夏 陽, 于 鵬

(陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710021)

汽輪機(jī)是電力生產(chǎn)的主要設(shè)備,由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和運(yùn)行環(huán)境的特殊性,汽輪機(jī)的故障率較高,造成的損失較大,所以對汽輪機(jī)的故障診斷和監(jiān)測一直是國內(nèi)外發(fā)展機(jī)械故障診斷技術(shù)的重點(diǎn)。

汽輪機(jī)故障診斷的常用方法有模糊診斷、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)診斷、專家系統(tǒng)診斷等。上述方法的優(yōu)點(diǎn)比較突出,但也有一定缺陷。例如基于模糊集的模糊故障診斷方法,雖然有效地解決了故障類型與故障參數(shù)之間關(guān)系的不確定性問題,但單一的隸屬度表示只能表達(dá)單一信息,不能同時表達(dá)肯定、否定和不確定信息,從而造成信息丟失,診斷效率降低[1]?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的故障診斷方法,雖然能夠通過數(shù)據(jù)積累,實(shí)現(xiàn)對模型的不斷修正、自我進(jìn)化,但存在小樣本環(huán)境下故障識別精度不高的問題[1,2]?；趯＜蚁到y(tǒng)的故障診斷方法在實(shí)際應(yīng)用過程中,由于多故障并存致使單一故障診斷方法很難實(shí)現(xiàn)精確診斷,導(dǎo)致診斷效率降低[1,3]。

為克服以上方法的不足,近年來一些新的方法被相繼提出,并得到了廣泛應(yīng)用。例如張棟良等[4]提出了基于變分模態(tài)分解和改進(jìn)的模糊支持向量機(jī)相結(jié)合的故障診斷模型。宋棟[5]采用單值中智集方法,有效表達(dá)了汽輪機(jī)故障診斷中的各種不確定性信息,克服了模糊集在處理故障診斷中的不足。而YE[6]則在中智集環(huán)境下給出了余切相似性度量方法,并證明該方法在汽輪機(jī)的故障診斷中優(yōu)于余弦相似度量方法。

與此同時,距離度量作為一種有效的故障診斷方法,其基本思路是度量未知樣本與已知樣本的距離,與已知樣本距離越小,故障類型也就越清晰。因此,尋找一種合適的距離是利用距離進(jìn)行故障診斷的一個關(guān)鍵點(diǎn)[7]。但需要指出的是,現(xiàn)有汽輪機(jī)故障診斷方法中,基于余弦相似度量、余切相似度量、歐式距離等方法,從邏輯推理的角度講,缺乏一定的邏輯基礎(chǔ)。Hamming距離作為一種常見的距離定義方式,其對應(yīng)的是ukasiewicz模糊邏輯系統(tǒng)中公式間的偽距離[8]。Hamming距離在ukasiewicz邏輯系統(tǒng)中可以進(jìn)行有效解釋,但其它的一些距離卻缺乏這種解釋。因此,從邏輯推理的角度去定義模糊集以及廣義模糊集間的距離模式,以此來解釋相關(guān)距離就顯得很有意義。本文就是從邏輯推理的可解釋性著手,通過聚合邏輯蘊(yùn)涵算子的方式,在單值中智集間引入了一種新的距離模式,使得故障診斷在邏輯推理中有了一定的可解釋性,解決了現(xiàn)有方法邏輯基礎(chǔ)不強(qiáng)的問題。

1 基礎(chǔ)理論

本節(jié)介紹本文將要用到的一些基本知識,包括單值中智集、三角模、模糊蘊(yùn)涵算子、聚合算子等概念。

單值中智集是在模糊集與直覺模糊集的基礎(chǔ)上,通過增加元素對集合的不確定程度的信息表示而引入的一種廣義模糊集。目前,單值中智集已被廣泛用于多屬性決策、故障診斷等領(lǐng)域[9,10]。其定義如下:

