付天一, 丁根宏, 田王達, 楊雅朝

(1.河海大學 能源與電氣學院, 江蘇 南京 211100; 2.河海大學 理學院, 江蘇 南京 211100)

有源雷達是領土防空的重要支撐,但是有源雷達面臨著電了干擾、反輻射武器攻擊、低空/超低空突防等一系列威脅。有源探測定位技術的觀測站需要不斷向外發(fā)出電磁信號,很容易被敵方發(fā)現(xiàn)并遭到針對性的打擊和干擾,即暴露出隱蔽性差、抗干擾和抗偵察能力差等問題[1-2]。無源定位技術采用被動的探測方式工作,各觀測站并不主動向外發(fā)射信號,而是接收來自輻射源的電磁信號并進行處理和分析進而實現(xiàn)對目標的定位和跟蹤。具有無需主動發(fā)射脈沖、可全時工作、不受發(fā)射機靜默周期限制、安全性高、性能更加穩(wěn)定可靠的優(yōu)勢[3-5],是現(xiàn)代一體化防空系統(tǒng)的重要組成部分,并正在成為定位技術的主流研究方向。

根據(jù)觀測站的數(shù)量不同,無源定位系統(tǒng)可以分為單站無源定位系統(tǒng)和多站無源定位系統(tǒng)。單站無源定位系統(tǒng)僅利用一個觀測站對被測目標輻射源的狀態(tài)參數(shù)進行估計,不需要多個觀測站之間的信息通信及時鐘同步,雖然成本較低,機動性強,但是為獲得較高的定位精度需要對輻射源進行長時間多次測量,因此定位所需時間較長,且收斂速度較慢,難以及時獲取目標的實時精確參數(shù)。而多站無源定位系統(tǒng)利用多個無源觀測站協(xié)同對目標進行定位,可以獲得更多的觀測信息量,以保證定位精度,其缺點在于各站之間時間同步與空間校準難,通信帶寬受限和數(shù)據(jù)交互頻繁,系統(tǒng)復雜度比較高,一定程度上降低了其實用性和時效性[6-8];單站定位系統(tǒng)可有效規(guī)避時間同步、空間校準等問題[9-13]。

無人機(unmanned aerial vehicle,UAV)具有行動靈活、機動性高、使用簡便、隱蔽性強等優(yōu)點,可以實現(xiàn)對目標的偵查、定位跟蹤甚至精確打擊,成為現(xiàn)代戰(zhàn)場上不可或缺的重要力量。此外,由于無源探測設備簡單、重量輕,可以與載重量較小的UAV很好地適配,而UAV也在無源定位領域開始發(fā)揮越來越重要的作用[14-18]。在執(zhí)行任務的過程中,單一無人機存在成功率相對較低、容錯率低以及在緊急情況下應對能力較差的問題。無人機群具有高立體性和高信息性,可以將其作為無源定位的載體進而發(fā)揮團體協(xié)作優(yōu)勢,實現(xiàn)對目標的實時監(jiān)控和定位。采用無人機群進行無源定位的方式具有成本低、定位精度高、反應時間短等優(yōu)勢。能夠有效解決采用雷達數(shù)字信號進行無源定位時存在的時差以及通信尺度不唯一的問題。

純方位無源定位可作為無人機編隊飛行過程中有效減少向外發(fā)射電磁波信號的方案。在該方法中,部分無人機向外發(fā)射信號,其余無人機接收并實現(xiàn)目標的定位。然而現(xiàn)有的純方位量測模式下仍存在問題,如多UAV協(xié)同定位以及對跟蹤快速移動的目標時誤差不能收斂到零。因此,對于如何提高針對快速移動目標的定位精度和減小定位誤差有待研究[19-23]。

本文基于三角函數(shù)原理進行了無源定位問題的推導,建立了無人機編隊定位的幾何模型,并利用三角函數(shù)關系結合解析法,討論了僅已知部分無人機編號的情況;之后基于幾何模型給出了無人機編隊初始略有偏差的調整策略;在編隊隊形發(fā)生改變的情況下,利用解析幾何構建定位模型,實現(xiàn)新隊形下的精確定位。

