劉遠(yuǎn)賀，黎克波，*，何紹溟，梁彥剛

1.國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410072

2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410072 3.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081

飛行時(shí)間控制制導(dǎo)（Impact-Time-Control Guidance， ITCG）的概念最早由Jeon等［1］提出，主要應(yīng)用于反艦導(dǎo)彈齊射攻擊，以使目標(biāo)艦艇的近防系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)防御能力趨于飽和，從而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈突防。ITCG主要針對(duì)的是固定或慢速移動(dòng)目標(biāo)，例如建筑工事、車輛、水面艦艇等。由于目標(biāo)速度相對(duì)于導(dǎo)彈速度而言較小，通常在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)與分析中可將其近似為固定目標(biāo)［2］。

當(dāng)前對(duì)ITCG的研究主要基于導(dǎo)彈飛行速度為常數(shù)的假設(shè)。文獻(xiàn)［3］基于高斯超幾何函數(shù)推導(dǎo)了純比例導(dǎo)引律（Pure Proportional Navigation， PPN）制導(dǎo)下導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)的剩余飛行時(shí)間精確解，并提出了一種控制導(dǎo)彈飛行時(shí)間的修正純比例導(dǎo)引律。然而該制導(dǎo)律形式較為復(fù)雜，制導(dǎo)參數(shù)過(guò)多，可能帶來(lái)應(yīng)用上的困難。文獻(xiàn)［4］基于誤差動(dòng)力學(xué)（Error Dynamics， ED）方法，在PPN的基礎(chǔ)上增加飛行時(shí)間控制項(xiàng)，提出了一種基于ED的ITCG（ED-ITCG）。文獻(xiàn)［5］基于施瓦茨不等式提出了非線性最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)（Optimal Error Dynamics， OED）方法，并提出了一種基于OED的ITCG（OEDITCG）。文獻(xiàn)［6］進(jìn)一步提出了一種具有導(dǎo)引頭視場(chǎng)角約束的三維OED-ITCG。文獻(xiàn)［7］發(fā)展了ED方法，提出了固定時(shí)間收斂的誤差動(dòng)力學(xué)方法（Fixed-Time-Convergent Error Dynamics，F(xiàn)xTCED），然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種基于FxTCED的ITCG（FxTCED-ITCG），該方法可以使導(dǎo)彈的飛行時(shí)間誤差在設(shè)定的固定時(shí)間內(nèi)收斂到0，而此固定時(shí)間與初始相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。文獻(xiàn)［8］基于FxTCED方法，引入了導(dǎo)引頭視場(chǎng)約束，設(shè)計(jì)了三維分布式多彈時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律不包含切換邏輯，制導(dǎo)指令平滑且無(wú)奇異。以上研究主要基于誤差動(dòng)力學(xué)方法，除此之外，還有很多學(xué)者采用其他現(xiàn)代控制理論對(duì)ITCG制導(dǎo)律進(jìn)行研究［9-11］。

對(duì)于ITCG問題，雖然名義上控制的是導(dǎo)彈總飛行時(shí)間，然而實(shí)際上控制的卻是剩余飛行時(shí)間，即導(dǎo)彈命中目標(biāo)時(shí)刻與當(dāng)前時(shí)刻的時(shí)間差。若要控制剩余飛行時(shí)間，首先需要對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。上述ITCG對(duì)剩余飛行時(shí)間的估計(jì)算法都基于常速導(dǎo)彈假設(shè)。在實(shí)際飛行過(guò)程中，導(dǎo)彈速度總是在時(shí)變的，特別是對(duì)于某些空地導(dǎo)彈或高超聲速導(dǎo)彈，其俯沖段的速度變化可能高達(dá)60%。在導(dǎo)彈速度時(shí)變的情況下，采用常速導(dǎo)彈假設(shè)的剩余飛行時(shí)間估計(jì)算法，其精度將大打折扣，從而導(dǎo)致ITCG的控制精度下降，甚至失效而導(dǎo)致脫靶。

