Vague集A的模糊熵,若其滿足如下條件:

(1)VE(A)=0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x∈U,A(x)=[0,0]或[1,1];

(2)VE(A)=1當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x∈U,tA(x)=fA(x);

(4) 若Ac是A的補(bǔ)集,Ac(x)=[fA(x),1-tA(x)],則VE(A)=VE(Ac)。

基于上述公理化定義,楊永偉[23]、范平[24]等分別獨(dú)立提出了Vague 集上模糊熵的具體計(jì)算公式。

定義2 設(shè)論域U={x1,x2,…,xn},A是U上的一個(gè)Vague集,A(x)=[tA(x),1-fA(x)]。

(1-yA(xi))log2(1-yA(xi))]

(3)

(2) 令πA(xi)=1-tA(xi)-fA(xi),Vague集A的模糊熵定義為[24]

(4)

上述關(guān)于模糊熵的兩個(gè)計(jì)算公式均體現(xiàn)了Vague信息的未知度、不確定度及二者交叉的模糊度。當(dāng)A變成Fuzzy集時(shí),前者退化成Fuzzy集上的模糊熵,因而與Fuzzy集上的模糊熵定義相容;后者按照Vague集模糊熵的度量來(lái)源直接表示,其測(cè)算過(guò)程符合人們直覺(jué)。

2.3 D-S證據(jù)理論

D-S證據(jù)理論通過(guò)定義信任函數(shù),并以Dempster合成規(guī)則為核心來(lái)綜合不同數(shù)據(jù)源或?qū)＜胰后w的數(shù)據(jù)或知識(shí),勿需先驗(yàn)概率信息,在證據(jù)合成過(guò)程中可對(duì)未知度進(jìn)行重新分配,表征和融合不確定性信息更為有效直觀。在信息融合方面的突出優(yōu)勢(shì)使其在專家系統(tǒng)、情報(bào)分析、多屬性決策分析等領(lǐng)域均獲得了廣泛應(yīng)用。D-S 證據(jù)理論的相關(guān)基本概念定義如下:

定義4 在識(shí)別框架Θ上,假定基本概率分配函數(shù)m:2Θ→[0,1],有

定義5 對(duì)于?A?Θ,定義識(shí)別框架Θ上的有限個(gè)mass函數(shù)m1,m2,…,mk,焦元(證據(jù))分別為A1,A2,…,Ak,則Dempster證據(jù)合成規(guī)則為

m(A)=(m1⊕m2⊕…⊕mk)(A)=

(5)

3 模型設(shè)計(jì)

3.1 評(píng)價(jià)信息處理

專家評(píng)分可信度受制于其在對(duì)目標(biāo)方案的Vague決策中表現(xiàn)出來(lái)的未知性、不確定性及二者兼具時(shí)的模糊性影響,可由模糊熵來(lái)客觀度量。

(6)

(7)

(3) 屬性權(quán)重計(jì)算。通常采用記分函數(shù)表示決策方案對(duì)決策者要求的滿足程度。對(duì)于方案Ai,根據(jù)評(píng)價(jià)函數(shù)E,獲得Ai的Vague評(píng)價(jià)值E(Ai)=[tAi,1-fAi],將記分函數(shù)定義如下:

(8)

基于上述記分函數(shù)計(jì)算屬性權(quán)重矩陣W中Vague權(quán)重的得分,獲得屬性權(quán)重得分矩陣:

(9)

結(jié)合考慮專家的評(píng)分可信度,在各個(gè)屬性上將所有專家的意見(jiàn)進(jìn)行加權(quán)綜合,計(jì)算出各個(gè)屬性的綜合權(quán)重值,并構(gòu)建屬性綜合權(quán)重序列W*:

(10)

3.2 決策矩陣證據(jù)信息集結(jié)

在Vague多屬性群決策中,對(duì)于每個(gè)決策方案,在各屬性下均有多位專家給出的Vague值評(píng)價(jià)信息,利用證據(jù)理論將各專家經(jīng)修正后的Vague評(píng)價(jià)值進(jìn)行信息集結(jié),獲得每個(gè)方案在各屬性下的綜合Vague評(píng)價(jià)值。其流程如下:

(11)

其中,dij=[tij,1-fij],并滿足:

(12)

(13)

(14)

3.3 確定最優(yōu)決策方案

3.4 算法步驟

根據(jù)上述分析,給出基于Vague集模糊熵和D-S證據(jù)理論的多屬性群決策方法。具體步驟如下:

步驟1 將各專家給出的方案的屬性評(píng)價(jià)值以及屬性權(quán)重值用Vague值表示,構(gòu)建決策矩陣與屬性權(quán)重矩陣。

步驟2 根據(jù)決策矩陣計(jì)算各專家在各屬性下的Vague集模糊熵,得到每位專家的評(píng)分可信度序列,并以此修正各專家的決策矩陣。

步驟3 針對(duì)每個(gè)方案,利用證據(jù)合成式(12)—式(14),對(duì)各專家在各屬性下經(jīng)修正后的每一方案Vague評(píng)價(jià)值進(jìn)行信息集結(jié),相應(yīng)構(gòu)建得到專家群體決策矩陣。