1 問題描述

研究最常見的無人機圓形編隊,一架無人機(編號為F0)位于圓心處,其余無人機(編號F1～FN)均勻分布在某圓周上,整個編隊的無人機在飛行時均保持在同一高度。

問題A:位于圓心的無人機F0和編隊中另2架無人機發(fā)射信號,其余位置略有偏差的無人機接收信號,當發(fā)射信號的無人機位置無偏差且編號已知時,如何確定接收信號的無人機的定位模型?

問題B:某位置略有偏差的無人機除了接收到F0和F1發(fā)射的信號,還另接收到編隊中編號未知的無人機發(fā)射的信號,若發(fā)射信號的無人機位置無偏差,除F0和F1外,如何確定能實現(xiàn)無人機有效定位的需要發(fā)射信號的無人機數(shù)量?

問題C:若圓形編隊的半徑為100 m,且初始時刻無人機的位置略有偏差?，F(xiàn)要求選擇F0無人機和圓周上的最多3架無人機來發(fā)射信號,其余無人機接收信號并調整到理想位置,使所有無人機最終均勻分布在某個圓周上,如何設計出具體合理的無人機位置調整方案?本文符號含意見表1。

表1 符號說明Tab.1 Symbol description

2 研究方法

2.1 模型假設

被動接收信息的無人機的位置“略有偏差”是指:偏差沒有小到可以基本認為在目標位置,也沒有大到無法判斷其他各個無人機的相對位置。處于某一較小的合適范圍。不考慮無人機內接收信息測量夾角的傳感器接收信息的噪聲以及測量角度的誤差。同時,為闡述清晰,以中等規(guī)模的無人機編隊為例,選取無人機架數(shù)為10架。

2.2 模型建立

問題A的分析:在問題A中,初始為圓形編隊,各自編號已知,且基準隊形固定,圓心的F0無人機及圓周上發(fā)射信號的無人機位置不會有偏差,圓周上其余不發(fā)射電磁波的無人機位置略有偏差,且無人機僅能探測各個信號之間的夾角信息。由于圓心的無人機始終會發(fā)射信號,與其余圓周上的兩架無人機始終會構成以半徑為腰的等腰三角形,各個三角形之間可以僅僅利用頂角大小區(qū)分。如上,可建立極坐標系,依據(jù)發(fā)射信號的三架無人機構成的等腰三角形頂角的大小來進行分類討論。同時,其余某一無人機與三點連線的夾角也為已知量。在極坐標體系下,結合正弦定理等三角學定理列出方程組,可解出接收信號無人機的極坐標,即可實現(xiàn)依據(jù)接收信號的無源定位。針對接收信號的無人機所處的區(qū)域不同,直線OA、OB、AB將整個平面分為若干個區(qū)域(見圖1)。對于∠OAB和∠OBA的對角的內部這兩個在圓外的范圍,由于無人機在出現(xiàn)位置偏差時的偏差程度很小(為“略有偏差”的程度),因此認為無人機不可能出現(xiàn)在這兩個區(qū)域。因此只需分析圖1所示的4種情況即可,分別對應P1、P2、P3、P4,而這4種情況分別表示接收信號的無人機位于ΔOAB中OA邊以下的區(qū)域(情況1),ΔOAB中OB邊左上方的區(qū)域(情況2),∠AOB內部的區(qū)域(情況3)以及∠AOB的對頂角內部的區(qū)域(情況4)。

圖1 問題A三個方位偏差情況示意圖Fig.1 Question A schematic diagram of three azimuth deviations

本文設OA為極坐標極軸,由于理想情況下,均勻分布在圓周上的兩相鄰無人機與圓心連線的夾角最小為β=(360/9)°,并且此時發(fā)射信號的無人機位置無偏差,故此時∠AOB= (k-1)β,k∈{2, 3, 4, 5}。

