萬能，莊其鑫，*，郭彥亨，常智勇，王道

1.西北工業(yè)大學 機電學院，西安 710072

2.中國航發(fā)南方工業(yè)有限公司，株洲 412002

航空發(fā)動機葉片是材料難切削、結(jié)構剛度弱和設計精度要求高的零件。為保證其日益增高的加工精度和效率要求，自適應加工技術成為葉片類零件精密加工的迫切需求。其中，在機測量是加工過程中識別工件當前真實形狀的關鍵技術，能夠在不卸裝夾條件下檢測零件上測量點位置得到工件的形狀［1］。識別到工件真實形狀后要能用于后續(xù)補償加工，因此，不同于三坐標測量機只需評價檢測結(jié)果是否符合設計公差的要求［2］，在機測量是需要依據(jù)離散檢測結(jié)果擬合工件的實際形狀。擬合工件形狀的精度不僅取決于擬合方法，還與測量點采樣策略密切相關。一般地，采樣點數(shù)量越多，擬合工件的形狀就越準確，對此，RENISHAW公司率先開發(fā)出了掃描式測頭，每秒可采集1000個數(shù)據(jù)點，具有高精度、高效率等特點［3］。該測頭依賴復雜的專用軟件和機床配置，購置和應用成本很高，不利于在當前航空發(fā)動機制造企業(yè)中推廣。但航發(fā)制造企業(yè)中大多數(shù)機床上都配有機械觸發(fā)式測頭，如何利用好現(xiàn)有的觸發(fā)式測頭，準確測量和擬合葉片形狀更具有現(xiàn)實應用價值。

為了評價航空發(fā)動機葉片復雜曲面，其測量被簡化為沿積疊軸方向測量一組截面輪廓線。國內(nèi)高校學者針對葉片曲面測量開展了一系列的研究，卜昆等［4］研究了均勻采樣、曲率采樣、弦公差采樣和曲率-弧長采樣等方法對渦輪葉片型線上特征參數(shù)計算精度的影響。Zhao等［5］將自由曲面的檢測簡化為對一些截面線的測量，采用B樣條曲線來逼近檢測的截面線，并將構建B樣條曲線所需的數(shù)據(jù)點作為測量點，通過多個擬合案例驗證了所提方法的有效性。藺小軍等［6］針對薄壁葉片型線測量點分布不均問題，提出了一種測量點分區(qū)域采樣方法，在測量點規(guī)劃時考慮了葉片型線上前后緣和葉盆、葉背過渡區(qū)域加工誤差的分布情況。于紅英等［7］開發(fā)了葉片測量儀專用軟件，集成了葉片上型線的擬合、偏置和匹配等功能。王進［8］采用三次 NURBS 曲線擬合葉片上規(guī)劃的測量點與理論點，分別生成測量輪廓曲線和理論輪廓曲線，該方法已用于實際的葉片輪廓曲線擬合和匹配。這些研究工作為規(guī)劃葉片上測量點分布提供了優(yōu)化依據(jù)。

測量點的疏密直接影響在機測量的效率和擬合測量曲線的精度，對此許多國內(nèi)外學者進行了研究。趙世田等［9］研究了三維型值點數(shù)據(jù)的B樣條曲線重構技術，在設定逼近誤差的要求下迭代計算出最終關鍵點和控制頂點。Sarkar和Menq［10］提出了曲線測量過程中自動控制測量點數(shù)量的算法，通過最小二乘擬合得到光滑參數(shù)曲線和實體模型上的合理測量點。Luche和Morken［11］提出了一種減少B樣條函數(shù)節(jié)點數(shù)的方法，以限定樣條函數(shù)的擾動偏差在給定容差內(nèi)來縮減擬合曲線的數(shù)據(jù)點。Liu等［12］開發(fā)了一種基于較少測量點重建葉片曲面的算法，該方法在考慮葉片型面的設計信息和曲率連續(xù)性的情況下，使用B樣條曲線重構獲得高質(zhì)量的曲面模型。上述文獻重點分析了測量點采樣策略對擬合精度的影響規(guī)律，側(cè)重于擬合算法的改進研究，但沒能揭示在機測量中測量點采樣影響擬合誤差的量化關系。

