■江蘇省無錫市第三高級中學(xué) 孫 磊

高考中不等式選講部分主要考查:不等式的基本性質(zhì),含有絕對值的不等式的解法與證明,不等式的證明方法,以及柯西不等式、排序不等式、算術(shù)—幾何平均不等式的應(yīng)用等,有時也直接滲透必修部分。

一、不等式的求解問題

不等式的求解問題主要涉及含有絕對值的不等式的求解與應(yīng)用,關(guān)鍵就是將含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達(dá)式或利用絕對值不等式的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化,結(jié)合一次不等式、二次不等式及對應(yīng)的不等式組加以求解與應(yīng)用。

例1(2022年廣西桂林市、梧州市高考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷)已知函數(shù)f(x)=

(1)若a=1,求不等式f(x)≤3的解集;

分析：(1)當(dāng)a=1時,根據(jù)絕對值不等式得出函數(shù)f(x)的分段函數(shù)表達(dá)式,再分類討論就能求出不等式f(x)≤3 的解集;(2)根據(jù)條件推導(dǎo)出函數(shù)的表達(dá)式,再對關(guān)于a的不等式分類討論解含絕對值不等式,即可求出a的取值范圍。

綜上可得,a的取值范圍為(3-2 2,1)。

點評:此類問題主要考查絕對值的性質(zhì),含有絕對值不等式的解法,以及分類討論思想、數(shù)學(xué)運算能力等。涉及絕對值不等式的求解問題,關(guān)鍵是充分理解絕對值的幾何意義,并能利用絕對值不等式的幾何意義加以轉(zhuǎn)化,有時也通過函數(shù)、方程的相應(yīng)知識來處理對應(yīng)的不等式問題。

二、不等式的證明問題

不等式的證明問題主要涉及分析法、綜合法與反證法的應(yīng)用,以及絕對值三角不等式、算術(shù)—幾何平均不等式、柯西不等式等重要不等式的應(yīng)用等。

例2(2022 屆陜西省高三下學(xué)期二模預(yù)測數(shù)學(xué)試題)設(shè)x,y,z為正實數(shù),且x+y+z=4。

分析：(1)由已知題設(shè)中的關(guān)系式進(jìn)行恒等變形,進(jìn)而結(jié)合基本不等式加以分析與證明;(2)利用柯西不等式進(jìn)行降冪處理,將二次關(guān)系式轉(zhuǎn)化為一次關(guān)系式的平方問題,進(jìn)而得以證明對應(yīng)的不等式成立。

點評:巧妙利用基本不等式或柯西不等式來合理分析與證明,是不等式證明中最常用的兩類重要不等式?；静坏仁椒ㄊ翘幚黼p變元代數(shù)式的最值、取值范圍或不等式成立等方面最常用的一個技巧方法;柯西不等式法是解決多變元的平方關(guān)系式背景下的最值問題時比較常用的一種技巧方法,關(guān)鍵是合理配湊使得等號成立時相應(yīng)的系數(shù)。

三、不等式的求解與證明的綜合問題

巧妙創(chuàng)設(shè)問題背景,將不等式求解與不等式證明加以綜合,同時實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算與邏輯推理等不同數(shù)學(xué)能力的設(shè)置與應(yīng)用,從更廣闊的視角來設(shè)置問題,全方面、多視角考查同學(xué)們的解題能力。

例3(2022 年貴州省黔東南州高考數(shù)學(xué)一模試卷)已知函數(shù)f(x)=|3x-1|+|3x+3|。

(1)求不等式f(x)≤11的解集;

(2)若a+b=1,證明:f(a)+f(b)≥10。

分析：(1)根據(jù)條件,結(jié)合含有絕對值的函數(shù)關(guān)系式,利用零點分段法加以分類討論,得以求解不等式f(x)≤11;(2)根據(jù)f(a)+f(b)=|3a-1|+|3a+3|+|3b-1|+|3b+3|,利用絕對值三角不等式加以轉(zhuǎn)化,即可證明f(a)+f(b)≥10。

點評:此類試題巧妙將絕對值不等式的求解及絕對值三角不等式的證明加以巧妙融合,將不等式求解與證明加以合理搭配,實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的交匯,以及分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想等的應(yīng)用。

四、不等式的恒成立問題

不等式的恒成立問題往往是涉及含參的函數(shù)或不等式問題,借助不等式恒成立來合理創(chuàng)設(shè),結(jié)合等價轉(zhuǎn)化進(jìn)行恒等變形,進(jìn)而求解函數(shù)的最值、參數(shù)的最值范圍等相關(guān)知識,是知識與能力的進(jìn)一步綜合與應(yīng)用。

例4(2022 屆江西省九江市第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|(a∈R)。

(1)若關(guān)于x的不等式f(x)+f(2-x)≥4恒成立,求a的取值范圍;

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,f(x)+f(y)≤1所圍成的區(qū)域面積為S,若正數(shù)b,c,d滿足(b+d)(c+d)=S,求b+2c+3d的最小值。

分析：(1)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì),通過巧妙變形,使得相應(yīng)的不等式恒成立,進(jìn)而構(gòu)建相應(yīng)的不等式,通過解絕對值不等式,即可求出結(jié)果;(2)根據(jù)題意作出圍成的區(qū)域,平面區(qū)域由一個正方形及其內(nèi)部組成,結(jié)合正方形的邊長來確定關(guān)系式的值,對代數(shù)式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化,并利用基本不等式即可求出結(jié)果。

圖1

點評:此類涉及含有絕對值的函數(shù)的最值及含有絕對值的不等式恒成立問題,關(guān)鍵是通過等價轉(zhuǎn)化,去掉絕對值符號,利用不等式的性質(zhì)或不等式的求解來進(jìn)一步分析與處理。對于不等式恒成立問題的切入就是等價轉(zhuǎn)化,并結(jié)合函數(shù)與方程、不等式的性質(zhì)等來綜合求解。

不等式選講部分的試題難度中等,重點考查代數(shù)運算與邏輯推理等核心素養(yǎng),以及分類討論思想、函數(shù)與方程思想及化歸轉(zhuǎn)化思想等。