對于情況1,如圖2所示,設P1極坐標為(ρ1,θ1),ρ1>0,θ1∈(0, 2π),故∠AOP1=2π-θ1。

圖2 問題A情況1Fig.2 Question A case 1

如圖,由幾何關系可得:

∠OBP1=π-α1-(2π-θ1)-∠AOB

(1)

∠OAP1=π-α2-(2π-θ1)

(2)

故在 ΔP1OB中,由正弦定理可得:

(3)

在ΔP1OA中,由正弦定理可得:

(4)

解得:

(5)

對于情況2,如圖3所示,設P2極坐標為 (ρ2,θ2),ρ2>0,θ2∈(0, 2π)。

圖3 問題A情況2Fig.3 Question A case 2

如圖3,由幾何關系可得:

∠OBP2=π-α1-(θ2-∠AOB)

(6)

∠OAP2=π-α2-θ2

(7)

故在ΔP2OB中,由正弦定理可得:

(8)

在ΔP2OA中,由正弦定理可得:

(9)

解得:

(10)

對于情況3,如圖4所示,設P3極坐標為(ρ3,θ3),ρ3>0,θ3∈(0,2π)。

圖4 問題A情況3之一Fig.4 Question A one of case 3

由幾何關系可得:

∠OBP3=π-α1- (∠AOB-θ3)

(11)

∠OAP3=π-α2-θ3

(12)

而當P3位于ΔAOB內時,如圖5所示,各角度關系不發(fā)生改變,故模型方程不變。

圖5 問題A情況3之二Fig.5 Question A two of case 3

故在ΔP3OB中,由正弦定理可得:

(13)

在ΔP3OA中,由正弦定理可得:

(14)

解得:

(15)

對于情況4,如圖6所示,設P4極坐標為 (ρ4,θ4),ρ4>0,θ4∈ (0, 2π),故∠AOP4= 2π-θ4。

圖6 問題A情況4Fig.6 Question A case 4

由幾何關系可得:

∠OBP4=π-α1-(θ4-∠AOB)

(16)

∠OAP4=π-α2-(2π-θ4)

(17)

故在 ΔP4OB中,由正弦定理可得:

(18)

在ΔP4OA中,由正弦定理可得:

(19)

解得:

(20)

上述4種情況涵蓋了接收信號的無人機的幾乎所有飛行范圍。而具體的求解過程是在兩個三角形中運用正弦定理,再將兩個方程聯(lián)立,得到關于ρ和θ的二元方程組,即可求出接收信號的無人機的具體位置。即為關于被動接收信號的無人機的定位模型。

問題B的分析:問題B依舊以10架無人機為例,編隊仍為圓形編隊,但此時,除F0、F1以外的其余無人機都失去了編號信息。由第一問的機理分析,編號信息可以使接收信號無人機與基準圓形對應得出提前存儲的此時的目標角度,即為無人機調整的目標角度;還可使無人機對照基準圓形得出信號源飛機的位置從而進行定位。編號信息為定位模型的基本信息,不可缺失。因此,此問題可轉化為:通過再加入多少架沒有編號這一定位信息的無人機,可判斷出某一架無人機的編號,從而實現(xiàn)三點定位。因此,本問無人機需要具有判斷未知編號無人機與F0和F1之間信號夾角的相對大小從而判斷編號的能力?？紤]接收信號無人機偏差極小與偏差極大兩種極限情況,加入的無人機架數(shù)與接收信號無人機的偏差范圍有關。由此,本問要設定偏差范圍的大小,即設定偏差范圍的解析表達式,同時由于F0、F1兩條信號夾角固定,因此該點的可能位置將在一個圓弧上活動,也可得出其解析表達式。因此,本問采用解析法,通過對于活動范圍的解析式,判斷另外到來的信號通路是否具有唯一性;若不具有,則添加對應個數(shù)。