定義1.1[11]設(shè)X是一個對象(點(diǎn))集,x∈X,X上的一個單值中智集A可用真隸屬函數(shù)TA(x)、不確定隸屬函數(shù)IA(x)和假隸屬函數(shù)FA(x)表示:

A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}

其中,TA(x):X→[0,1],IA(x):X→[0,1],FA(x):X→[0,1],對于?x∈X,滿足0≤TA(x)+IA(x)+FA(x)≤3。

下文中,論域X上的單值中智集組成的集合簡記為SVNS。

定義1.2[11]對于兩個單值中智集A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}和B={〈x,TB(x),IB(x),FB(x)〉|x∈X},有以下關(guān)系:

1) 包含:A?B當(dāng)且僅當(dāng)x∈X,TA(x)≤TB(x),IA(x)≤IB(x),FA(x)≤FB(x);

2) 相等:A=B當(dāng)且僅當(dāng)A?B且B?A;

3) 補(bǔ)集:AC={〈x,FA(x),1-IA(x),TA(x)〉|x∈X};

4) 并集:A∪B={〈x,TA(x)∨TB(x),IA(x)∧IB(x),FA(x)∧FB(x)〉|x∈X};

5) 交集:A∩B={〈x,TA(x)∧TB(x),IA(x)∨IB(x),FA(x)∨FB(x)〉|x∈X}。

定義1.3[12]設(shè)映射d:SVNS×SVNS→[0,1]滿足條件(DP1～ DP4):

DP1:0≤d(A,B)≤1;

DP2:d(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B;

DP3:d(A,B)=d(B,A);

DP4:若A?B?C,則d(A,C)≥d(A,B)且d(A,C)≥d(B,C)。

則稱d(A,B)為兩個單值中智集A和B的距離測度。

三角模是一類重要的二元聚合函數(shù),它來源于概率度量空間。后來作為多值與模糊邏輯系統(tǒng)的語義解釋基礎(chǔ)而備受關(guān)注[13]。從邏輯聯(lián)結(jié)詞角度講,連續(xù)三角?？梢钥闯墒荁L邏輯系統(tǒng)中合取聯(lián)結(jié)詞的解釋,左連續(xù)三角?？梢钥闯墒荕TL邏輯系統(tǒng)中合取聯(lián)結(jié)詞的解釋。

定義1.4[14]函數(shù)T:[0,1]2→[0,1]稱為三角模(用?表示),若對任意a,b,c∈[0,1],?滿足:

1)a?b=b?a;

(交換性)

2)a?(b?c)=(a?b)?c;

(結(jié)合性)

3) 當(dāng)b≤c時,有a?b≤a?c;

(單調(diào)性)

4)a?1=a。

(邊界性)

例1.5[14]四種常見的三角模:

2) 取小三角模:a?Gb=a∧b;

3) 乘積三角模:a?πb=ab;

4) 冪零取小三角模:

模糊蘊(yùn)涵從模糊邏輯角度講是經(jīng)典蘊(yùn)涵算子的拓展,它是不同模糊邏輯系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別之一,也是設(shè)計(jì)模糊推理算法的核心[14]。

定義1.6[14]二元函數(shù)I:[0,1]2→[0,1]稱為模糊蘊(yùn)涵。若I滿足以下條件(I1～ I5):

I1:I是第一變元單調(diào)遞減的,即如果a1≤a2,則I(a1,b)≥I(a2,b);

I2:I是第二變元單調(diào)遞增的,即如果b1≤b2,則I(a,b1)≤I(a,b2);

I3:I(0,0)=1;

I4:I(1,1)=1;

I5:I(1,0)=0。

例1.7[15]四種常見的模糊蘊(yùn)涵:

注1:

2) 上述模糊蘊(yùn)涵算子均可由相應(yīng)邏輯系統(tǒng)中的合取算子?通過I(x,y)=sup{t|x?t≤y}的形式誘導(dǎo)而出。在模糊蘊(yùn)涵的生成類中,上述蘊(yùn)涵稱為R-蘊(yùn)涵。