綜上所述，基于在機測量結(jié)果擬合工件截面輪廓的幾何形狀會引入擬合誤差。通常，測量點個數(shù)越多，工件形狀擬合精度就越高，但同時可能造成部分測量點冗余，會降低在機測量檢測效率，占用機床切削時間。因此，以葉片在機測量工藝規(guī)劃為研究對象，定量分析了測量點分布對擬合誤差的影響規(guī)律，提出了一種考慮擬合精度的航空發(fā)動機葉片在機測量采樣策略，在給定擬合允差的前提下最小化測量點數(shù)量。最后基于檢測離心式葉輪驗證了該方法的可行性和有效性。

1 在機測量系統(tǒng)中誤差源分析

1.1 核心概念定義

航空發(fā)動機葉片類零件在機測量前，通常在葉身設計曲面上規(guī)劃若干截面輪廓線，測量點分布在這些截面輪廓線上［13］，如圖1（a）所示。在這些輪廓線上布置測量點時，常用的采樣方法有等弦高差法、等參數(shù)法、等步長法和自適應采樣法等［14］。在工件切削結(jié)束后，依據(jù)葉片理論設計曲面上規(guī)劃好的測量點，測量得到輪廓上離散的檢測結(jié)果。通過擬合這些檢測結(jié)果得到截面輪廓線，進一步擬合截面輪廓線獲取葉片曲面，擬合的葉片曲面可作為優(yōu)化后續(xù)加工工藝的依據(jù)，如圖1（b）所示。

圖1 葉片曲面降維成一組截面輪廓線Fig.1 Blade surface reduced to a set of section profile curves

三坐標測量機工作環(huán)境穩(wěn)定且本身機械結(jié)構精度高，因此其檢測結(jié)果是工件實際形狀的參考值，可以認為不包含測量誤差。為了后續(xù)分析在機測量系統(tǒng)中的擬合誤差，先給出如下定義：

理論設計曲線：構建葉身理論設計曲面所依賴的一組平面輪廓曲線，記為Cd(t)，t∈[0，1]。

實際加工曲線：加工后葉身上真實的輪廓曲線，記為Cp(t)，該曲線是葉身工件截面輪廓的真值，但無法精確獲取。

理論測量點擬合曲線：在葉片理論設計曲線上按照步長h采樣，得到理論測量點集合，擬合該測量點集合得到曲線Ch(t)。

在機測量點擬合曲線：使用在機測頭檢測理論測量點獲得在機測量檢測結(jié)果，基于檢測結(jié)果擬合得到的曲線Cf(t)。

三坐標測量點擬合曲線：依據(jù)理論測量點使用三坐標測量機檢測，基于三坐標測量機檢測結(jié)果擬合獲得的曲線Cs(t)，作為實際加工曲線的參考值。

理論測量點、在機測量檢測結(jié)果、三坐標測量機檢測結(jié)果和各擬合曲線示意圖見圖2。

圖2 測量點集、理論設計曲線和各擬合曲線示意圖Fig.2 Diagram of measurement points， nominal design curve and each fitted curve.

在擬合上述理論點和檢測結(jié)果時均選用三次準均勻B樣條曲線［15］，該樣條曲線的參數(shù)域為t∈[0，1]，參數(shù)表達式為

式中：r(t)為參數(shù)t的k次分段多項式；Ni，k(t)為B樣條曲線的基函數(shù)；Vi為樣條曲線的控制頂點。

1.2 擬合誤差計算及誤差關系建模

為了評價擬合曲線的擬合精度，提出一種擬合誤差的計算方法，以圖3為例闡述具體計算思路。

圖3 兩樣條曲線間擬合誤差計算原理Fig.3 Calculation principle of fitting error between two splines.

