錢 貝,周紹磊,肖支才,閆 實,祁亞輝,許 強

(1.海軍航空大學(xué), 山東 煙臺 264000;2.中國人民解放軍91184部隊, 山東 青島 26600)

0 引言

近年來隨著無人機技術(shù)飛速發(fā)展,無人機以及無人機編隊在眾多領(lǐng)域受到越來越廣泛的應(yīng)用。尤其是無人機編隊,在各種不同的場景中能夠遂行各種不同的任務(wù),且具有高效率、高容錯率、高置信度等顯著優(yōu)勢,因而對其的理論研究和實踐應(yīng)用就具有很重要的意義[1-3]。隨著理論的發(fā)展,用于研究多智能體系統(tǒng)(multi-agent system,MAS)的一致性理論在無人機編隊相關(guān)研究中逐漸受到更多的關(guān)注和應(yīng)用。文獻[4]研究了一種基于多變量自適應(yīng)控制的無人機編隊一致性飛行方式,考慮了參數(shù)不確定性和外部干擾。文獻[5]在一致性方法中引入人工勢場,以解決系統(tǒng)內(nèi)無人機之間和無人機與外部障礙物之間的避障問題。文獻[6]運用級聯(lián)系統(tǒng)理論和輸入約束一致性算法,以解決多無人機系統(tǒng)的編隊控制問題。一致性理論為解決編隊控制問題提供了新思路,而在這個過程中一致性理論也得到了促進和發(fā)展。

在實際工程應(yīng)用中,任何系統(tǒng)都不可能是一個完全理想的系統(tǒng),而通信時延在一個多無人機系統(tǒng)中是一個不可避免的問題。在MAS一致性問題中,也有許多與通信時延相關(guān)的研究。文獻[7]針對具有通信時延的二階多智能體的動態(tài)一致性問題,在常規(guī)的異步耦合一致性算法中加入了時延補償部分。但在系統(tǒng)內(nèi)多智能體數(shù)量較大時,其算法的解算復(fù)雜度較大,對于編隊的實時控制還不夠理想。文獻[8]研究了含單一領(lǐng)導(dǎo)者的多無人機系統(tǒng)存在通信時延時的編隊控制問題。但其考慮的是固定通信時延,與實際情況仍有一定差距。文獻[9]研究了多無人機系統(tǒng)在有向通信拓撲和存在通信時延條件下的時變編隊控制問題,并能實現(xiàn)在較大通信時延條件下有效控制。但其考慮的也為固定通信時延,同時其結(jié)論在系統(tǒng)內(nèi)無人機數(shù)量較大時也具有較大的計算量。本文著眼于研究時變的通信時延和有向的通信拓撲結(jié)構(gòu),并尋求一種在系統(tǒng)內(nèi)無人機數(shù)量增加對解算難度影響較小的控制方法。

在實際應(yīng)用中,常常會根據(jù)具體任務(wù)分工和通信拓撲關(guān)系,將一個系統(tǒng)中的無人機分為領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者。并根據(jù)一個編隊中是否含領(lǐng)導(dǎo)者,可以將編隊分為含領(lǐng)導(dǎo)者編隊和不含領(lǐng)導(dǎo)者編隊。對于含單一領(lǐng)導(dǎo)者的無人機編隊來說,編隊追蹤控制問題是一類頗具研究價值的問題。編隊追蹤控制要求一個多無人機系統(tǒng)中的領(lǐng)導(dǎo)者能夠追蹤期望軌跡,跟隨者能夠追蹤領(lǐng)導(dǎo)者軌跡并形成期望編隊。在實際工程應(yīng)用中,只需控制或者設(shè)定領(lǐng)導(dǎo)者無人機的期望軌跡,就可以對整個多無人機系統(tǒng)的運動軌跡進行把控,具有較低的控制難度和控制成本。文獻[10]針對固定翼無人機的仿射編隊追蹤問題,提出了一種基于應(yīng)力矩陣的分布式控制律。文獻[11]研究了基于事件觸發(fā)機制的欺騙攻擊下多無人機系統(tǒng)的時變編隊追蹤控制問題。文獻[12]針對固定拓撲和切換拓撲的一般線性多智能體的時變編隊追蹤控制問題,設(shè)計了一種基于自適應(yīng)耦合權(quán)值的Riccati不等式的分布式控制協(xié)議。然而以上文獻均未考慮通信時延。本文在研究多無人機系統(tǒng)的編隊追蹤控制時考慮系統(tǒng)的通信時延,更具一般意義和實際意義。