定義1.8[16]若蘊(yùn)涵算子→與三角模?具有關(guān)系:x?y≤z當(dāng)且僅當(dāng)x≤y→z,則稱(?,→)構(gòu)成伴隨對。

在模糊邏輯系統(tǒng)中,當(dāng)?與→構(gòu)成伴隨對,且→滿足關(guān)系(a→b)∧(b→a)+(b→c)∧(c→b)≤1+(a→c)∧(c→a)時,以?為合取聯(lián)結(jié)詞、→為蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng),可以通過引入命題公式的真度,對命題的可靠性進(jìn)行量化。進(jìn)一步,可以通過引入命題間的相似度與偽距離的方式構(gòu)建邏輯度量空間[17-18],以此來研究邏輯系統(tǒng)的性質(zhì)。此時,由公式偽距離誘導(dǎo)的[0,1]區(qū)間上的距離就有了邏輯可解釋性,這也是本文所用方法的基礎(chǔ)。下文出現(xiàn)的蘊(yùn)涵算子,如無特殊聲明,均為滿足上述條件的邏輯蘊(yùn)涵算子。

定義1.9[16]設(shè)(?,→)是[0,1]上的伴隨對,其中?是三角模,→是蘊(yùn)涵。則

d(a,b)=1-(a→b)∧(b→a)

(1)

是[0,1]上的距離測度。

定義1.10[19]設(shè)映射f:[0,1]n→[0,1](n>1)滿足條件(P1、P2):

P1:f在(0,0,…,0)和(1,1,…,1)上冪等,即f(0,0,…,0)=0且f(1,1,…,1)=1;

P2:f的每個分量單調(diào)遞增,即xi≤yi(i∈1,2,…,n)時,f(x1,x2,…,xn)≤f(y1,y2,…,yn)。

則稱f為n-元聚合函數(shù)。

例1.11[19]幾種常見的聚合函數(shù):

3) 取小聚合函數(shù):min(x)=min{x1,…,xn};

4) 取大聚合函數(shù):max(x)=max{x1,…,xn}。

定義1.12[19]如果對于任意i∈1,2,…,n,存在某些X∈(0,1]n使得X的第i個元素是xi=a,且f(X)=0成立,則稱元素a∈(0,1]是零因子。即對于某些X>0,且a在任意位置上,等式f(x1,…,xi-1,a,xi+1,…,xn)=0成立。

2 基于邏輯蘊(yùn)涵算子的單值中智集間的距離

正如引言所述,單純從距離的角度講,現(xiàn)有距離都是有意義且有效的距離,但從邏輯推理角度講,部分距離度量缺乏邏輯可解釋性。本節(jié)將從邏輯推理的角度去定義單值中智集間的距離。

命題2.1 設(shè)A和B是兩個單值中智集,f是一個n-元聚合函數(shù),定義A和B之間的距離為:

df(A,B)=f(d1(TA(x),TB(x)),d2(IA(x),IB(x)),d3(FA(x),FB(x)))

(2)

其中,dn(n=1,2,3)是由→L、→G、→π、→0誘導(dǎo)的距離測度。

證明：以下說明式(2)滿足條件DP1～DP4。

DP1:因?yàn)閒:[0,1]2→[0,1],顯然有0≤df(A,B)≤1。

DP2:如果A=B,則TA(x)=TB(x),IA(x)=IB(x),FA(x)=FB(x),所以df(A,B)=f(0,0,0)=0。

如果df(A,B)=0,則由df無零因子可知d1(TA(x),TB(x))、d2(IA(x),IB(x))、d3(FA(x),FB(x))中至少有一個為0,進(jìn)一步由A和B的任意性可知A=B。

DP3:?A,B∈SVNS,

DP4:

如果A?B?C,有:

TA(x)≤TB(x)≤TC(x);

IA(x)≥IB(x)≥IC(x);

