唐 云,唐朝君,魏正元

重慶理工大學(xué) 理學(xué)院,重慶 400054

1 引 言

近年來(lái),由于多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制在各方面都有應(yīng)用,已逐漸引起許多學(xué)者的關(guān)注。協(xié)同控制在機(jī)器人協(xié)作、傳感器網(wǎng)絡(luò)、和軍事領(lǐng)域等方面都有體現(xiàn)[1-3],多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制的目的是分析和設(shè)計(jì)一種控制協(xié)議,使得智能體之間通過(guò)相互協(xié)作能夠高效率和快速地完成單個(gè)智能體所不能完成的目標(biāo),這一問(wèn)題通常被稱之為一致性問(wèn)題。關(guān)于一致性問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了許多的成果如文獻(xiàn)[4-9]。

關(guān)于多智能體系統(tǒng)的一致性控制策略,許多學(xué)者提出了不同的設(shè)計(jì)方法,早期一種連續(xù)控制策略的方法被提出[10],連續(xù)控制策略是建立在每個(gè)智能體的資源充足,可以連續(xù)的交換信息之上,但是在實(shí)際的應(yīng)用中,智能體自身的資源是并不是無(wú)限的,而且連續(xù)控制策略會(huì)加大智能體的通信負(fù)擔(dān)和控制器的更新頻次,降低了智能體的工作時(shí)長(zhǎng),所以在控制過(guò)程中就造成了許多資源的浪費(fèi)。為了減少在系統(tǒng)控制過(guò)程中資源浪費(fèi)的問(wèn)題,文獻(xiàn)[11]提出了一種周期采樣控制,在相同的時(shí)間間隔,所有的控制器統(tǒng)一更新,這種控制方法在一定程度上降低了資源損耗,但是依然存在資源浪費(fèi)的現(xiàn)象。為了解決這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[12]就提出了一種基于事件觸發(fā)控制的控制策略,即當(dāng)前采樣的測(cè)量值是否滿足預(yù)先設(shè)定的事件觸發(fā)函數(shù),若滿足事件觸發(fā)函數(shù),則控制器才會(huì)更新其狀態(tài)值,反之亦然。所以可以明顯的觀察出相較于傳統(tǒng)的采樣控制,事件觸發(fā)的控制協(xié)議,能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,同時(shí)使得控制器不在連續(xù)更新?tīng)顟B(tài),只在離散時(shí)刻處觸發(fā),有效地實(shí)現(xiàn)節(jié)約資源.當(dāng)前關(guān)于事件觸發(fā)控制協(xié)議在一致性問(wèn)題的研究中都有體現(xiàn)如文獻(xiàn)[13-17]。文獻(xiàn)[13,14]討論了無(wú)向拓?fù)湎乱浑A多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,提出了事件觸發(fā)控制策略,在這種控制策略下,資源浪費(fèi)的問(wèn)題被有效地解決,但系統(tǒng)是建立在無(wú)向拓?fù)渖?沒(méi)有考慮現(xiàn)實(shí)中智能體的信息傳輸是有方向的,因此對(duì)有向拓?fù)涞挠懻撌怯幸饬x的。文獻(xiàn)[15]討論了領(lǐng)導(dǎo)跟隨事件觸發(fā)多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,在事件觸發(fā)控制策略下保證了跟隨者漸進(jìn)收斂到領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)。文獻(xiàn)[16,17]中Dimarogonas和Johansson利用無(wú)向拓?fù)涞奶匦?設(shè)計(jì)事件觸發(fā)控制協(xié)議,解決了多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題,控制器是否觸發(fā)取決于是否滿足觸發(fā)條件(測(cè)量誤差相對(duì)于狀態(tài)函數(shù)范數(shù)的比值)但系統(tǒng)并沒(méi)有考慮非線性,為設(shè)計(jì)更貼近于生活的系統(tǒng),非線性系統(tǒng)的研究是有必要的。

基于以上原因的分析,在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了更一般的系統(tǒng),研究了無(wú)領(lǐng)導(dǎo)事件觸發(fā)一致性,不同之處主要有兩點(diǎn):第一,在許多網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,智能體的信息交流是既有方向又有權(quán)重,設(shè)計(jì)的智能體的通信拓?fù)鋱D是加權(quán)有向圖。第二,在現(xiàn)實(shí)生活中大多數(shù)物理系統(tǒng)都是非線性的[18],為了使系統(tǒng)更具有一般性,設(shè)計(jì)的系統(tǒng)是非線性的,同時(shí)上述的文獻(xiàn)的控制協(xié)議與設(shè)計(jì)的控制協(xié)議也不一樣,控制協(xié)議更具有一般性。