除F0、F1外,無人機接收到的信號中,失去了編號信息,由問題A中的模型可知,已知編號情況下,需三點才可實現(xiàn)定位。因此,可將問題 B 做如下轉化:除F0和F1外,再接收到多少個來自未知編號無人機的信號,可確定其中某一架無人機的編號?由于接收的信號中,存在兩條已知編號的信息,為此,本文提出一種“基于無人機自主感知未知編號信息相對于已知的方向,來判斷發(fā)送者編號”的思想。

如圖7所示,P(a,b)(設為:F2)在H附近產生偏差,其偏差范圍用圓來表示,即為⊙H,半徑為r。由于∠F0PF1為已知,P點將在由F0、F1、P確定的圓上,解析式為:

圖7 問題B解析法示意圖Fig.7 Question B schematic diagram of analytical method

(21)

同時,P點的偏差范圍需在⊙H內,因此P(a,b)需滿足:

[a-Rcos(40°)]2+[b-Rsin(40°)]2≤r2

(22)

(23)

(24)

其余F4～F9弧段的解析表示同理,每個弧段的物理意義可表示為:若P位置固定,其余無人機將有如此的移動范圍。從接收信號無人機引出一條射線,表示信號探測器的探測路徑,若此路徑同時與多個弧段有交點,則表示會發(fā)生信號干擾,因此,所有與此路徑相交的弧段上的那架無人機,都需給P發(fā)送信號。采用解析判定方法,射線方程如下:

y-b=k(x-a)k∈(-∞,+∞)

(25)

當k取不同值時,射線可掃過整個平面 (模擬無人機探測信號過程),分別將射線方程與按公式(24)所示方式列出的F3～F9弧段方程聯(lián)立,判斷解的個數(shù),之后取最多的個數(shù),即為某個視角下會存在的干擾數(shù)量。若要消除干擾,需使得互相干擾的無人機全部為發(fā)信號的無人機。同時可知,當P點坐標(a,b)固定時,上述每個方程組聯(lián)立后可轉化為一元二次方程,利用根的判別式即可判定解的個數(shù),即可得出某個視角下會存在的干擾數(shù)量。

問題C的分析:依然延續(xù)10架無人機的圓形編隊,但發(fā)射信號的無人機并不固定,陣型初始與基準陣型(9架飛機均在圓上)略有偏差,每次選擇F0及圓周上至多三架無人機發(fā)射信號,實現(xiàn)全部無人機的純方位無源定位,同時做出相應調整,使整個編隊的所有無人機能夠慢慢達到理想位置。由于編號已知,且F0始終為發(fā)射信號無人機之一,而其余的無人機均在圓周附近,因此可考慮沿用問題A中的三點定位法,在圓周上再選取兩個無人機發(fā)射信號,即可實現(xiàn)夾角信息到坐標信息的轉換。由于無人機無法理解坐標信息,僅存儲正確的夾角信息,因此每次依據(jù)發(fā)射信號無人機僅僅會將夾角調整為自己“認為”正確的存儲值,而無法得知發(fā)射信號無人機是否處于圓形編隊的正確位置。因此,調整策略的選取不同,也將會導致整體收斂情況的不同(甚至有可能無法收斂)。由于調整目的為使隊伍收斂至正確位置,因此,若采取三角定位法,兩架圓周上的發(fā)射信號無人機的選取需為整個圓周上偏差最小的。首先依次檢查并選出最小偏差的3架無人機,再依次調整,計算調到的坐標,之后再次依次檢查,開始下一次迭代。最終整體偏差程度將收斂到某一很小的值。具體迭代調整流程如圖8所示。

圖8 問題C調整迭代流程Fig.8 Question C adjust the iteration process

無人機每次調整位置后的所在位置為Pin(ρin,θin),i∈{0, 1, …, 9},n∈Z+。如圖9所示,無人機的目標位置即為基準陣型各自位置,基準目標位置記為Qi。