基于古典微分幾何曲線原理，在導(dǎo)彈飛行彈道的弧長(zhǎng)域內(nèi)構(gòu)造導(dǎo)彈絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，是一種研究導(dǎo)彈制導(dǎo)問題的新方法。文獻(xiàn)［12-16］基于古典微分幾何曲線原理研究了用于攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的微分幾何制導(dǎo)律。在打擊固定目標(biāo)方面，文獻(xiàn)［17］首次引入沿飛行彈道的弧長(zhǎng)微分來(lái)研究導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分析了PPN制導(dǎo)下變速導(dǎo)彈對(duì)固定目標(biāo)的捕獲區(qū)域。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［18］推導(dǎo)了PPN導(dǎo)引下變速導(dǎo)彈碰撞角和當(dāng)前導(dǎo)彈前置角、視線角與比例導(dǎo)引系數(shù)的顯式關(guān)系，提出了基于PPN的碰撞角控制制導(dǎo)策略。然而，該制導(dǎo)策略雖然消除了導(dǎo)彈速度時(shí)變帶來(lái)的影響，卻不能用于控制導(dǎo)彈的飛行時(shí)間。雖然近期文獻(xiàn)［19］應(yīng)用古典微分幾何曲線原理和雙虛擬目標(biāo)方法設(shè)計(jì)了用于控制導(dǎo)彈飛行時(shí)間的圓弧制導(dǎo)律，然而該方法卻是基于常速導(dǎo)彈假設(shè)。

實(shí)際上，對(duì)于速度變化較為劇烈的導(dǎo)彈而言，由于對(duì)剩余飛行時(shí)間難以準(zhǔn)確估計(jì)，因而也難以準(zhǔn)確控制。無(wú)論直接采用基于常速導(dǎo)彈假設(shè)下推導(dǎo)的ITCG和剩余飛行時(shí)間估計(jì)方法，還是通過(guò)相對(duì)精確的建模計(jì)算平均速度的方法［20-22］，在導(dǎo)彈速度時(shí)變的情況下，理論上都無(wú)法對(duì)導(dǎo)彈飛行時(shí)間進(jìn)行精確控制。然而，通過(guò)對(duì)弧長(zhǎng)域內(nèi)的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)打擊固定目標(biāo)而言，可以在相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程中直接消除導(dǎo)彈速度項(xiàng)，進(jìn)而可得出結(jié)論——導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)的剩余飛行路程與其飛行速度無(wú)關(guān)，因而可對(duì)導(dǎo)彈的剩余飛行路程進(jìn)行精確估計(jì)，從而對(duì)其進(jìn)行精確控制。因此，本文將導(dǎo)彈飛行時(shí)間控制問題分解為飛行路程控制問題和速度剖面預(yù)測(cè)問題，應(yīng)用古典微分幾何曲線原理研究飛行路程控制問題。

與ITCG問題相類似，飛行路程控制問題通常也需使導(dǎo)彈彈道更加彎曲，即期望剩余飛行路程通常比PPN導(dǎo)引下的導(dǎo)彈實(shí)際剩余飛行路程更長(zhǎng)，因此存在前置角增大甚至超過(guò)90°的可能性。在此情況下，文獻(xiàn)［22-23］中所給出的剩余飛行路程估計(jì)公式的誤差也會(huì)增大，且相應(yīng)導(dǎo)數(shù)的誤差更大。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，在前置角為60°時(shí)，雖然剩余飛行路程誤差僅為1%左右，但其導(dǎo)數(shù)的誤差卻達(dá)到接近30%的程度，這進(jìn)一步增加了制導(dǎo)律失效的風(fēng)險(xiǎn)。文獻(xiàn)［24］證明了PPN的導(dǎo)引性能與導(dǎo)彈速度無(wú)關(guān)，并推導(dǎo)了PPN導(dǎo)引下導(dǎo)彈剩余飛行路程的積分解。借鑒文獻(xiàn)［3］中的高斯超幾何函數(shù)方法，在積分解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步推導(dǎo)了剩余飛行路程的精確解，并得到了精確剩余飛行路程誤差動(dòng)力學(xué)方程，從而消除了小角假設(shè)這一制導(dǎo)律設(shè)計(jì)所廣泛采用的假設(shè)條件。

綜上所述，針對(duì)導(dǎo)彈速度時(shí)變的現(xiàn)實(shí)情況，不考慮小角假設(shè)和其他近似假設(shè)，在制導(dǎo)模型完全非線性條件下，首先基于古典微分幾何曲線原理和弧長(zhǎng)域內(nèi)的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，將導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為剩余飛行路程估計(jì)問題。然后基于高斯超幾何函數(shù)方法，推導(dǎo)了PPN導(dǎo)引下導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)的剩余飛行路程精確解。接著在此基礎(chǔ)上提出了基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)的全局非線性飛行路程控制制導(dǎo)律（OED based Flying Range Control Guidance， OEDFRCG），即將PPN當(dāng)成導(dǎo)彈制導(dǎo)模型的一部分，應(yīng)用OED方法消除導(dǎo)彈飛行路程誤差。最后，通過(guò)數(shù)值仿真算例，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的有效性?？傮w結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹了導(dǎo)彈非線性制導(dǎo)模型；第2節(jié)基于高斯超幾何函數(shù)方法推導(dǎo)了PPN導(dǎo)引下變速導(dǎo)彈的剩余飛行路程精確解；在此基礎(chǔ)上，第3節(jié)進(jìn)一步推導(dǎo)了變速導(dǎo)彈精確剩余飛行路程的誤差動(dòng)力學(xué)方程，并應(yīng)用最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)方法設(shè)計(jì)了具有全局非線性的最優(yōu)飛行路程控制制導(dǎo)律OED-FRCG；第4節(jié)和第5節(jié)分別給出了數(shù)值仿真算例和結(jié)論。