FA(x)≥FB(x)≥FC(x)。

所以

d1(TA(x),TB(x))≤d1(TA(x),TC(x));

d2(IA(x),IB(x))≤d2(IA(x),IC(x));

d3(FA(x),FB(x))≤d3(FA(x),FC(x))。

因?yàn)閒單調(diào)遞增,所以df(A,B)≤df(A,C)。

同理得df(B,C)≤df(A,C)。

綜上所述,df(A,B)是單值中智集A和B之間的距離。

由文獻(xiàn)[20]～[21]可知,s(A,B)=1-df(A,B)是單值中智集A和B之間的相似度量。

3 基于邏輯蘊(yùn)涵算子的單值中智集間的距離在汽輪機(jī)故障診斷中的應(yīng)用

在汽輪機(jī)的故障診斷問題中,汽輪機(jī)發(fā)電機(jī)組的振動受多種因素的影響,比如機(jī)組的機(jī)械結(jié)構(gòu)、機(jī)組的負(fù)荷、真空度、缸體和轉(zhuǎn)子的熱膨脹、網(wǎng)絡(luò)負(fù)荷波動、溫度、流體、地面等,而且相互作用均表現(xiàn)為機(jī)組的振動。

3.1 故障類型及測試樣本

常見的汽輪機(jī)故障模式有[6]:A={A1(不平衡),A2(氣動力偶),A3(不對中),A4(油膜渦動),A5(轉(zhuǎn)子徑向碰摩),A6(共生松動故障),A7(推力軸承損壞),A8(喘振),A9(軸承座松動)和A10(不等軸承剛度)}。

汽輪機(jī)在不同頻率下的故障模式均可由一個單值中智集加以表示,例如在頻率范圍(0.01～0.39f)下,不平衡模式A1可表示為<0,0,1>,意思是肯定是不平衡模式的程度是0,否定是不平衡模式的程度是1,不確定的程度是0。一般而言,同一故障模式在不同頻率范圍內(nèi)有不同的表示。表1給出了不同故障模式在九個頻率范圍(C1～C9)內(nèi)的表示。

表1 系統(tǒng)故障知識樣本Tab.1 System fault knowledge samples

以下為兩個真實(shí)待測樣本[22],分別以單值中智集的形式表示:

B1={<0,0,1>,<0,0,1>,<0.1,0,0.9>,<0.9,0,0.1>,<0,0,1>,<0,0,1>,<0,0,1>,<0,0,1>,<0,0,1>};

B2={<0.39,0,0.61>,<0.07,0,0.93>,

<0,0,1>,<0.06,0,0.94>,<0,0,1>,<0.13,0,0.87>,<0,0,1>,<0,0,1>,<0.35,0,0.65>}。

針對以上兩個待測樣本展開故障診斷。

3.2 對不同待測樣本的診斷

診斷步驟:

1) 選取蘊(yùn)涵算子→∈{→L,→G,→π,→0};

2) 根據(jù)式(1)分別計(jì)算d1(TAi(Cj),TBs)、d2(IAi(Cj),IBs)、d3(FAi(Cj),FBs)(i=1,2,…,10;j=1,2,…,9;s=1,2);

3) 選取不同的聚合算子計(jì)算df(Ai,Bs);

4) 故障類型排序。

例3.1 以計(jì)算df(Ai,B1)為例(其余實(shí)驗(yàn)計(jì)算過程類似)。

1) 蘊(yùn)涵算子的選取:TA與TB之間的蘊(yùn)涵取→L,IA與IB之間的蘊(yùn)涵取→0,FA與FB之間的蘊(yùn)涵取→G。

2) 根據(jù)式(1)計(jì)算出d1(TA1(Cj),TB1)(j=1,2,…,9)分別為:0、0、0.10、0.90、0.85、0.40、0.40、0、0。

計(jì)算d1(IA1(Cj),IB1)(j=1,2,…,9)分別為:0、0、0、0、0.15、0.02、0.03、0、0。

計(jì)算d1(FA1(Cj),FB1)(j=1,2,…,9)分別為:0、0、0.10、0.90、1.00、0.06、0.07、0、0。

=0.2144;