在節(jié)點矢量區(qū)間[ti，ti+1]內(nèi)采集若干節(jié)點

ui(i=1，2，...，j)，通過采集的節(jié)點在樣條曲線段Ci上取出對應的點集為qi，樣條曲線段Ci′上的點集為pi，則曲線Ci和Ci′在節(jié)點矢量區(qū)間[ti，ti+1]內(nèi)的擬合誤差ε可表示為

葉片銑削后的實際加工曲面與理論設計曲面之間存在加工誤差，該誤差無法通過測量手段準確獲取。此外，在機測量時檢測結(jié)果中又會引入測量誤差。因此與理論測量點相比，在機測量結(jié)果中包含了加工誤差和測量誤差。進一步，擬合在機測量檢測結(jié)果時還會引入擬合誤差。對于1.1節(jié)中定義的各曲線，相互之間的誤差關系模型如圖4所示。

圖4 各擬合曲線間的誤差關系模型Fig.4 Error relationship model between fitted curves

分析該模型能夠得到如下結(jié)論：

結(jié)論1由于葉片上實際加工曲線Cp(t)無法獲得，因此無法建立與實際加工曲線相關的誤差等式。

結(jié)論2在機測量點擬合曲線Cf(t)和理論設計曲線Cd(t)之間存在加工誤差、測量誤差和擬合誤差。這些誤差源耦合并作用于擬合曲線Cf(t)上，造成在機測量結(jié)果的擬合誤差|e2(t)|無法直接計算。

由上述兩個結(jié)論可知，在機測量結(jié)果的擬合誤差無法直接計算，但通過對在機測量系統(tǒng)中多源誤差的參數(shù)化建模，能夠建立在機測量結(jié)果的擬合誤差上界模型［16］。在本文中，以逼近程度評價擬合曲線與理論設計曲線之間的相似性，以相似程度評價兩擬合曲線之間的相似性。

2 截面輪廓的在機測量擬合誤差建模

2.1 在機測量擬合誤差建模流程

由1.2節(jié)中結(jié)論可知，加工誤差、測量誤差和擬合誤差等誤差源相互耦合，造成在機測量擬合誤差無法直接定量計算。借鑒放縮變換的思想［17］，將等式問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，利用不等式的傳遞性，在耦合誤差源中通過不等式變換消除加工誤差和測量誤差，進而構建在機測量擬合誤差上界模型。進一步，依據(jù)有限元理論中離散逼近誤差原理構建擬合誤差上界模型與采樣步長之間關系，進而得到由采樣步長表示的在機測量結(jié)果擬合誤差上界等式，通過判斷擬合誤差上界值是否滿足設定的擬合允差量迭代計算出最少的采樣點個數(shù)，具體的計算流程如圖5所示。

圖5 最少測量點數(shù)量計算流程Fig.5 Flowchart of calculating the minimum number of measurement points

2.2 在機測量擬合誤差上界建模

由1.2節(jié)中結(jié)論1可知，由于表示截面輪廓線真值的實際加工曲線Cp(t)不能精確獲得，根據(jù)圖4中各類曲線間存在的誤差關系可歸納出理論設計曲線、理論測量點擬合曲線、在機測量點擬合曲線和三坐標測量點擬合曲線之間的誤差等式，在機測量擬合誤差上界的建模過程如下：

1） 截面輪廓的在機測量中多源誤差關系建模

①由理論測量點擬合的曲線Ch(t)與理論設計曲線Cd(t)之間存在擬合誤差|e1(t)|，如式（3）所示；②根據(jù)在機測量結(jié)果擬合獲得曲線Cf(t)，該曲線包含了加工誤差|M(t)|和在機測量誤差|E(t)|，而與Cd(t)之間還存在擬合誤差|e2(t)|，如式（4）所示；③由式（5）可知，在機測量點擬合曲線Cf(t)和理論測量點擬合曲線Ch(t)之間存在加工誤差|M(t)|、在機測量誤差|E(t)|、擬合誤差|e1(t)-e2(t)|；④對于在機測量點擬合曲線Cf(t)和三坐標測量點擬合曲線Cs(t)之間，有在機測量誤差|E(t)|、擬合誤差|e2(t)-e3(t)|，如式（6）所示；⑤式（7）中理論測量點擬合曲線Ch(t)和三坐標測量點擬合曲線Cs(t)之間存在加工誤差|M(t)|和擬合誤差|e1(t)-e3(t)|；⑥理論設計曲線Cd(t)和三坐標測量點擬合曲線Cs(t)之間存在加工誤差|M(t)|、擬合誤差|e3(t)|，如式（8）所示。