1 導(dǎo)彈制導(dǎo)模型

導(dǎo)彈制導(dǎo)模型如圖1所示，oxy是慣性坐標(biāo)系，M和T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)，vm為導(dǎo)彈速度矢量，r為彈目相對(duì)位置矢量。(er，eθ)為視線坐標(biāo)系，(tm，nm)為導(dǎo)彈速度坐標(biāo)系。q為視線角，從ox軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至er為正；φm為導(dǎo)彈速度傾角，從ox軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至tm為正；θm是導(dǎo)彈前置角，從er逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至tm為正。

圖1 導(dǎo)彈制導(dǎo)模型Fig.1 Missile guidance model

在二維平面oxy上，可得導(dǎo)彈在弧長(zhǎng)域內(nèi)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為［17］

式中：κm為導(dǎo)彈飛行彈道的曲率，“′ ”表示變量對(duì)彈道弧長(zhǎng)s的導(dǎo)數(shù)，本文以κm為制導(dǎo)指令來(lái)設(shè)計(jì)制導(dǎo)律。

文獻(xiàn)［13］給出了弧長(zhǎng)域內(nèi)的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)目標(biāo)固定時(shí)，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

考慮飛行路程約束，該系統(tǒng)的初始和終端約束條件是以弧長(zhǎng)為變量的函數(shù)：

式中：s0為制導(dǎo)開始時(shí)刻的飛行路程；sf為碰撞時(shí)刻的飛行路程；sd為期望的飛行路程。

矢量形式的PPN表達(dá)式為［3］

式中：N為比例導(dǎo)引系數(shù)；q?為視線轉(zhuǎn)率；ez為垂直于oxy平面向上的單位矢量。當(dāng)目標(biāo)固定時(shí)，彈目相對(duì)速度矢量v和導(dǎo)彈速度矢量vm重合，有v=-vm。

將v沿視線系投影可得

聯(lián)立式（1）、式（4）和式（5），可得弧長(zhǎng)域內(nèi)PPN的表達(dá)式為

文獻(xiàn)［24］給出了PPN導(dǎo)引下的變速導(dǎo)彈前置角θm和彈目相對(duì)距離r的關(guān)系為

下面在上述PPN導(dǎo)引下變速導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)的非線性制導(dǎo)模型基礎(chǔ)上，在弧長(zhǎng)域內(nèi)推導(dǎo)導(dǎo)彈剩余飛行路程的精確解。

2 剩余飛行路程精確解

基于高斯超幾何函數(shù)方法［3］，推導(dǎo)PPN導(dǎo)引下變速導(dǎo)彈剩余飛行路程的精確解。

當(dāng)|θm|≤π2時(shí)，將式（7）代入式（2），以彈目相對(duì)距離r為變量，經(jīng)整理后可得：

由于終點(diǎn)時(shí)刻彈目相對(duì)距離r收斂到0，因此對(duì)式（8）兩邊積分，可以計(jì)算終點(diǎn)時(shí)刻導(dǎo)彈飛行軌跡的長(zhǎng)度，即終點(diǎn)飛行路程：

由式（9）可知，從當(dāng)前時(shí)刻到終端時(shí)刻的飛行軌跡路程為

即為當(dāng)前剩余飛行路程，有sgo=sf-s，s為導(dǎo)彈的當(dāng)前飛行路程。

令τ=()2(N-1)，根據(jù)高斯超幾何函數(shù)的積分形式［3］，式（10）可以改寫為

式（11）還可以表示為無(wú)窮級(jí)數(shù)形式：

其中：

式（12）即為剩余飛行路程sgo的估計(jì)值。所取項(xiàng)數(shù)越多，該估計(jì)值越精確。當(dāng)只取第1項(xiàng)時(shí)，sgo可近似表示為