圖9 無人機編隊基準位置Fig.9 Benchmark position of UAV formation

(26)

即讓所有點到目標點的距離之和盡可能小。調整前:易知,發(fā)射信號無人機偏差越小,基于此的定位調整也將向更優(yōu)的方向發(fā)展。因此在每次調整前,先篩選與目標位置偏差較小的無人機。觀察初始位置得知:P1=Q1,即初始時刻F1無偏差,在每輪開始的選擇當中總會被選取成為發(fā)射信號的無人機。且由于問題 A 模型:三架編號已知的無人機即可實現(xiàn)全編隊定位,因此,初始篩選過程可等效為:

(27)

則選取的發(fā)射信號的無人機為:

(28)

調整時:如圖10,此時已確定發(fā)射信號的無人機坐標,接收信號的無人機可探測得出兩個夾角α1、α2的大小。同時,無人機只能感知并處理夾角信息,因此,位置的調整過程為: 將此時探測的夾角調整為存儲的對應基準陣型的正確夾角。此時,該無人機將有如下調整過程。

圖10 問題C某無人機接受信息后調整前后Fig.10 Question C before and after adjustment of a UAV after receiving information

由于發(fā)射信號無人機編號已知,此時對應基準陣型的夾角α′1、α′2即為已知量, 即為基準陣型上的F0、F1、Fk與Fi的夾角,如圖10所示。

(29)

無人機完成依據(jù)夾角信息的自主調整后,由于下一次調整前,需重新評估各無人機偏差情況,并選擇發(fā)射信號的無人機。因此調整后需計算此時的極坐標定位。如圖11所示幾何模型。

圖11 無人機調整后的幾何模型Fig.11 Geometric model of UAV after adjustment

與問題A模型相比,此時OB=ρnk,OA=ρn1, ∠BOA=θnk,求解方法不變。因此,可用問題A的模型,解方程組求解,具體分為以下4種情況。

情況 1:

(30)

情況 2:

(31)

情況 3:

(32)

情況 4:

(33)

3 研究結果與分析

3.1 問題A的模型結果分析

在問題A中,由于接收信號的無人機所接收到的方向信息僅僅是與發(fā)射信號的無人機連線之間的夾角,因此這是一個純方位無源定位方法的應用[4],建立基于角度關系和正弦定理的幾何模型。發(fā)射信號的無人機是位于圓心的F0以及位于半徑為R的圓周的另兩架無人機,為便于計算和分析,不妨設定其中一架無人機為F1。考慮到圓形編隊的對稱性,由此設定另一架無人機為F2～F5中的某一架,設其為Fk,k∈{2, 3, 4, 5}。當發(fā)射信號的3架無人機為F0、F1、Fk時,設無人機F0所處的相對位置為極坐標系的坐標原點(0, 0),無人機F1所處的相對位置為A點(R,0)(即位于極軸上),無人機Fk,k∈{2, 3, 4, 5}所處的相對位置為B。設接收信號的無人機位于P(ρ,θ)。規(guī)定半徑OB在ΔPOB中的對角為α1,半徑OA在ΔPOB中的對角為α2,角α3為PA和PB之間的夾角。此外,由于理想情況下均勻分布在圓周上的兩相鄰無人機與圓心連線的夾角為β=40°,并且此時發(fā)射信號的無人機位置無偏差,故此時∠AOB= (k-1)β,k∈ {2, 3, 4, 5}。

為驗證前文建立的定位模型的正確性和準確性,現(xiàn)分別取4種典型位置α1和α2的值作為某接收信號的無人機的方向信息,使之分別位于4種情況下的飛行區(qū)域,并分別代入方程組求解ρ和θ,最后將求解結果與預期結果作比較,驗證該無人機的位置是否在圓周附近,即可完成對定位模型的驗證。