本文研究的是在時變通信時延條件下,含單一領(lǐng)導(dǎo)者和有向通信拓撲結(jié)構(gòu)的多無人機系統(tǒng)的編隊追蹤控制問題。首先對系統(tǒng)中的無人機建立動力學(xué)模型,并根據(jù)一致性理論設(shè)計領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的控制器。設(shè)置了中間變量將系統(tǒng)進行等價轉(zhuǎn)換,并將原系統(tǒng)的編隊追蹤控制問題轉(zhuǎn)化為低階系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定問題。接著給出能夠利用求解線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)組來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法,并使得解算復(fù)雜度不隨系統(tǒng)內(nèi)無人機數(shù)量的增加而變化,同時通過設(shè)計Lyapunov-Krasovskii函數(shù)給出證明。

1 預(yù)備知識

1.1 圖論知識

假設(shè)在一個多無人機系統(tǒng)中存在N架無人機,并且系統(tǒng)具有有向的通信拓撲結(jié)構(gòu)?？梢杂肎=(V,E,A)表示該系統(tǒng)的通信拓撲圖,其中V={v1,v2,…,vN}表示圖中的節(jié)點集合,E?V×V代表圖中的邊集合,A=[aij]N×N代表該圖的鄰接矩陣。對于鄰接矩陣A有如下定義:若無人機j能夠向無人機i發(fā)送狀態(tài)信息,并能被成功接收到,則在圖G中存在一條以節(jié)點vj為起點,以節(jié)點vi為終點的有向線段,此時A中的元素aij=1,否則aij=0。在圖G中,若存在某個節(jié)點vi,以其為起點,以任意其他節(jié)點為終點,都存在至少一條由有向線段順次連接的路徑,則稱圖G存在一條以節(jié)點vi為根節(jié)點的有向生成樹。并定義D=diag(d1,d2,…,dN)為通信拓撲圖的度矩陣,其中di表示圖中終點為節(jié)點vi的有向線段數(shù)量,也即系統(tǒng)中能夠發(fā)送狀態(tài)信息給無人機i的無人機的數(shù)量。在此基礎(chǔ)上給出通信拓撲圖所對應(yīng)的Laplacian矩陣的定義:L=D-A。由鄰接矩陣和度矩陣的定義易知,對于一個多無人機系統(tǒng)通信拓撲圖所對應(yīng)的Laplacian矩陣,其各行行和均為零。

1.2 相關(guān)引理

引理1[13]:設(shè)L為圖G的Laplacian矩陣,則零必為L的一個特征值,且所有的特征值均具有非負的實部。如果圖G含至少一條有向生成樹,則零為其單特征值,1N為零特征值對應(yīng)的右特征向量,且其余特征值均具有正實部,其中N為L的階數(shù)。

引理2[14]:Schur補定理:設(shè)S=ST為一對稱矩陣,且其一種分塊描述形式為:

1)S<0;

2 問題描述與說明

現(xiàn)對如下的多無人機系統(tǒng)考慮編隊追蹤控制問題:所研究的系統(tǒng)中含N架無人機,同時有且僅有一架無人機為領(lǐng)導(dǎo)者無人機,其余均為跟隨者無人機。領(lǐng)導(dǎo)者需要追蹤期望軌跡,跟隨者需要追蹤領(lǐng)導(dǎo)者軌跡并形成期望編隊。對系統(tǒng)中無人機進行編號,且令領(lǐng)導(dǎo)者無人機編號為1。將系統(tǒng)中各架無人機視為質(zhì)點,其內(nèi)環(huán)的姿態(tài)運動屬于短周期運動,可視為在極短的時間內(nèi)達成一致性,并假設(shè)其在各個維度上的運動相互解耦,故在分析過程中只需考慮任意一個維度的情形,就可把結(jié)論推廣至三維空間。下面建立系統(tǒng)中各架無人機的二階積分動力學(xué)模型,即:

(1)

(2)

特殊地,對于領(lǐng)導(dǎo)者無人機,上述函數(shù)值取零。

定義1:對于一多無人機系統(tǒng),若在任意初始狀態(tài)下,存在函數(shù)r(t)對i=1,2,…,N,都有

(4)

則稱該系統(tǒng)實現(xiàn)了期望編隊h(t)。對于單一領(lǐng)導(dǎo)者多無人機系統(tǒng)的編隊追蹤控制問題,函數(shù)r(t)恰好為領(lǐng)導(dǎo)者期望軌跡函數(shù)。

對本文所研究的系統(tǒng)作如下說明與假設(shè):① 領(lǐng)導(dǎo)者僅向跟隨者發(fā)送狀態(tài)信息,不接收跟隨者的狀態(tài)信息;② 僅有領(lǐng)導(dǎo)者能夠獲取準(zhǔn)確的自身狀態(tài)信息,而跟隨者只能獲取其相對領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)信息;③ 領(lǐng)導(dǎo)者在獲取自身狀態(tài)信息后,能夠在較短時間內(nèi)將信息傳遞給鄰居跟隨者,此時通信時延忽略不計,而鄰居跟隨者之間的信息傳遞都存在不可忽略的時變通信時延。根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的傳遞關(guān)系,可對所研究系統(tǒng)的通信拓撲圖所對應(yīng)的Laplacian矩陣作如下分塊:

(5)

式(5)中,L1為非奇異矩陣,且滿足L11N-1+L2=0(N-1)×1,1N-1為各元素均為1的列向量。

3 控制器設(shè)計

為達成編隊追蹤控制的要求,對本文所研究系統(tǒng)設(shè)計如下一致性控制器為:

(6)

定義系統(tǒng)中無人機實際狀態(tài)與所追蹤狀態(tài)的誤差向量為:

θ1(t)=x1(t)-r(t)

(7)

θi(t)=xi(t)-hi(t)-x1(t),i=2,3,…,N

(8)

將控制器的領(lǐng)導(dǎo)者部分代入系統(tǒng)狀態(tài)方程,可得:

(9)

(10)

將控制器的跟隨者部分代入系統(tǒng)狀態(tài)方程,可得:

(xi(t-τ(t))-hi(t-τ(t))))

i=2,3,…,N

(11)

引入中間變量,有:

(12)

(13)

考慮到L11N-1+L2=0(N-1)×1,則有:

(L1?I2)θ(t)

(14)

(15)

(IN-1?A)θ(t)-(L1?BK2)θ(t-τ(t))

(16)

于是可以得到一個新系統(tǒng)如下:

(17)

當(dāng)系統(tǒng)(17)漸近穩(wěn)定時,可以推導(dǎo)得到:

(18)

符合定義1關(guān)于形成期望編隊的定義(4)。經(jīng)過上述變換,原系統(tǒng)的編隊追蹤控制問題就變?yōu)樾孪到y(tǒng)的漸近穩(wěn)定問題。

下面給出原系統(tǒng)在時變時延條件下能夠?qū)崿F(xiàn)編隊追蹤控制的條件:

(A+BK1)TP1+P1(A+BK1)≤0

(19)

(20)

其中

證明:構(gòu)造領(lǐng)導(dǎo)者部分Lyapunov-Krasovskii函數(shù)VE(t):

(21)

易知VE(t)正定函數(shù)。對其沿系統(tǒng)(10)求導(dǎo),可得:

(22)

下面討論跟隨者部分。

若存在非奇異矩陣U,使得U-1L1U=J,其中矩陣J為矩陣L1的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,則不妨令ζ(t)=(U-1?I2)θ(t),于是有:

(23)

那么對于單架跟隨者無人機,則有:

i=2,3,…,N

(24)

式(24)中,λi為矩陣L1的特征值。

為方便接下來的討論,作以下定義:

2) 對于矩陣X,定義ΛX=diag(X,X)。

考慮到矩陣L1并非對稱矩陣,其特征值虛部可能不為零,于是建立如下的等價系統(tǒng):

i=2,3,…,N

(25)

由Newton-Leibniz公式,有如下關(guān)系式成立,即:

(26)

對于矩陣M1和M2,有:

(27)

同時構(gòu)造如下等式:

(28)

構(gòu)造跟隨者部分的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)VF(t),有:

VF(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

其中

(30)

(31)

(32)

式(30)—式(32)中,矩陣P、Q、R均為對稱正定矩陣。

易知VF(t)為正定函數(shù)。對跟隨者部分VF(t)沿著系統(tǒng)(25)求導(dǎo),則有:

(33)

(34)

(35)

聯(lián)立式(27)、式(28),若令

(36)

(37)

可得:

i=2,3,…,N

(38)

其中

由引理2可知:

(39)

其中

另外,

(40)

由引理3,欲使式(39)和式(40)同時成立,則其充要條件為:

(41)

也等價于

(42)

由于式(42)中含有非線性項,故需進一步處理。若定義:

則可有

不妨令M1=aP,M2=bQ,其中b≠0,此時W可逆,且有:

(43)

(44)

式中,

(W-1)Tdiag(Q,(1-τd)Q)W-1

(45)

式(45)中,ωij的表達式與式(20)中相同。

綜上所述,可以得到在時變通信時延條件下,系統(tǒng)實現(xiàn)編隊追蹤控制的充分條件。在最終得到的線性矩陣不等式組中,并不包含Kronecker乘積項,因此其解算的復(fù)雜度不會因為系統(tǒng)中無人機數(shù)量的增加而增加。在大規(guī)模編隊的飛行任務(wù)中,關(guān)于跟隨者部分只需要求解至多4個線性矩陣不等式,大大減少了解算工作量,這個特點對于無人機編隊的實時控制是十分有利的。

4 仿真結(jié)果與分析

在本節(jié)中對一多無人機系統(tǒng)進行可行性仿真實驗。在該多無人機系統(tǒng)中共有5架無人機,1號無人機為系統(tǒng)中唯一的領(lǐng)導(dǎo)者無人機,其余4架無人機為跟隨者無人機。領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者的設(shè)定符合前文所述的說明與假設(shè)。所研究系統(tǒng)的通信拓撲圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)通信拓撲圖Fig.1 System communication topology graph

由圖1可以得到,其所對應(yīng)的Laplacian矩陣L為:

從而可得矩陣L的分塊L1為:

并在表1中給出系統(tǒng)中各無人機的三維初始狀態(tài)。

表1 無人機三維初始狀態(tài)Table 1 UAV 3D initial states

接下來給定領(lǐng)導(dǎo)者的期望軌跡函數(shù)以及跟隨者的期望編隊向量,即:

(46)

利用Matlab中的LMI工具箱可以對給出的線性矩陣不等式判別條件進行求解。求解式(19),得:

求解(20),可以得到系統(tǒng)的通信時延上界τ=0.26 s,設(shè)定系統(tǒng)的通信時延函數(shù)τ(t)=0.2|sin(2t)|,利用參數(shù)a、b,進而求得:

通過解算出的控制器參數(shù),我們可以對所給系統(tǒng)進行飛行仿真實驗,得到各個無人機在各個時刻的狀態(tài)量。根據(jù)所得的數(shù)據(jù)繪制出15 s內(nèi)系統(tǒng)編隊隊形變化情況。圖2為系統(tǒng)編隊在三維空間中的隊形變化圖。圖3、圖4分別為系統(tǒng)編隊隊形變化的俯視圖、側(cè)視圖。