即將彈目相對(duì)距離近似為導(dǎo)彈剩余飛行路程。

當(dāng)取前兩項(xiàng)時(shí)，sgo可近似表示為

當(dāng)前置角θm為小量時(shí)，有sinθm≈θm，此時(shí)式

（14）可進(jìn)一步近似為

式（15）即類似于文獻(xiàn)［4-5］中剩余飛行時(shí)間估計(jì)常采用的一階近似形式。

當(dāng)π2＜|θm|＜π時(shí)，采用相似的計(jì)算步驟可得：

綜合式（12）和式（16），可得剩余飛行路程精確解為

將該無(wú)窮級(jí)數(shù)的精確解形式表示成有限級(jí)數(shù)的近似解形式，有：

式中：m為大于等于0的正整數(shù)，取值越大，所得結(jié)果的誤差越小。

通過(guò)仿真算例，將常用1階近似解式（15）、有限級(jí)數(shù)近似解式（18）同無(wú)窮級(jí)數(shù)表示的精確解式（17）之間的誤差做對(duì)比分析，如圖2和圖3所示。

圖2 常用1階近似和精確解之間的誤差Fig.2 Error between comman approximation and exact solution

圖3 剩余飛行路程級(jí)數(shù)解誤差（N = 3）Fig.3 Error of series solution for flying-range-to-go（N = 3）

由圖2可知，前置角θm越小，sgo估計(jì)誤差越??；比例導(dǎo)引系數(shù)N越大，sgo估計(jì)誤差越小。當(dāng)θm＜90°、N取3～5時(shí)，估計(jì)誤差保持在5%以內(nèi)。然而，當(dāng)θm＞90°時(shí)，估計(jì)誤差快速增大，此時(shí)近似估計(jì)式（15）不再適用。

圖3為比例導(dǎo)引系數(shù)N=3時(shí)，sgo級(jí)數(shù)解式（18）取有限項(xiàng)的誤差與θm之間的關(guān)系。由圖3可知，級(jí)數(shù)項(xiàng)m取得越大，估計(jì)誤差越小。并且由仿真結(jié)果還可發(fā)現(xiàn)，在0°～90°范圍內(nèi)，常用1階近似式（15）的估計(jì)誤差明顯優(yōu)于級(jí)數(shù)解的1階近似結(jié)果，但在θm超過(guò)90°后，式（15）的估計(jì)誤差快速增大，在140°左右時(shí)超過(guò)式（18）1階近似的誤差。另外，當(dāng)式（18）取20階以上時(shí)，其估計(jì)誤差始終小于式（15）。

3 飛行路程控制制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

3.1 弧長(zhǎng)域內(nèi)的最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)

導(dǎo)彈制導(dǎo)的本質(zhì)是有限時(shí)間誤差跟蹤問題［5］。跟蹤問題在弧長(zhǎng)域內(nèi)通常可以表示為

式中：ε(s)為跟蹤誤差；κ(s)為控制輸入；g(s)為已知的函數(shù)。在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中，跟蹤誤差ε(s)可以選為零控脫靶量、碰撞角度誤差、飛行時(shí)間誤差（或飛行路程誤差）、視線角轉(zhuǎn)率等。此外，由于跟蹤問題一般是可控的，因此有g(shù)(s)≠0。

考慮誤差收斂模式的最優(yōu)性問題，文獻(xiàn)［5］提出了一種最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)方法，將其在弧長(zhǎng)域中表述，可得引理1。

引理 1對(duì)于式所示的跟蹤問題，選擇期望的誤差動(dòng)力學(xué)方程為

式中：sgo為剩余飛行路程，Γ(s)表達(dá)式為

則控制輸入為

可以使式（22）所示的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)：

式中：H(·)為權(quán)重函數(shù)。

對(duì)于引理1，當(dāng)取H(s)=1，性能指標(biāo)變?yōu)榍史e分最小，等價(jià)于能量最優(yōu)的形式。當(dāng)取則此時(shí)Γ(s)=K，而式（23）所示的加權(quán)性能指標(biāo)變?yōu)?/p>

3.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

將弧長(zhǎng)域內(nèi)基于PPN的FRCG設(shè)計(jì)為

式中：κPPN=Nq′為純比例導(dǎo)引項(xiàng)，用于控制零控脫靶量；κFR為飛行路程控制項(xiàng)，用于控制飛行路程誤差。

令期望的終端飛行路程為sd，那么飛行路程誤差可以定義為

由于式（17）所示的sgo精確解只與相對(duì)距離r、前置角θm和比例導(dǎo)引系數(shù)N相關(guān)，因此將式（17）對(duì)導(dǎo)彈弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，當(dāng)|θm|≤π2時(shí)，有

其中，2個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為

將式（27）和式（28）代入式（26），整理可得：

其中：

不難證明M1=-1。對(duì)于M2，當(dāng)級(jí)數(shù)取有限項(xiàng)時(shí)，即為其近似值，例如，當(dāng)取前兩項(xiàng)時(shí)，有：

