張春麗, 田 旭, 嚴(yán) 雷

(西安理工大學(xué) 陜西省復(fù)雜系統(tǒng)控制與智能信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710048)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,飛行器技術(shù)也隨之發(fā)生了很大的變化。飛行器的種類越來越多,性能要求越來越高,使得如今飛行器的控制過程變得越來越復(fù)雜[1-2]。飛行器的非線性控制[3-5]是控制領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn),由于動(dòng)力學(xué)模型存在強(qiáng)耦合和高度非線性的特點(diǎn),使得控制律設(shè)計(jì)具有一定的難度(根據(jù)不同的目標(biāo)和測重點(diǎn))。對(duì)于非線性飛行器控制系統(tǒng),反饋線性化[6-8]是其中一種很常見的方式,并且對(duì)于飛行器航跡角系統(tǒng)的研究,一般采用將飛行器航跡角模型抽象為飛行器縱向模型的方式加以研究[9-11]。

自適應(yīng)控制[12]相較于其他控制方法擁有可以對(duì)帶有不確定項(xiàng)的系統(tǒng)進(jìn)行控制的顯著優(yōu)勢,受到了越來越多學(xué)者們的關(guān)注。針對(duì)飛行器的非線性動(dòng)力學(xué)模型[13]的不匹配、不確定性,由未知外部干擾和未建模動(dòng)力學(xué)組成的相關(guān)的自適應(yīng)方法被陸續(xù)提出。例如,文獻(xiàn)[14]針對(duì)具有強(qiáng)耦合性、高度非線性等特性的高超聲速飛行器控制問題,提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)二階滑?？刂品椒?。文獻(xiàn)[15]研究了參數(shù)不確定性的表示方法,提出了一種針對(duì)高超聲速飛行器姿態(tài)跟蹤的新型魯棒自適應(yīng)控制方法。文獻(xiàn)[16]研究了時(shí)變非對(duì)稱輸出約束下六自由度四旋翼的軌跡跟蹤問題,將自適應(yīng)控制器用于在線估計(jì)外部干擾的上限。上述文獻(xiàn)雖然都不同程度地處理了飛行器非線性動(dòng)力學(xué)模型的不確定性問題,但是都沒有考慮研究對(duì)象在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的高精度軌跡跟蹤控制問題。

迭代學(xué)習(xí)控制[17](Iterative Learning Control, ILC)是上世紀(jì)末興起的由人工智能與自動(dòng)控制相結(jié)合的新的學(xué)習(xí)控制技術(shù),適合處理重復(fù)系統(tǒng)或周期系統(tǒng)的各種不確定。對(duì)于有限時(shí)間控制而言,控制對(duì)象可以看作是周期系統(tǒng),通常情況下將自適應(yīng)控制方法和迭代學(xué)習(xí)方法相結(jié)合來處理非線性不確定系統(tǒng)控制問題[18-21]。文獻(xiàn)[22]針對(duì)同時(shí)具有狀態(tài)和輸入約束的非線性系統(tǒng),提出了一種新的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制(Adaptive Iterative Learning Control,AILC)方案,同時(shí)考慮了時(shí)變參數(shù)不確定性、外部干擾和隨機(jī)初始誤差。文獻(xiàn)[23]考慮了參數(shù)系統(tǒng)的不確定性,研究了具有部分結(jié)構(gòu)信息的連續(xù)時(shí)間參數(shù)非線性系統(tǒng)在迭代變?cè)囼?yàn)長度環(huán)境下的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制問題。文獻(xiàn)[24] 針對(duì)具有不確定非線性死區(qū)輸入和控制方向的系統(tǒng),提出了一種具有Nussbaum函數(shù)的離散時(shí)間自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制。作為一種智能控制策略,自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制能夠很好地處理非線性系統(tǒng)中的不確定問題。