=0.0222;

=0.2367。

再算出

=0.1578。

同理依次計(jì)算出

df(A2,B1)=0.090 4;df(A3,B1)=0.172 6;df(A4,B1)=0.141 1;df(A5,B1)=0.140 7;df(A6,B1)=0.157 0;df(A7,B1)=0.045 2;df(A8,B1)=0.080 0;df(A9,B1)=0.151 9;df(A10,B1)=0.152 6。

根據(jù)df(Ai,B1)的大小值排序:

df(A7,B1)≤df(A8,B1)≤df(A2,B1)≤df(A5,B1)≤df(A4,B1)≤df(A9,B1)≤df(A10,B1)≤df(A6,B1)≤df(A1,B1)≤df(A3,B1)。

4) 未知樣本與已知故障模式距離越近,則未知樣本故障模式越清晰,由此可得樣本B1可能的故障模式排序?yàn)?A7→A8→A2→A5→A4→A9→A10→A6→A1→A3。

進(jìn)一步,對兩個待測樣本分別做5次實(shí)驗(yàn),可得如下診斷結(jié)果。

1) 待測樣本B1的診斷

根據(jù)診斷步驟計(jì)算Ai(i=1,2,…,10)和B1之間的距離,得到如下診斷結(jié)果(見表2)。

表2 待測樣本B1的診斷Tab.2 Diagnosis of sample B1 to be tested

根據(jù)表2的結(jié)果可知:待測樣本B1的振動故障原因首先是推力軸承損壞A7,其次是喘振A8,然后是氣動力偶A2,依此類推。

2) 待測樣本B2的診斷

根據(jù)診斷步驟計(jì)算Ai(i=1,2,…,10)和B2之間的距離,得到如下診斷結(jié)果(見表3)。

表3 待測樣本B2的診斷Tab.3 Diagnosis of sampleB2 to be tested

根據(jù)表3的結(jié)果可知:待測樣本B2的振動故障原因首先是軸承座松動A9,然后是轉(zhuǎn)子徑向碰摩A5和共生松動故障A6,依此類推。

3.3 比較分析

為驗(yàn)證本文定義方法的正確性與可行性,進(jìn)行如下比較分析:首先介紹文獻(xiàn)[6]與文獻(xiàn)[23]提出的余弦相似度與余切相似度方法。

設(shè)A與B是論域U上的兩個單值中智集,定義A與B間的余弦相似度為:

(3)

定義A與B間的余切相似度為:

(4)

為與本文保持一致,可將上述相似性度量轉(zhuǎn)化為距離度量加以比較,即通過計(jì)算1-Cos(Ai,B1)與1-Cot(Ai,B1)進(jìn)行比較。

對待測樣本B1,利用式(3)計(jì)算1-Cos(Ai,B1)分別為:0.210 9、0.020 1、0.171 8、0.176 4、0.094 3、0.128 6、0.000 5、0.022 7、0.202 1、0.190 1。

因此,十種故障排序?yàn)?A7→A2→A8→A5→A6→A1→A4→A10→A9→A3。

利用式(4)計(jì)算1-Cot(Ai,B1)分別為:0.251 3、0.118 9、0.289 2、0.224 5、0.229 5、0.278 4、0.018 4、0.102 2、0.242 8、0.249 1。

因此,十種故障排序?yàn)?A7→A8→A2→A4→A9→A10→A5→A1→A6→A3。

由表2可知,利用本文方法做5次實(shí)驗(yàn),其故障排序依次為:

1)A7→A8→A2→A5→A4→A9→A10→A6→A1→A3;

2)A7→A8→A2→A4→A5→A9→A10→A6→A1→A3;

3)A7→A8→A2→A5→A4→A9→A10→A6→A1→A3;

4)A7→A8→A2→A4→A5→A9→A10→A6→A1→A3;