當(dāng)前置角θm為小量時(shí)，式（30）可進(jìn)一步近似為

式（31）與文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］在常速導(dǎo)彈假設(shè)下所推導(dǎo)的ITCG中飛行時(shí)間控制項(xiàng)的系數(shù)形式相一致，這是因?yàn)镻PN導(dǎo)引的導(dǎo)彈飛行路程與其速度大小無(wú)關(guān)，而在導(dǎo)彈速度大小不變的假設(shè)下，導(dǎo)彈飛行路程是飛行時(shí)間與導(dǎo)彈速度的乘積，因此兩種制導(dǎo)律的系數(shù)形式相同。

當(dāng)π2＜|θm|＜π時(shí)，采用相似的推導(dǎo)步驟，也可得到如式（29）所示的形式。因此，M2的完整表達(dá)式應(yīng)為

將式（25）對(duì)弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，并代入式（29），可得導(dǎo)彈飛行路程誤差動(dòng)力方程：

其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)性能指標(biāo)即為式（23）。

聯(lián)立式（33）和式（34），可得基于sgo精確解的最優(yōu)飛行路程控制項(xiàng)為

利用Lyapunov函數(shù)方法證明所設(shè)計(jì)的飛行路程控制項(xiàng)的收斂性。在弧長(zhǎng)域內(nèi)選擇關(guān)于導(dǎo)彈飛行路程誤差的Lyapunov函數(shù)為

將該Lyapunov函數(shù)對(duì)導(dǎo)彈弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，并先后將式（33）和式（35）代入，可得：

式（37）存在解析解：

當(dāng)V(0)≠0時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)s=sf時(shí)，V(s)收斂到0，這意味著飛行路程誤差在碰撞時(shí)刻收斂到0，即飛行路程誤差是有限時(shí)間收斂的，且收斂時(shí)間為碰撞時(shí)刻。

將式（35）代入式（24），可得OED-FRCG：

根據(jù)式（1）中曲率與加速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將式（39）所示的弧長(zhǎng)域內(nèi)的制導(dǎo)曲率指令表示為時(shí)間域內(nèi)的制導(dǎo)加速度指令，可得：

對(duì)于飛行路程控制項(xiàng)分母中的M2，當(dāng)前置角θm→0時(shí)，有M2→0，將會(huì)導(dǎo)致飛行路程控制項(xiàng)奇異，因此采取如下去奇異化手段：

式中：δ為一個(gè)較小的常數(shù)，當(dāng)M2→0時(shí)在分母中起主導(dǎo)作用。

文獻(xiàn)［5］基于最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)方法提出了OED-ITCG，實(shí)際上也可將其表示為飛行時(shí)間精確解的形式：

其中，M2即為式（32）所示的形式。

對(duì)比本文提出的OED-FRCG和文獻(xiàn)［5］中的OED-ITCG，可以發(fā)現(xiàn)，在常速導(dǎo)彈場(chǎng)景中，式（40）完全等價(jià)于式（42）；而在變速導(dǎo)彈場(chǎng)景中，則不可能得到導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間的精確解。然而，根據(jù)本文分析可知，在PPN導(dǎo)引下，導(dǎo)彈的剩余飛行路程與其速度大小完全無(wú)關(guān)，因此可將導(dǎo)彈的飛行時(shí)間控制問題轉(zhuǎn)換為飛行路程控制問題，可從理論上消除導(dǎo)彈速度變化對(duì)飛行路程控制帶來(lái)的影響，下面通過(guò)仿真驗(yàn)證這一結(jié)果。

4 數(shù)值仿真

以變速導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)為背景，彈目初始相對(duì)距離r0=10 000 m，初始彈目視線角q0=-30°，導(dǎo)彈初始速度前置角θm0=30°。導(dǎo)引頭盲區(qū)距離為50 m，導(dǎo)彈最大過(guò)載為20g，去奇異化參數(shù)設(shè)置為δ=0.01。仿真步長(zhǎng)為1 ms。導(dǎo)彈速度大小時(shí)變，假設(shè)導(dǎo)彈沿速度方向的阻力加速度是-5 m/s2，使其速度不斷降低。

4.1 OED-FRCG特性分析

場(chǎng)景1 不同初始速度

比例導(dǎo)引系數(shù)取N=3，飛行路程控制項(xiàng)系數(shù)取K=10，期望飛行路程為sd=12 000 m，3枚導(dǎo)彈的初始速度分別為vm0=500、400、350 m/s，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 導(dǎo)彈速度大小不同的仿真結(jié)果Fig.4 Results of simulation with different missile speeds