設圓形編隊的半徑R= 50 m,求出各個情況下ρ和θ的數(shù)值解。

如圖12(a)所示,當α1= 37°,α2= 70°時,求得ρ1= 53.124 8 m,θ1= 336.749 9°,為情況1下的位置。

圖12 問題A模型計算數(shù)據(jù)結果Fig.12 Question A model calculation data results

如圖12(b)所示,當α1= 73°,α2= 38°時,求得ρ2= 52.077 9 m,θ2= 102.115 2°,為情況2下的位置。

如圖12(c)所示,當α1= 44°,α2= 35° 時,求得ρ3= 68.931 1 m,θ3= 17.267 0°,為情況 3 下的位置。

如圖12(d)所示,當α1= 24°,α2= 20°時,求得ρ4= 41.258 0 m,θ4= 216.390 1°,為情況 4 下的位置。

分析可得,該接收信號的無人機與圓心之間的距離 ρ在一定的偏差范圍內,均非常接近于R,因此可以表明該定位模型的正確性和準確性。

3.2 問題B的模型結果分析

圖13 問題B計算數(shù)據(jù)結果Fig.13 Question B calculation data results

用r與R比值來衡量偏差范圍半徑的大小:如圖13(a)所示r/R為0.1時,

任意加入1架發(fā)射信號,無人機即可判定編號從而定位。如圖13(b)所示r/R為 0.29 時,存在兩架無人機互相干擾,因此需至少任意加入兩架發(fā)射信號的無人機。如圖13(c)所示r/R為 0.44 時,有3架無人機互相干擾,因此需至少任意加入3架發(fā)射信號的無人機。如圖13(d)所示r/R為 0.6 時,有4架無人機互相干擾,因此需至少任意加入4架發(fā)射信號的無人機。以此類推,隨著偏差范圍r繼續(xù)增大,最終將趨向于即使全部加入也無法滿足定位。

無人機的位置略有偏差,在列出的4種情況中取偏差較小的情況,可以認為:還需兩架無人機發(fā)射信號,就可實現(xiàn)有效定位。

3.3 問題C的模型結果分析

表2 問題C的調整方案Tab.2 Question C adjustment strategy

表2中右側每個坐標表示一次迭代結束后的調整后坐標,箭頭表述轉換關系,共進行了20次迭代?？梢钥吹?由于F0、F1兩架無人機始終會被選取,因此全程無調整 (實際也無需調整),符合規(guī)律。之后對于F2～F9號無人機,坐標隨著迭代次數(shù)不斷變化,雖然中間某些無人機存在某次調整后偏差反而較大的情況,最終可以看出,所有編號無人機在第6到7次迭代后,均穩(wěn)定在了非常接近目標點的位置(表中省略號“…”表示之后結果相同)。

圖14為每次迭代計算得出的10架無人機平均偏差隨迭代次數(shù)的變化情況,平均偏差與上表規(guī)律一致。初始時刻出現(xiàn)短暫波動后,最終總體偏差可收斂至近似0值。

圖14 無人機調整后的幾何模型偏差Fig.14 Geometric model deviation of UAV after adjustment

4 結 論

針對僅能接收夾角信息的無源定位問題,基于三角函數(shù)推導,建立了圓形編隊中定位的幾何模型,并利用三角函數(shù)關系結合解析法,討論了僅已知部分無人機編號的情況;之后基于幾何模型給出了編隊初始略有偏差的調整策略;在編隊隊形發(fā)生改變的情況下,利用解析幾何構建定位模型,實現(xiàn)新隊形下的精確定位。

問題A通過對于平面的劃分展開分類討論,基于嚴謹?shù)臄?shù)學幾何解三角形計算,建立接收信號無人機的定位模型,結果具有較高的準確性。

問題B中構建的基于無人機感知方位判定編號的解析模型,充分考慮到了接收信號的無人機的位置偏差大小與增加數(shù)量的關系,具有較好的普適性和一般性。

問題C基于貪心策略,構建迭代調整模型,模型與解決問題的適配程度較高。

全文只考慮了三點定位,未探究更多點定位帶來的精度提升對定位的影響。