2） 截面輪廓的擬合誤差建模

由于工件切削過程中的加工誤差|M(t)|無法準確獲得，同時與在機測量誤差|E(t)|、擬合誤差等誤差項相耦合。因此，需要基于上述誤差等式消除加工誤差項和測量誤差項，得到僅含有擬合誤差項的等式，計算結(jié)果為

3） 截面輪廓的擬合誤差上界建模

根據(jù)1.2節(jié)中結(jié)論2和式（9）～式（12）可知，截面輪廓的擬合誤差建模得到的等式關系中包含了理論測量點、在機測量結(jié)果和三坐標測量機結(jié)果擬合誤差，無法獲得僅含有在機測量結(jié)果擬合誤差項的等式。但可以構建在機測量擬合誤差的上界模型，以此分離出在機測量結(jié)果擬合誤差?；诜趴s變換思想先對式（11）右邊的擬合誤差進行兩次變換，則有：

將式（6）代入式（13）中，式（13）可重寫為

則測量誤差|E(t)|可變換為

式（8）轉(zhuǎn)變?yōu)閨e3(t)|=|Cd(t)-Cs(t)|-|M(t)|，再結(jié)合式（9）對式（12）中右邊項進行變換，具體過程為

進一步，加工誤差|M(t)|可變換為

最后，由式（4）表示出在機測量擬合誤差|e2(t)|，并結(jié)合式（15）和式（17）進行變換，得到在機測量擬合誤差|e2(t)|的上界為

式中：|Cd(t)-Cs(t)|為理論設計曲線Cd(t)與三坐標測量點擬合曲線Cs(t)間誤差；|Cf(t)-Cs(t)|為在機測量點擬合曲線Cf(t)與三坐標測量點擬合曲線Cs(t)間誤差；|Ch(t)-Cd(t)|為理論測量點擬合曲線Ch(t)與理論設計曲線Cd(t)間誤差；|Cf(t)-Cd(t)|為在機測量結(jié)果擬合曲線Cf(t)與理論設計曲線Cd(t)間誤差；|Ch(t)-Cs(t)|為三坐標測量點擬合曲線Cs(t)與理論測量點擬合曲線Ch(t)間誤差。在本文計算中，|Cd(t)-Cs(t)|、|Cf(t)-Cs(t)|、|Ch(t)-Cd(t)|、|Cf(t)-Cd(t)|和|Ch(t)-Cs(t)|是兩樣條曲線間誤差。

2.3 建立擬合誤差上界模型與采樣步長關系

在機測量擬合誤差上界表達式由理論設計曲線、理論測量點擬合曲線、在機測量點擬合曲線和三坐標測量點擬合曲線相互間的誤差項共同表示。依據(jù)有限元理論中離散逼近誤差方法［18］以及1.2節(jié)中逼近程度、相似程度的定義，建立兩樣條曲線間誤差與采樣步長之間的關系：

式中：h為參數(shù)域內(nèi)的步長；P為擬合曲線的次數(shù)；C1為由理論測量點擬合曲線Ch(t)向理論設計曲線Cd(t)的逼近程度；C2為由在機測量點擬合曲線Cf(t)向理論設計曲線Cd(t)的逼近程度；C3為由三坐標測量點擬合曲線Cs(t)向理論設計曲線Cd(t)的逼近程度；C4為在機測量點擬合曲線Cf(t)和三坐標測量點擬合曲線Cs(t)間的相似程度；C5為三坐標測量點擬合曲線Cs(t)和理論測量點擬合曲線Ch(t)間的相似程度。

因此，在機測量結(jié)果擬合誤差|e2(t)|上界與采樣步長之間的關系為

2.4 擬合誤差上界模型中系數(shù)標定算法

由2.3節(jié)可知，在機測量擬合誤差上界值可進一步采用步長和系數(shù)表示，式（20）中各個系數(shù)值均可采用系數(shù)標定算法計算得到，以計算C1值為例，該算法具體的實施步驟為