導(dǎo)彈飛行軌跡如圖4（a）所示，可知雖然導(dǎo)彈速度不同，但在OED-FRCG導(dǎo)引下的軌跡重合。圖4（b）顯示了導(dǎo)彈飛行時(shí)間和飛行路程的關(guān)系，3枚導(dǎo)彈均飛行了12 000 m，但其速度越大，飛行時(shí)間越短。圖4（c）和圖4（d）分別為制導(dǎo)加速度隨時(shí)間的變化曲線和制導(dǎo)曲率隨路程的變化曲線，從圖4（c）很難得到速度不同導(dǎo)彈的制導(dǎo)加速度的相同性質(zhì)，但圖4（d）的制導(dǎo)曲率重合，這說(shuō)明OED-FRCG的制導(dǎo)曲率與導(dǎo)彈速度大小及其變化規(guī)律無(wú)關(guān)，這與本文的理論推導(dǎo)是一致的。此外，如圖4（e）～圖4（h）所示，當(dāng)以飛行路程s為自變量時(shí)，在同一OED-FRCG的導(dǎo)引下，不同速度導(dǎo)彈的制導(dǎo)曲率、視線轉(zhuǎn)率、視線角、速度傾角、前置角和飛行路程誤差變化曲線等都重合，這說(shuō)明在弧長(zhǎng)域中設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律及其性能與導(dǎo)彈速度大小和速度變化均無(wú)關(guān)系，可以消除導(dǎo)彈速度變化對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析和制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的影響。為了進(jìn)行統(tǒng)一的對(duì)比分析，在下文的仿真中，結(jié)果都以時(shí)間作為自變量來(lái)展示。

場(chǎng)景2 不同期望飛行路程

初始仿真場(chǎng)景不變，制導(dǎo)參數(shù)選擇為N=3，K=10。對(duì)于采用PPN導(dǎo)引的導(dǎo)彈，其總的飛行路程為10 281 m。3枚導(dǎo)彈的初始速度均為vm0=500 m/s，不妨設(shè)置導(dǎo)彈的期望飛行路程分別為sd=11 000、12 000、13 000 m，仿真結(jié)果如圖5所示。

導(dǎo)彈飛行軌跡如圖5（a）所示，可知期望飛行路程越大，導(dǎo)彈的飛行軌跡越彎曲。圖5（b）為導(dǎo)彈飛行路程誤差變化曲線，如圖所示，導(dǎo)彈飛行路程誤差的收斂速度主要受制導(dǎo)律參數(shù)所決定，與期望飛行路程的大小無(wú)關(guān)。制導(dǎo)加速度變化曲線如圖5（c）所示，期望飛行路程越大，初始制導(dǎo)加速度越大，需要合理選擇制導(dǎo)參數(shù)，避免過(guò)載飽和。導(dǎo)彈前置角變化曲線如圖5（d）所示，3枚導(dǎo)彈的前置角都是先增大后減小，在碰撞時(shí)刻收斂到0。根據(jù)該仿真結(jié)果可知，對(duì)于變速導(dǎo)彈的飛行路程控制，應(yīng)選擇合適的終端飛行路程，以避免導(dǎo)彈制導(dǎo)加速度指令過(guò)大。

場(chǎng)景3 不同制導(dǎo)參數(shù)

初始仿真場(chǎng)景仍然不變，比例導(dǎo)引系數(shù)取N=3，期望飛行路程為sd=12 000 m。3枚導(dǎo)彈的時(shí)間控制項(xiàng)系數(shù)分別取K=5、10、15，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 制導(dǎo)參數(shù)不同的仿真結(jié)果Fig.6 Results of simulation with different guidance parameters

圖6（a）和圖6（b）分別為導(dǎo)彈飛行軌跡和導(dǎo)彈飛行路程誤差變化曲線，由圖可知，時(shí)間控制項(xiàng)系數(shù)K越大，導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡在初始階段越彎曲，相應(yīng)的飛行路程誤差收斂越快。導(dǎo)彈制導(dǎo)加速度、前置角和視線轉(zhuǎn)率變化曲線如圖6（c）～圖6（e）所示，可知K越大，初始制導(dǎo)加速度也越大，前置角和視線轉(zhuǎn)率的變化也越劇烈。能量消耗曲線見圖6（f），參數(shù)K越大，能量消耗越多，這是因?yàn)樵谥茖?dǎo)開始階段，K越大，F(xiàn)RCG產(chǎn)生的制導(dǎo)加速度也越大，相應(yīng)的飛行路程誤差收斂得也越快，同時(shí)能量消耗也越多。但K也不能太小，因?yàn)楫?dāng)K取值比較小時(shí)，在臨近碰撞的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)制導(dǎo)加速度突變的情況，這是因?yàn)镺ED方法是漸近收斂的，在導(dǎo)彈擊中目標(biāo)前后如果誤差未收斂到足夠小，而此時(shí)剩余飛行路程sgo已經(jīng)比較小了，則飛行路程控制項(xiàng)會(huì)越來(lái)越大，此即碰撞前制導(dǎo)加速度陡增的原因，這也是文獻(xiàn)［7-8］提出固定時(shí)間/有限時(shí)間收斂誤差動(dòng)力學(xué)的原因。進(jìn)入導(dǎo)引頭盲區(qū)后，因飛行路程誤差和視線轉(zhuǎn)率未收斂到0，彈目相對(duì)距離快速減小，也就出現(xiàn)了視線角和前置角陡變的情況。