5)A7→A8→A2→A5→A4→A9→A10→A6→A1→A3。

本文方法與上述方法的比較分析結(jié)果見圖1。

對于待測樣本B1而言,運(yùn)用余切相似度方法進(jìn)行診斷,位居前三的故障原因依次為推力軸承損壞A7、喘振A8、氣動力偶A2,最不可能的原因是不平衡A1、共生松動A6、不對中A3。運(yùn)用本文方法進(jìn)行故障診斷,位居前三的故障原因依次為推力軸承損壞A7、喘振A8、氣動力偶A2,最不可能的原因是共生松動A6、不平衡A1、不對中A3。上述結(jié)果與文獻(xiàn)[6]及文獻(xiàn)[23]所提方法的診斷結(jié)果雖有差異,但基本保持一致,這說明本文所提方法是正確與可行的。不同的是,本文方法有了一定的邏輯背景,更具有說服力。

對待測樣本B2,利用式(3)計(jì)算1-Cos(Ai,B2)分別為:0.143 2、0.087 2、0.093 4、0.104 7、0.026 2、0.043 3、0.128 0、0.079 9、0.059 7、0.106 2。

因此,十種故障排序?yàn)?A5→A6→A9→A8→A2→A3→A4→A10→A7→A1。

利用式(4)計(jì)算1-Cot(Ai,B2)分別為:0.261 3、0.247 0、0.281 7、0.210 0、0.198 3、0.197 0、0.253 4、0.250 1、0.179 5、0.242 6。

因此,十種故障排序?yàn)?A9→A6→A5→A4→A10→A2→A8→A7→A1→A3。

由表3可知,利用本文方法做5次實(shí)驗(yàn),其故障排序依次為:

1)A9→A5→A6→A4→A2→A8→A10→A7→A1→A3;

2)A9→A5→A6→A4→A8→A10→A7→A2→A1→A3;

3)A9→A5→A6→A4→A8→A10→A2→A7→A1→A3;

4)A9→A5→A6→A4→A8→A10→A7→A2→A1→A3;

5)A9→A5→A6→A4→A8→A10→A2→A7→A1→A3。

本文方法與上述方法的比較分析結(jié)果見圖2。

圖2 對B2的診斷Fig.2 Diagnosis of B2

對于待測樣本B2而言,運(yùn)用余切相似度方法進(jìn)行診斷,位居前三的故障原因依次為軸承座松動A9、共生松動故障A6、轉(zhuǎn)子徑向碰摩A5,最不可能的原因是不對中A3、不平衡A1、推力軸承損壞A7。運(yùn)用本文方法進(jìn)行故障診斷,位居前三的故障原因依次為A9、A5、A6,最不可能的原因是A7、A1、A3。上述結(jié)果與文獻(xiàn)[6]及文獻(xiàn)[23]所提方法的診斷結(jié)果雖有差異,但基本一致,說明本文所提方法正確可行。

4 結(jié) 語

通過聚合邏輯蘊(yùn)涵算子的方式,在單值中智集間定義了一種新的距離模式,并應(yīng)用于汽輪機(jī)的振動故障診斷中。針對汽輪機(jī)的兩種待測樣本B1和B2,利用新提出的距離算法分別進(jìn)行了5次實(shí)驗(yàn),將所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與余弦距離度量、余切距離度量的故障診斷結(jié)果進(jìn)行了比較分析,驗(yàn)證了本文方法的有效性和合理性?；谶壿嬏N(yùn)涵算子的故障診斷方法不僅為單值中智集環(huán)境下汽輪機(jī)的故障診斷提供了一種新的途徑,而且擴(kuò)展了邏輯蘊(yùn)涵算子的應(yīng)用范圍。在后續(xù)工作中,有必要將基于邏輯蘊(yùn)涵算子的單值中智集間的距離算法擴(kuò)展到其他應(yīng)用,如決策、模式識別和醫(yī)學(xué)診斷等。