步驟1給定初始步長h=ha，依據(jù)等步長法和h在理論設計曲線Cd(t)上采樣一組點集Θn；對于在機測量和三坐標測量機檢測時，需要先根據(jù)經(jīng)驗值設定一個初始小步長hmin，離散得到一組密集的測量點［19］，使用在機測量和三坐標測量機一次檢測所有采樣點獲得檢測結(jié)果，此時再根據(jù)步長h=ha在檢測結(jié)果中取出對應的測量點集合。

步驟2擬合采樣點集Θn得到理論測量點擬合曲線Ch(t)；當計算系數(shù)C2-C5，涉及到在機測量點擬合曲線Cf(t)和三坐標測量點擬合曲線Cs(t)時，需要分別擬合在機測量檢測結(jié)果和三坐標測量機檢測結(jié)果得到對應的曲線。

步驟3計算樣條曲線Ch(t)與Cd(t)之間的二范數(shù)表示為

式中：a、b為參數(shù)域內(nèi)節(jié)點矢量區(qū)間；M為節(jié)點個數(shù)，由步長h和三次準均勻B樣條曲線性質(zhì)決定。

步驟4令式（21）中積分函數(shù)等于f(t)，則式（21）變?yōu)?/p>

步驟5選擇4節(jié)點的高斯積分［20］，對應的高斯積分點值和權重如表1所示，將式（22）中一般定積分問題轉(zhuǎn)化為高斯積分問題，得到：

表1 高斯積分點值和權重Table 1 Gaussian integral points value and weights

步驟6將［-1，1］區(qū)間內(nèi)的高斯積分點轉(zhuǎn)換到樣條基函數(shù)的節(jié)點矢量區(qū)間[a，b]內(nèi)，故當積分節(jié)點數(shù)目為4時，有：

對于積分區(qū)間[a，b]，用線性變換將積分區(qū)間由[a，b]變成［-1，1］， 根據(jù)可得：

將uk、ωk代入式（23）中得到：

則式（22）可以表示為

步驟7對等式|Ch(t)-Cd(t)|=C1·hP+1兩端取對數(shù)，得到：

式中：設y=ln|Ch(t)-Cd(t)|，x=lnh，c=P+1，d=lnC1，則式（28）表示為y=cx+d，解出對應的系數(shù)值C1。

按照上述步驟可以得到系數(shù)C2～C5值，進一步計算得到在機測量結(jié)果擬合誤差|e2(t)|的上界值。在規(guī)劃測量工藝時，為了保證擬合曲線的連續(xù)幾何形狀，根據(jù)葉片的制造公差帶指定在機測量結(jié)果擬合允差量［19］，記為δ，則根據(jù)式（29）可進行在機測量結(jié)果擬合允差量的判定。若符合條件，則對應的步長滿足要求；反之步長取h=h/2 （對于在機測量點擬合曲線和三坐標測量點擬合曲線，需要根據(jù)變換后的步長在獲得的檢測結(jié)果中重新取出對應的測量點），重復執(zhí)行步驟 1～步驟 7并結(jié)合式（29）進行擬合允差量的判定，直至符合精度要求。

3 實驗驗證與分析

借助本文提出的方法以測量某型號離心式葉輪上6個葉片為例驗證其有效性，具體的實驗規(guī)劃流程如圖6所示。實驗中使用的主要設備有RENISHAW OMP 40-2小型高精度觸發(fā)式測頭、北京精雕JDGR200_A10H型五軸機床和蔡司CONTURA 7106型三坐標測量機。

圖6 實驗驗證流程Fig.6 Experimental verification process

3.1 葉片1實驗規(guī)劃與流程

根據(jù)2.4節(jié)中系數(shù)標定算法可知，在測量前需要在葉背的一條樣條曲線上設置初始小步長，取步長h=0.006 25，布置161個測量點，如圖7（a）所示，其部分理論坐標如表2所示。為了獲取葉輪加工后的實際形狀，需要先用三坐標測量機測量規(guī)劃的測量點，如圖7（b）所示，部分測量點的三坐標測量機檢測結(jié)果如表3所示。

表2 葉片1上初始步長下測量點理論坐標Table 2 Nominal coordinates of measuring point under initial step on blade 1

表3 葉片1上初始步長下測量點的三坐標測量機檢測結(jié)果Table 3 CMM inspection results of measuring point under initial step on blade 1