2 預(yù)備知識(shí)和問(wèn)題描述

2.1 預(yù)備知識(shí)

用三元組G=(V,E,A)表示智能體之間通信拓?fù)鋱D,其中V={v1,v2,…vn}表示頂點(diǎn)集,vi表示第i個(gè)智能體;E?V×V表示有向圖G的邊集;A=[aij]∈Rn×n表示有向圖G的鄰接矩陣。圖G是強(qiáng)連通的,如果滿足圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條有向路徑。設(shè)Ni={vj∈V|(vj,vi)∈E}表示頂點(diǎn)i的鄰居集。令加權(quán)有向圖G的Laplacian矩陣為L(zhǎng)=[lij]∈RN×N其元素lij滿足以下定義:

若存在頂點(diǎn)序列vi1,vi2,…vim其中(vij,vij+1)∈V則稱從頂點(diǎn)vi1到頂點(diǎn)vim有一條有向路徑。如果有向圖中存在一個(gè)根節(jié)點(diǎn),具有到其他所有節(jié)點(diǎn)的有向路徑,則稱該圖包含一棵有向生成樹(shù)。

引理1[19]設(shè)圖G是強(qiáng)連通的,則存在ξ=(ξ1,ξ2,…,ξN)T使得ξTL=0,其中ξi>0,i=1,2,…,N且

引理3[21]零是有向圖G的Laplacian矩陣L的特征值,1=(1,1,…,1)T∈Rn是其對(duì)應(yīng)的右特征向量,其他非零特征值均具有正實(shí)部,如果有向圖G包含一個(gè)有向生成樹(shù),則0是L的簡(jiǎn)單特征值。

2.2 問(wèn)題描述

考慮由N個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng),設(shè)第i個(gè)智能體的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以表示為

(1)

其中,xi(t)∈R表示智能體i的狀態(tài),ui(t)∈R是智能體i的控制輸入,f(xi(t),t):R×R→R表示智能體i的非線性連續(xù)函數(shù)。

假設(shè)1假定系統(tǒng)式(1)的非線性函數(shù)f(xi(t),t):R×R→R,存在l∈(0,+∞)滿足:

|f(x,t)-f(y,t)|≤l|x-y|

(2)

定義1 對(duì)于智能體的任何初始狀態(tài)xi(0)(i=1,2,…,N),利用控制輸入ui(t),使得所有智能體i滿足:

則稱系統(tǒng)式(1)實(shí)現(xiàn)一致性。

證明：顯然FTLTLF是對(duì)稱矩陣,則對(duì)于任意的向量δ,有δTFTLTLFδ≥0。

只需要證明:δTFTLTLFδ=0可以推出δ=0。

3 主要結(jié)果

3.1 集中式事件觸發(fā)的一致性

首先研究如下的控制協(xié)議:

(3)

其中,ts表示智能體的第s次觸發(fā)時(shí)刻。

定義第i個(gè)智能體的狀態(tài)測(cè)量誤差為

(4)

u(t)=-e(t)-αy(t)t∈[ts,ts+1)

(5)

由式(1)和式(5)可以得到:

(6)

其中:f(x(t),t)=(f(x1(t),t),…,f(xN(t),t))T

則:

(7)

定理1：對(duì)于多智能體系統(tǒng)式(1),假設(shè)有向圖G是強(qiáng)連通的,控制增益滿足:

(8)

限定觸發(fā)條件滿足:

(9)

ξmax=max{ξ1,ξ2,…,ξN},i=1,2,…N

在控制協(xié)議式(3)下,系統(tǒng)式(1)可以達(dá)到一致。

證明：對(duì)系統(tǒng)式(1)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(10)

對(duì)V(t)求導(dǎo)得:

(11)

由(7)式可以得:

‖y(t)‖‖M‖‖L‖‖e(t)‖+

yT(t)MLf(x(t),t)

(12)

令,H=yT(t)MLf(x(t),t)。

則:

H=yT(t)ML[f(x(t),t)-f(x1(t),t)1N]=

(13)

由假設(shè)1可知:

(14)

由式(12)和式(14),就可以得到:

‖y(t)‖‖M‖‖L‖‖e(t)‖+

(15)

‖y(t)‖‖M‖‖L‖‖e(t)‖+

‖y(t)‖‖M‖‖L‖‖e(t)‖

(16)

根據(jù)式(9),得到

(17)

(18)

(19)

由假設(shè)1和定理1的證明過(guò)程可得:

(20)

因?yàn)?/p>

(21)

(22)

定理得證。

注:在控制協(xié)議式(3)中,假設(shè)系統(tǒng)中的智能體具有相同的觸發(fā)時(shí)刻,觸發(fā)時(shí)刻的計(jì)算需要用到全局信息,因此控制協(xié)議式(3)是集中式的控制協(xié)議。