4.2 不同制導(dǎo)律性能對(duì)比

以期望飛行路程sd=12 000 m為例，當(dāng)導(dǎo)彈速度保持500 m/s不變時(shí)，其期望飛行時(shí)間為24 s；當(dāng)導(dǎo)彈速度按4.1節(jié)所設(shè)定的規(guī)律變化時(shí)，其期望飛行時(shí)間為27.9 s。在速度不變和速度變化的場(chǎng)景中，對(duì)比式所示的OED-FRCG、式所示的OED-ITCG和文獻(xiàn)［22］中基于偏置比例導(dǎo)引的ITCG（BPN-ITCG）。OED-FRCG和OEDITCG的制導(dǎo)參數(shù)設(shè)置相同，均取比例導(dǎo)引系數(shù)N=3，時(shí)間或路程控制項(xiàng)系數(shù)K=10；BPNITCG的制導(dǎo)參數(shù)分別取k1=1，k2=100。與前2種制導(dǎo)律不同的是，BPN-ITCG需要建立導(dǎo)彈速度變化模型，并預(yù)測(cè)導(dǎo)彈未來(lái)平均速度，因此在變速導(dǎo)彈仿真場(chǎng)景中OED-ITCG采用導(dǎo)彈實(shí)時(shí)速度進(jìn)行計(jì)算，BPN-ITCG采用導(dǎo)彈未來(lái)平均速度進(jìn)行計(jì)算。

場(chǎng)景1 導(dǎo)彈速度大小不變

當(dāng)導(dǎo)彈速度不變時(shí)，設(shè)置期望飛行時(shí)間為td=24 s，期望飛行路程為sd=12 000 m，3種制導(dǎo)律的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 3種制導(dǎo)律仿真結(jié)果（常速）Fig.7 Results of simulation with three guidance laws （constant speed）

由圖7（a）可知，在導(dǎo)彈速度大小不變的場(chǎng)景中，3種制導(dǎo)律導(dǎo)引的導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡幾乎重合。由圖7（b）～圖7（d）可知，OED-FRCG和OEDITCG的性能是相同的，而BPN-ITCG導(dǎo)引的導(dǎo)彈飛行時(shí)間誤差收斂更快，最大制導(dǎo)加速度較小。但總體而言，3種制導(dǎo)律在導(dǎo)彈速度大小不變的場(chǎng)景中具有相似的性能，下面在導(dǎo)彈速度大小變化的場(chǎng)景中分析3種制導(dǎo)律的差異。

場(chǎng)景2 導(dǎo)彈速度大小變化

由于在導(dǎo)彈速度大小變化的場(chǎng)景中，期望飛行路程為sd=12 000 m時(shí)，其飛行時(shí)間為27.9 s。為了方便對(duì)比3種制導(dǎo)律的性能，設(shè)置期望飛行時(shí)間為td=27.9 s，其他仿真參數(shù)不變，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 3種制導(dǎo)律仿真結(jié)果（變速）Fig.8 Results of simulation with three guidance laws （varying speed）

導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡、飛行路程/時(shí)間誤差如圖8（a）和圖8（b）所示，可知3種制導(dǎo)律導(dǎo)引的導(dǎo)彈均能擊中目標(biāo)，但OED-ITCG的飛行時(shí)間誤差不能收斂到0，這是由變速導(dǎo)彈無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)剩余飛行時(shí)間造成的。圖8（c）為導(dǎo)彈制導(dǎo)加速度變化曲線，OED-FRCG和BPN-ITCG的制導(dǎo)加速度曲線均先下降后上升，且在制導(dǎo)末端收斂到0，但OED-FRCG的曲線較平滑，而BPNITCG的制導(dǎo)加速度在4 s左右時(shí)存在較快的變化。另外，OED-ITCG的制導(dǎo)加速度在末端發(fā)生抖震，這是因?yàn)樵趯?dǎo)彈碰撞目標(biāo)前OEDITCG仍未能消除剩余飛行時(shí)間誤差εt，而分母中的tgo和θm已減小到0附近，因而飛行時(shí)間制導(dǎo)項(xiàng)出現(xiàn)奇異，導(dǎo)致制導(dǎo)加速度陡增。雖然通過(guò)去奇異化可以消除θm趨于0的影響，卻不能夠消除tgo估計(jì)不準(zhǔn)的影響。更進(jìn)一步地，圖8（d）中的導(dǎo)彈前置角變化曲線也說(shuō)明OED-ITCG的前置角在15s左右就收斂到0了，此后OED-ITCG已無(wú)繼續(xù)減小εt的能力。