圖7 葉片上測量點規(guī)劃和三坐標測量機檢測過程Fig.7 Measuring point planning on blade and CMM inspection process

在機測量過程中，為了避免機床旋轉(zhuǎn)軸發(fā)生突變以及測頭與工件發(fā)生干涉，規(guī)劃探針軸向時需要保證旋轉(zhuǎn)軸安全、平穩(wěn)的轉(zhuǎn)動［21］。實驗前，使用直徑19.999 7 mm的標準球?qū)υ跈C測頭進行校準，校準數(shù)據(jù)用于補償在機測量檢測結(jié)果，校準過程如圖8（a）所示，對葉片1上161個測量點重復測量10次，取均值作為最終檢測結(jié)果，其在機測量現(xiàn)場如圖8（b）所示。對于直徑為120 mm的離心式葉輪上葉片，其葉背制造公差帶［22-23］一般為0.06～0.1 mm，設定在機測量結(jié)果的擬合允差量［19，24］為0.02 mm，則在機測量擬合誤差上界值迭代計算過程如下：

圖8 測頭標定和葉片測量現(xiàn)場Fig.8 Probe calibration and blade measurement site

1） 取步長h=0.2，在理論設計曲線上采樣6個理論測量點，根據(jù)2.4節(jié)中步驟1及步長分別在初始的161個三坐標測量機檢測結(jié)果和在機測量檢測結(jié)果中取出對應的6個測量點坐標，對擬合誤差上界模型中各曲線進行擬合，并求解系數(shù)C1～C5，由式（29）計算得到在機測量擬合誤差上界值為0.064 3 mm，不滿足在機測量結(jié)果擬合允差量0.02 mm的要求，減小步長再次迭代。

2） 取步長h=0.1時共11個測量點，取出在機測量和三坐標測量機檢測結(jié)果中對應的11個測量點坐標，用于擬合各曲線并求解出在機測量擬合誤差上界值為0.028 8 mm，大于在機測量結(jié)果擬合允差量0.02 mm。進行下一次迭代，迭代步長h=0.05。

3） 采樣21個理論測量點，分別在三坐標測量機和在機測量檢測結(jié)果中取出對應的21個檢測點坐標用于擬合各曲線，計算得到的在機測量擬合誤差上界值為0.018 6 mm，滿足在機測量結(jié)果擬合允差量0.02 mm的要求，停止迭代。

因此，21個測量點為在滿足擬合允差、保證測量工藝效率下的最少測量點數(shù)量。不同測量點數(shù)量下的在機測量擬合誤差上界值如圖9所示。

圖9 不同采樣點個數(shù)下的在機測量擬合誤差上界值Fig.9 Upper bound of fitting error of on-machine measurement with different number of sampling points

3.2 葉片1計算結(jié)果分析

不同采樣點數(shù)量下各曲線間的誤差值如表4所示。在此案例中，步長h=0.05與步長為0.2、0.1時相比，理論設計曲線Cd(t)與理論測量點擬合曲線Ch(t)間誤差值降低，小于0.3 μm，兩曲線具有較高的重合度。而在機測量點擬合曲線Cf(t)、三坐標測量點擬合曲線Cs(t)與理論設計曲線、理論測量點擬合曲線間誤差值均增大，這是由于隨著采樣點個數(shù)增加，計算擬合誤差時引入的在機測量和三坐標測量機檢測誤差增大而造成的。但伴隨著步長的減小，由曲線間誤差和步長二者綜合表征的在機測量結(jié)果擬合誤差上界值減小。當?shù)嬎愠龅脑跈C測量結(jié)果擬合誤差上界滿足設定的擬合允差時，既能夠保證在機測量結(jié)果擬合曲線的連續(xù)幾何形狀，同時測量點數(shù)量最少，有利于提升檢測效率。

表4 不同采樣點個數(shù)下各曲線間誤差Table 4 Error between each curve with different number of sampling points