3.2 分布式觸發(fā)一致性

設(shè)第i個(gè)智能體的狀態(tài)測(cè)量偏差為

(23)

(24)

證明：對(duì)系統(tǒng)式(1)構(gòu)造Lyapunov函數(shù):

(25)

對(duì)V(t)求導(dǎo)得:

(26)

由式(7)可以得:

|yT(t)MLe(t)|

(27)

令Q=yT(t)MLe(t),則可以得到:

(28)

根據(jù)定理1,式(27)和式(28)可得:

(29)

(30)

(31)

其余的證明和定理3類似,再結(jié)合式(24),可以解出:

定理得證。

4 仿真分析

考慮含有4個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng),系統(tǒng)通信拓?fù)鋵?duì)應(yīng)的Laplacian矩陣如下:

設(shè)非線性函數(shù)f(xi(t))=sin(xi(t)),4個(gè)智能體的初始狀態(tài)隨機(jī)的選取為:x1(0)=-3,x2(0)=-2,x3(0)=1,x4(0)=2。

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到λ*=λmin(FTLTLF)=0.585 8,取l=1,M=diag{1,1,1,1},經(jīng)過(guò)計(jì)算分析取α=30。

對(duì)于集中式的控制協(xié)議式(3),選取參數(shù)α=30,σ=0.5時(shí),圖1給出智能體的狀態(tài)軌跡,圖2給出了系統(tǒng)的狀態(tài)誤差隨時(shí)間的變化,明顯看出所有智能體只在特定的時(shí)刻才能觸發(fā)。

圖1 集中式事件觸發(fā)機(jī)制下系統(tǒng)的軌跡Fig. 1 The trajectory of the system under centralized event-triggering mechanism

圖2 集中式事件觸發(fā)機(jī)制下系統(tǒng)狀態(tài)誤差變化Fig. 2 Changes of system state errors under centralizedevent-triggering mechanism

對(duì)于分布式事件觸發(fā)式(2)中,參數(shù)的值分別取為:α=30,σ1=0.5;σ2=0.5;σ3=0.5;σ4=0.5;智能體的狀態(tài)軌跡如圖3所示,為了方便描述系統(tǒng)誤差狀態(tài)變化選取智能體3的圖像,如圖4所示。

圖3 分布式事件觸發(fā)機(jī)制下系統(tǒng)的軌跡Fig. 3 The trajectory of the system under the distributedevent-triggering mechanism

圖4 分布式事件觸發(fā)下智能體3的狀態(tài)誤差變化Fig. 4 Changes of state errors of Agent 3 triggered by distributed events

可以看出系統(tǒng)式(1)在兩種協(xié)議下,都能實(shí)現(xiàn)一致性。

5 結(jié)論與討論

研究了有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎?基于事件觸發(fā)的非線性動(dòng)態(tài)的多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題?？紤]到系統(tǒng)自身和網(wǎng)絡(luò)寬帶的資源是有限的,為了有效利用資源,降低系統(tǒng)控制過(guò)程中的資源消耗問(wèn)題,提出事件觸發(fā)控制協(xié)議,設(shè)置了兩種不同的一致性控制協(xié)議,假設(shè)智能體的通信拓?fù)涫菑?qiáng)連通的,設(shè)計(jì)一種集中式的控制協(xié)議,即系統(tǒng)中的每個(gè)智能體都具有相同的觸發(fā)時(shí)刻,控制器不在連續(xù)的更新?tīng)顟B(tài),只在離散時(shí)刻更新?tīng)顟B(tài),利用矩陣?yán)碚摵痛鷶?shù)圖論等相關(guān)知識(shí),得出系統(tǒng)在集中式控制協(xié)議下實(shí)現(xiàn)一致性的充分條件。其次討論分布式控制協(xié)議,即智能體只需要利用鄰居智能體和自身的信息,將集中式的結(jié)論推廣到分布式的一致性協(xié)議上,得出在分布式協(xié)議下系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)一致性,最后通過(guò)數(shù)值仿真,也驗(yàn)證了所提理論的正確性。

下一步工作就是在此基礎(chǔ)之上討論動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)的一致性問(wèn)題,即觸發(fā)條件不僅可以利用當(dāng)前智能體的狀態(tài)和測(cè)量偏差的狀態(tài),還與智能體觸發(fā)前的智能體狀態(tài)建立聯(lián)系,使得設(shè)計(jì)的觸發(fā)條件更加精確。其次考慮智能體之間不僅有協(xié)作還有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系,即討論二分一致性問(wèn)題,使所構(gòu)建系統(tǒng)更加貼近生活實(shí)際,最后,再進(jìn)一步考慮高階多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。