基于上述討論,本文將自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)方法應(yīng)用于飛行器航跡角的有限時(shí)間跟蹤控制問題,來處理飛行器縱向模型中的參數(shù)不確定及外界未知擾動(dòng),通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)迭代更新律估計(jì)系統(tǒng)的不確定性,從而使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)收斂,實(shí)現(xiàn)了飛行器航跡角在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的高精度軌跡跟蹤,最后通過仿真試驗(yàn)證明了所提控制方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

本文將通過輸入理想的飛行器舵面偏角來控制飛行器航跡傾角。僅考慮飛行器在俯仰平面上的運(yùn)動(dòng),飛行器縱向模型如圖1所示。

圖1 飛行器縱向模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of longitudinal model of aircraft

根據(jù)文獻(xiàn)[25],飛行器的簡化模型為:

(1)

式中:γ為飛行器航跡傾角;α為飛行器攻角;θp為飛行器俯仰角;q為俯仰角變化率;VT為飛行速度;m為飛行器質(zhì)量;g為重力加速度;Lα為升力曲線斜率;L0為其他升力的影響因素;Mδ為控制俯仰力矩;M0為其他來源力矩,用M0=Mαα+Mqq來近似代替,Mα和Mq分別為飛行器攻角和俯仰角變化率的控制力矩參數(shù);δ為舵面偏角。在任意時(shí)刻,Lα、L0、Mδ、Mα和Mq都可視為未知常數(shù)。

定義狀態(tài)變量x1,k=γ、x2,k=α、x3,k=q,控制輸入為uk=δ,yk=x1,k為系統(tǒng)的輸出。k為迭代次數(shù),考慮模型的不確定性,得到嚴(yán)格反饋形式下的三角形模型:

(2)

對(duì)模型做如下假設(shè)。

假設(shè)1 航速VT通過某線性控制器會(huì)穩(wěn)定在理想值的一個(gè)很小鄰域內(nèi),被視作一個(gè)常量。

假設(shè)2 所有狀態(tài)變量均可以被解出且可以用于反饋。

假設(shè)3 已知未知參數(shù)有界,即對(duì)i=1,3,存在已知正數(shù)aim、aiM使得aim≤ai≤aiM。

假設(shè)5 存在正實(shí)數(shù)L,使得|L0|≤L,在某一時(shí)刻,M0可被視為已知常數(shù)。

本文的控制目標(biāo):針對(duì)飛行器縱向模型的轉(zhuǎn)化模型式(2),設(shè)計(jì)自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制律uk,使得系統(tǒng)的輸出yk能在有限時(shí)間[0,T]上跟蹤理想軌跡x1d。

2 控制器設(shè)計(jì)

在控制器的設(shè)計(jì)過程中,將用到以下收斂級(jí)數(shù)序列的定義和定理。

定義1[26]收斂級(jí)數(shù)序列{Δk}定義為:

(3)

其中k=1,2,…;a和l是需要設(shè)計(jì)的常參數(shù),滿足a>0∈R,l≥2∈N。

(4)

結(jié)合所得的嚴(yán)格反饋形式下的三角形模型,將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)拆分成三個(gè)子系統(tǒng),對(duì)兩個(gè)虛擬控制量進(jìn)行反演設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)出滿足該系統(tǒng)控制目的的實(shí)際控制律和參數(shù)更新律。

定義三個(gè)實(shí)際軌跡和理想軌跡之間的誤差:

e1,k=yk-yr=x1,k-x1d

(5)

e2,k=x2,k-α1,k

(6)

e3,k=x3,k-α2,k

(7)

對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)并結(jié)合式(2)得到:

(8)

(9)

(10)

設(shè)計(jì)虛擬控制律α1,k、α2,k及實(shí)際控制律uk,分別為:

(11)

(12)

(13)

設(shè)計(jì)參數(shù)更新律:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

其中Γi(i=1,2,3,4,5,6)為可設(shè)計(jì)的正數(shù)。

3 穩(wěn)定性分析

針對(duì)控制器設(shè)計(jì)部分,本文以定理的形式得出以下結(jié)論并進(jìn)行嚴(yán)格證明。

證明:選擇如下李雅普諾夫函數(shù):