3.3 有效性驗證與分析

為了進一步驗證葉片1案例中計算結(jié)果的有效性，在其他葉片與葉片1加工質(zhì)量一致性好以及測量工藝一致的前提下，將3.1節(jié)中得到的21個測量點布置在其他5個葉片上相同位置處，如圖10所示。使用在機測量和三坐標測量機檢測各個葉片，并基于提出的方法計算5個葉片上在機測量結(jié)果擬合誤差的上界值，結(jié)果見圖11。

圖10 其他葉片上布置的測量點Fig.10 Measuring points planned on other blades

圖11 其他葉片上測量點擬合誤差的上界值Fig.11 Upper bound of fitting error of measuring points on other blades

分析圖11可知：① 葉片6上測量點的擬合誤差上界值最大，為0.019 2 mm；葉片2上在機測量擬合誤差上界值最小，為0.016 8 mm；5個葉片上測量點的擬合誤差上界值均小于給定的擬合允差量0.02 mm；② 由葉片1案例中計算得到的最少測量點數(shù)量可用于規(guī)劃其他5個葉片上采樣點。這為葉片類曲面零件在機測量中的測量點規(guī)劃提供了一種新思路，有助于提高葉片類零件測量工藝的規(guī)劃效率，實現(xiàn)高效的在機測量。

3.4 其他曲面類零件上應用流程

提出的方法可推廣應用于曲軸、模具和齒輪等具有曲面加工特征零件的在機測量采樣點規(guī)劃。通過獲取截面輪廓線、規(guī)劃測量點、擬合測量結(jié)果曲線、迭代計算采樣步長等關鍵步驟，確定滿足擬合允差時的最少采樣點數(shù)量。以斜齒輪為例闡述具體應用流程：

步驟1在斜齒輪的齒廓曲面上規(guī)劃一組截面輪廓線（即齒廓曲線），并在截面輪廓線上基于等步長法采集一系列初始的理論測量點，如圖12所示。

圖12 齒廓曲面的在機測量應用案例Fig.12 Application case of on-machine measurement of tooth profile surface

步驟2參考齒廓曲面的制造公差合理設定截面輪廓線的在機測量結(jié)果擬合允差量。

步驟3使用三坐標測量機和在機測量檢測所有測量點，并保存測量結(jié)果。

步驟4根據(jù)初始步長h=ha在三坐標測量結(jié)果和在機測量結(jié)果中分別取出對應的檢測點坐標，進而擬合理論測量點、在機測量結(jié)果和三坐標測量結(jié)果獲得理論測量點擬合曲線、在機測量點擬合曲線和三坐標測量點擬合曲線。

步驟5根據(jù)2.3節(jié)和2.4節(jié)中方法計算該步長下在機測量結(jié)果的擬合誤差上界值，并結(jié)合式（29）進行擬合允差量的判定。

步驟6若計算出的擬合誤差上界值滿足擬合允差量的要求，此時該步長對應的測量點數(shù)量最少；否則縮短步長h=h/2，重復執(zhí)行步驟4～步驟6，直至符合設定的擬合允差量要求。

4 結(jié)論

1）提出了一種表征截面輪廓線擬合誤差的方法，能夠從在機測量系統(tǒng)的多源誤差中分離并定量表示出在機測量檢測結(jié)果擬合截面輪廓線的擬合誤差。

2）建立了在機測量結(jié)果擬合誤差上界模型，并提出了在滿足給定的擬合允差量前提下、最小化測量點數(shù)量的優(yōu)化方法。該方法適用于其他具有曲面加工特征的零件，并以斜齒輪為例闡述了其具體應用流程，是一種提升在機測量效率的測量工藝優(yōu)化新思路。

3）以某型號離心式葉輪上葉片的在機測量為例，采用提出的規(guī)劃方法在滿足擬合允差0.02 mm時只需迭代計算3次就可確定最少測量點數(shù)量，并在其他5個葉片上進行了有效性驗證。試驗結(jié)果表明本文提出的方法可行、有效，適用于葉片曲面上測量點采樣規(guī)劃，可為大批量葉片在機測量時的采樣點工藝規(guī)劃提供參考。

4）闡述了在機測量中測量點分布對曲線擬合誤差的影響規(guī)律，在此基礎上，融合采樣點位置以及由曲線擴展至曲面的在機測量檢測點采樣策略可作為下一步研究重點。