為方便對(duì)比制導(dǎo)律性能，以O(shè)ED-FRCG導(dǎo)引下的平均速度430.3 m/s為基準(zhǔn)，將飛行路程誤差轉(zhuǎn)換為飛行時(shí)間誤差，3種制導(dǎo)律的性能對(duì)比如表1所示。由于所建立的導(dǎo)彈仿真模型不含測(cè)量誤差、建模不確定性和執(zhí)行機(jī)構(gòu)延遲等，所以3種制導(dǎo)律的脫靶量均較小。在場(chǎng)景1中，OED-FRCG和OED-ITCG性能相同，時(shí)間誤差和脫靶量誤差小量是由離散化的數(shù)值仿真步長(zhǎng)所導(dǎo)致的，可忽略不計(jì)，所需速度增量均低于BPN-ITCG。在場(chǎng)景2中，OED-FRCG依舊保持了場(chǎng)景1中的性能，不止時(shí)間誤差和終端脫靶量最小，并且所需速度增量也最少，而OEDITCG在此場(chǎng)景中未能達(dá)到控制飛行時(shí)間的要求，BPN-ITCG雖然也能滿足控制飛行時(shí)間的要求，但需要對(duì)導(dǎo)彈速度進(jìn)行建模并預(yù)測(cè)未來(lái)平均速度，增加了計(jì)算量和問題復(fù)雜度。

表1 3種制導(dǎo)律性能對(duì)比Table 1 Performance comparison of three guidance laws

綜合以上分析，當(dāng)導(dǎo)彈速度不變時(shí)，OEDFRCG和OED-ITCG的性能相同，且和BPNITCG的性能相似。而當(dāng)導(dǎo)彈速度變化時(shí)，OEDITCG不能達(dá)到預(yù)期的飛行時(shí)間控制目標(biāo)，其原因主要有兩點(diǎn)：其一是飛行時(shí)間控制項(xiàng)主要是對(duì)PPN制導(dǎo)彈道進(jìn)行整形，以消除剩余飛行時(shí)間誤差εt，而一旦彈道進(jìn)入直線飛行階段，εt就不能再減小了；其二是tgo與導(dǎo)彈實(shí)時(shí)速度有關(guān)，導(dǎo)彈速度減小導(dǎo)致tgo增大，而進(jìn)入直線飛行階段的導(dǎo)彈又不再具有進(jìn)一步減少飛行時(shí)間的能力，因而εt也不斷增大。而對(duì)于飛行路程控制問題，由于剩余飛行路程sgo可以準(zhǔn)確估計(jì)，因而本文提出的OED-FRCG可以對(duì)sgo進(jìn)行精確控制，從而對(duì)導(dǎo)彈的總飛行路程進(jìn)行精確控制，而與BPN-ITCG相比，OED-FRCG不需要對(duì)導(dǎo)彈速度變化進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。

5 結(jié) 論

1）針對(duì)變速導(dǎo)彈，在考慮制導(dǎo)系統(tǒng)完全非線性的條件下，應(yīng)用微分幾何基本原理，建立了以飛行彈道弧長(zhǎng)為自變量的導(dǎo)彈絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程和彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，將剩余飛行時(shí)間估計(jì)轉(zhuǎn)化為剩余飛行路程估計(jì)，在建模階段即可避免導(dǎo)彈速度大小變化所帶來(lái)的影響。

2）基于高斯超幾何函數(shù)方法推導(dǎo)了PPN導(dǎo)引下導(dǎo)彈剩余飛行路程的精確解，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步采用最優(yōu)誤差動(dòng)力學(xué)方法，設(shè)計(jì)了具有全局非線性的最優(yōu)飛行路程控制制導(dǎo)律。

3）基于微分幾何曲線原理，提出了一種變速導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)框架，該方法可進(jìn)一步拓展至碰撞角控制制導(dǎo)、多彈協(xié)同制導(dǎo)等新型微分幾何制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中。