圖2 系統(tǒng)三維空間隊形Fig.2 System 3D space formation

圖3 編隊隊形變化俯視圖Fig.3 Vertical view of formation transformation

圖4 編隊隊形變化側(cè)視圖Fig.4 End view of formation transformation

在15 s仿真過程中,圖2、圖3、圖4將全過程按時間平均分為8段,并用黑色實線標(biāo)注出了每段過程起止時間的編隊隊形。黑色點劃線和藍色虛線分別表示領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的軌跡。綜合上述圖2—圖4可以發(fā)現(xiàn),在整個仿真過程進行到四分之一時,系統(tǒng)編隊隊形已經(jīng)初具雛形;過程進行到一半時,系統(tǒng)編隊隊形已基本形成。此時4架跟隨者無人機大致形成一個正方形編隊,領(lǐng)導(dǎo)者無人機位于正方形編隊的幾何中心。同時繪制出系統(tǒng)中領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者在3個維度上的控制量變化圖,如圖5所示。由圖5可知,領(lǐng)導(dǎo)者無人機在大約5 s時控制量趨于穩(wěn)定,而領(lǐng)導(dǎo)者無人機也在大約5 s 時開始以正弦規(guī)律波動,兩者基本一致。這說明在大約5 s 時,領(lǐng)導(dǎo)者可以實現(xiàn)追蹤期望軌跡,跟隨者也可以實現(xiàn)追蹤領(lǐng)導(dǎo)者并形成期望隊形。

圖5 系統(tǒng)各無人機控制量Fig.5 The control amount of each UAV in the system

為了更加精確、直觀地呈現(xiàn)系統(tǒng)編隊的生成與保持情況,繪制系統(tǒng)在東北天3個方向上的位置誤差和速度誤差曲線。

圖6為系統(tǒng)的位置誤差曲線。由圖6可以看出,在大約10 s時,系統(tǒng)在東向、北向和高度上已經(jīng)實現(xiàn)了期望狀態(tài)的追蹤,這說明著系統(tǒng)在此時達成一致性,編隊正式形成。

圖6 系統(tǒng)位置誤差Fig.6 System position errors

圖7為系統(tǒng)的速度誤差曲線。由圖7可以看出,在大約7 s時,系統(tǒng)中各無人機大致達到了期望速度。綜合上述仿真圖像,在本文所設(shè)計的控制器作用下,系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)編隊追蹤控制。

圖7 系統(tǒng)速度誤差Fig.7 System velocity errors

為更好地說明上述方法的有效性,采用文獻[17]中的方法對同樣的情境和參數(shù)進行仿真,選取系統(tǒng)在東北天3個方向上的位置誤差進行比較(以2號無人機為例)。比較結(jié)果如圖8所示。其中黑色粗實線代表1號無人機的位置誤差,藍色虛線表示采用文獻[17]方法的2號無人機位置誤差,紅色實線表示采用本文提出方法的2號無人機位置誤差。

圖8 2種控制方法效果比較Fig.8 Comparison of the effect through two control methods

文獻[17]針對無時延條件下多無人機系統(tǒng)的編隊追蹤控制問題設(shè)計了控制器。從圖8可以看出,與其相比,本文所設(shè)計的控制器使得3個方向上的系統(tǒng)位置誤差超調(diào)更小,收斂更快。因而在文中所述的時變時延條件下,本文中所涉及的控制器更具優(yōu)勢。

5 結(jié)論

本文研究了時變通信時延條件下含單一領(lǐng)導(dǎo)者的多無人機系統(tǒng)的編隊追蹤控制問題。針對此問題設(shè)計了一致性控制器,使得系統(tǒng)中的領(lǐng)導(dǎo)者能夠追蹤期望軌跡,跟隨者能夠追蹤領(lǐng)導(dǎo)者并形成期望隊形。同時有以下結(jié)論:

1) 使用Matlab中的LMI工具箱,可以求得系統(tǒng)的時延上界。并且一致性控制器中待定的反饋系數(shù)矩陣也可以通過求解本文所給出的線性矩陣不等式組來確定。

2) 跟隨者對應(yīng)的線性矩陣不等式中不含Kronecker乘積項,這意味著求解線性矩陣不等組的難度不會隨系統(tǒng)中無人機數(shù)量的增加而急劇增大,有利于系統(tǒng)編隊追蹤控制的實時性,為無人機大規(guī)模編隊飛行提供了有益的思路。

3) 本文所研究的系統(tǒng)為有向通信拓撲,所設(shè)定的條件為時變通信時延,相比于無向通信拓撲和固定通信時延更具一般性。且含單一領(lǐng)導(dǎo)者的多無人機系統(tǒng)只需對領(lǐng)導(dǎo)者施加指令即可控制整個編隊的飛行,控制難度和控制成本較低。

本文的研究內(nèi)容為無人機外環(huán)運動的一致性,對于內(nèi)環(huán)的姿態(tài)一致性則沒有闡述。為更緊貼實際,對于姿態(tài)一致性的研究也是以后所需要解決的問題。