(20)

(21)

(22)

對(duì)式(20)求導(dǎo),得:

(23)

將式(11)、式(14)和式(15)代入式(23),得:

(24)

同理,對(duì)式(21)和式(22)求導(dǎo),得:

(25)

(26)

將式(12)、式(16)和式(17)代入式(25),得:

(27)

將式(13)、式(18)和式(19)代入式(26),得:

(28)

其中對(duì)任意r>0,有:

根據(jù)假設(shè)6,有ei,k(0)2=0≤ei,k(T)2,通過式(26),得:

(29)

將式(28)代入式(29),得:

(30)

令V0=

(31)

根據(jù)引理1可得:

(32)

V0(k)有界且

因此

(33)

(34)

4 仿真分析

根據(jù)所設(shè)置的參數(shù)得到初始誤差均為零,且ρ1=0.01、ρ2=0.1、ρ3=0.05。

在滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性的條件下,選擇控制參數(shù):S1,k(0)=0.1、S2,k(0)=-0.1、S3,k(0)=-0.1、A1,k(0)=1.209、c1=1、α1,k(0)=0.901、A3,k(0)=1.4、c2=19、c3=44、Γ1=9.9、Γ2=0.01、Γ3=0.01、Γ4=0.001、Γ5=0.1、Γ6=0.1。

通過虛擬控制律式(11)～(12)、實(shí)際控制律式 (13)、參數(shù)更新律式(14)～(19)以及給定的初始狀態(tài)和參數(shù)值進(jìn)行仿真,迭代次數(shù)k=50,仿真結(jié)果如圖2～圖7所示。

圖2中誤差隨著迭代次數(shù)的增加逐漸趨于零,也證明了通過增加迭代次數(shù),飛行器航跡傾角跟蹤理想目標(biāo)的精度越來越高。圖3和圖4的軌跡對(duì)比驗(yàn)證了飛行器航跡傾角在迭代50次后較無迭代時(shí)的跟蹤效果更精確。圖5～圖7中控制律和參數(shù)更新律隨迭代次數(shù)的變化值在[0,2π]上都是有界的。圖2～圖7的仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文控制方法的正確性和有效性。

圖2 e1,k隨迭代次數(shù)的變化曲線圖Fig.2 e1,k variation curve with the number of iterations

圖3 無迭代時(shí)飛行器航跡傾角跟蹤圖Fig.3 Track inclination tracking diagram of aircraft without iteration

圖4 迭代50次后飛行器航跡傾角跟蹤圖Fig.4 Track inclination tracking diagram of aircraft after 50 iterations

圖5 控制輸入‖uk‖隨迭代次數(shù)的變化曲線圖Fig.5 Control input ‖uk‖ variation curve with iteration times

圖6 隨迭代次數(shù)的變化曲線圖Fig.6 variation curve with the number of iterations

圖7 隨迭代次數(shù)的變化曲線圖Fig.7 curve with the number of iterations

5 結(jié) 語

本文利用自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制的方法對(duì)飛行器航跡傾角進(jìn)行有限時(shí)間跟蹤控制。通過調(diào)整相關(guān)參數(shù),自適應(yīng)迭代控制方法使得具有不確定項(xiàng)的飛行器航跡角系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間高精度跟蹤。針對(duì)該系統(tǒng)模型,采用收斂級(jí)數(shù)序列處理系統(tǒng)未知項(xiàng),并通過反演設(shè)計(jì)的方法設(shè)計(jì)實(shí)際控制律。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了所設(shè)計(jì)的控制器以及參數(shù)更新律在[0,T]上有界,并且系統(tǒng)的跟蹤誤差隨著迭代次數(shù)的增加完全收斂于零。最后通過仿真驗(yàn)證了自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法設(shè)計(jì)的控制器應(yīng)用到飛行器航跡系統(tǒng)的有效性,成功實(shí)現(xiàn)了通過舵面偏角來控制航跡傾角的目的。