步驟4 針對(duì)屬性權(quán)重矩陣,使用記分函數(shù)式(8)計(jì)算屬性權(quán)重得分矩陣,并利用各專家的評(píng)分可信度序列進(jìn)行調(diào)整,獲得屬性綜合權(quán)重序列。

步驟5 基于專家群體決策矩陣與屬性綜合權(quán)重序列,計(jì)算各方案的加權(quán)平均Vague評(píng)價(jià)值,再利用記分函數(shù)式(8)算出各方案的綜合得分。其值越大,所對(duì)應(yīng)的決策方案越優(yōu)。

綜上所述,進(jìn)行多屬性群決策的具體流程如圖1所示。

圖1 Vague值多屬性群決策算法流程圖Fig.1 The algorithm flow chart of Vague valued multi-attribute group decision making

4 算例分析

為了解釋上述算法,并與崔春生等[21]提出的基于證據(jù)理論與Vague集的多屬性群決策方法進(jìn)行比較分析,本文繼續(xù)沿用崔春生等[21]文中的案例,假設(shè)方案集為A={A1,A2,A3},方案評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)為屬性集C={C1,C2,C3,C4},3位專家記為e1、e2、e3,基于各屬性分別對(duì)各個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。

步驟1 專家e1、e2、e3考慮各屬性后對(duì)各決策方案進(jìn)行Vague評(píng)價(jià),構(gòu)建原始決策矩陣D1、D2、D3分別為

專家e1、e2、e3設(shè)定各屬性的權(quán)重,構(gòu)建屬性權(quán)重矩陣W為

步驟2 根據(jù)各專家決策矩陣,運(yùn)用Vague集模糊熵式(3),計(jì)算各專家的評(píng)分可信度序列,得到可信度矩陣r為

5 結(jié)束語(yǔ)

探討了Vague集信息下的多屬性群決策問(wèn)題,提出了一種基于Vague集模糊熵和D-S證據(jù)理論的多屬性群決策方法。主要工作及特點(diǎn)包括:根據(jù)專家在考慮各屬性下對(duì)各方案的Vague評(píng)價(jià),運(yùn)用模糊熵值確定各專家的評(píng)分可信度序列,彌補(bǔ)了傳統(tǒng)方法對(duì)可信度主觀統(tǒng)一設(shè)定上的不足,其由具體數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng),并隨具體決策問(wèn)題不同而不同,因而更具客觀性與靈活性,其評(píng)價(jià)結(jié)果也能保持內(nèi)在一致性;利用專家可信度序列修正原始評(píng)價(jià)信息,分別運(yùn)用Vague記分函數(shù)與專家可信度序列計(jì)算出各屬性的綜合權(quán)重值,使之更貼合實(shí)際;結(jié)合Vague集模糊熵在刻畫模糊不確定性上的優(yōu)勢(shì)以及D-S證據(jù)理論在信息融合上的優(yōu)勢(shì),運(yùn)用證據(jù)合成公式將各位專家在屬性集下每個(gè)方案的Vague評(píng)價(jià)值進(jìn)行信息集結(jié),并經(jīng)屬性綜合權(quán)重的加權(quán)與記分函數(shù)計(jì)算得分后,獲得各個(gè)方案的最終評(píng)分。本文提出的多屬性群決策方法可以進(jìn)行程式化設(shè)計(jì),具有較強(qiáng)的可操作性,易于實(shí)踐。

本文是基于崔春生等[21]一文基礎(chǔ)上的后續(xù)研究,所提出的方法在該文基礎(chǔ)上有兩個(gè)改進(jìn):一是以Vague集模糊熵為依據(jù)來(lái)獲得專家的評(píng)分可信度,摒棄了主觀設(shè)定的傳統(tǒng)思路;二是僅對(duì)專家評(píng)價(jià)證據(jù)進(jìn)行信息集結(jié),減少了對(duì)屬性集證據(jù)信息的二次集結(jié),原因在于證據(jù)合成次數(shù)較多,尤其是存在高沖突的證據(jù)時(shí),易造成信息失真,產(chǎn)生與直覺(jué)相悖的結(jié)果。通過(guò)算例驗(yàn)證了提出的多屬性群決策方法的合理性和實(shí)用性。如何降低Vague證據(jù)信息合成中可能存在的高沖突性以拓寬應(yīng)用場(chǎng)景,以及如何在專家的方案評(píng)價(jià)信息或?qū)傩詸?quán)重信息存在部分缺失情況下進(jìn)行群決策有待后續(xù)進(jìn)一步的研究。