王震宇，王計真，楊婧藝，何鵬遠，潘成浩，周凌波，何成，何歡，*

1.南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室，南京 210016

2.南京航空航天大學 振動工程研究所，南京 210016

3.中國飛機強度研究所 結(jié)構(gòu)沖擊動力學航空科技重點實驗室，西安 710065

4.中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，無錫 214082

5.南京航空航天大學 無人機研究院，南京 210016

高速飛行器需要在熱、聲和機械載荷等極端組合環(huán)境中長時巡航，無法正確考慮環(huán)境/載荷、結(jié)構(gòu)響應(yīng)和不斷變化的材料狀態(tài)之間的非線性耦合是當前預(yù)測系統(tǒng)響應(yīng)和結(jié)構(gòu)壽命的主要問題［1］。高溫環(huán)境對于結(jié)構(gòu)振動特性的影響主要有2方面：一方面，由于材料參數(shù)隨溫度改變，結(jié)構(gòu)本身的剛度也會隨著溫度的升高而降低；另一方面，結(jié)構(gòu)在高溫下不可避免地會在內(nèi)部產(chǎn)生一定的熱應(yīng)力，因而附加的初始應(yīng)力剛度矩陣會改變結(jié)構(gòu)的整體剛度［2-3］。大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)通常由多組件連接構(gòu)成。連接結(jié)構(gòu)存在應(yīng)力集中、幾何或邊界非線性、預(yù)緊力和摩擦等不確定因素，且在熱環(huán)境下連接狀態(tài)會隨著線脹現(xiàn)象、材料軟化及間隙狀態(tài)等變化而變化［4］。有限元模型為理解高溫環(huán)境下復(fù)雜多組件飛行器結(jié)構(gòu)在各種載荷條件下的性能提供了一種方便的方法，減少動力學有限元模型的誤差是成功預(yù)示結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的關(guān)鍵。模型修正作為利用較為準確的實驗結(jié)果減少有限元模型計算誤差的有效技術(shù)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空、航天、建筑等領(lǐng)域。有限元模型修正方法依據(jù)修正對象的不同可分為直接修正方法和迭代修正方法［5-6］。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，迭代修正方法因其物理意義明確、便于結(jié)合大型工程軟件等優(yōu)點逐漸成為主流方法。迭代修正方法的基本思路與結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論相似，需要對復(fù)雜的非線性罰函數(shù)進行最小化處理［7］。

近幾十年來，許多智能算法的出現(xiàn)極大地提高了迭代修正的效率和精度。張安平等［8］提出一種基于混合人工魚群算法（HAFSA）的修正方法，并以GARTEURE飛機模型為例證明了該方法的可行性。He等［9］結(jié)合徑向基函數(shù)（RBF）代理模型和非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）使用模型修正的方法實現(xiàn)了針對不同溫度分布系統(tǒng)的熱物性參數(shù)辨識。Tran-Ngoc等［10］基于正交對角化改進粒子群算法（IPSO）并應(yīng)用到大型鐵路橋梁模型修正中，顯著降低了迭代計算成本。于開平和劉榮賀［11］提出一種多族群粒子群優(yōu)化算法（MRPSO），降低了搜索陷入局部最優(yōu)的概率，并將該算法成功引入模型飛行器的模型修正問題中。Yin和Zhu［12］介紹了貝葉斯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BNN）架構(gòu)在模型修正中的一般設(shè)計方法，并通過對人行天橋的有限元模型修正證明了該算法的有效性。

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是一種模擬鳥群覓食行為的元啟發(fā)式算法，在實際工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用［13］。針對粒子群算法早熟收斂和易陷入局部最優(yōu)等缺點的改進工作可以分為3個方向：①引入或優(yōu)化超參數(shù)。例如，Shi和Eberhart［14-15］依次引入慣性權(quán)重和收縮因子，并比較了這2種時變參數(shù)的性能。Chatterjee和Siarry［16］在粒子群算法中使用自適應(yīng)非線性變化的慣性權(quán)重，使得該算法可以在初期迭代中粗調(diào)，快速接近最優(yōu)解，并在后續(xù)迭代中逐漸精調(diào)，更精確地逼近最優(yōu)解。②改進粒子種群的拓撲結(jié)構(gòu)和搜索策略，Al-Bahrani和Patra［17］根據(jù)適應(yīng)度值將粒子群分為活性組和惰性組，采用正交對角化來替代原有的粒子更新策略，極大地提高算法的精度和速度。Zhan和Zhang［18］通過田口方法構(gòu)造出新的粒子進行引導，避免了2種歷史經(jīng)驗之間的沖突。③與其他優(yōu)化算法進行融合，優(yōu)勢互補。Zhao等［19］將和聲搜索（HS）與PSO融合為一種新的優(yōu)化算法，并通過馬爾可夫模型分析了其收斂性能。Zhang等［20］結(jié)合灰狼優(yōu)化算法（GWO）和IPSO，得到一種混合算法。通過K-均值聚類優(yōu)化實驗表明該算法具有較好的優(yōu)化性能和較強的通用性。

萊維飛行（Lévy Flight）是服從萊維分布（Lévy Distribution）的隨機游走，其步長具有重尾分布的特點［21］。自然界中如黃蜂、馴鹿等許多生物的最佳覓食軌跡都滿足萊維飛行。萊維飛行已廣泛應(yīng)用于布谷鳥算法（CS）等全局優(yōu)化算法中［22］。在粒子群中，假設(shè)部分粒子有一定的概率失去先驗的最優(yōu)位置信息，此時粒子的搜索策略類似于生物覓食的隨機游走行為。萊維飛行可以增強粒子群算法的全局搜索能力，Hakli和H?uz［21］融合萊維飛行提出LFPSO算法，并在多個基準函數(shù)上證明LFPSO算法比遺傳算法（GA）、差分進化算法（DE）、人工蟻群算法（ABC）以及其他粒子群變體算法搜索能力更強。在此基礎(chǔ)上，Jensi和Jiji［23］提出的PSOLF算法在21個基準函數(shù)上的測試表現(xiàn)均優(yōu)于標準粒子群算法、LFPSO等其他改進粒子群算法，但PSOLF算法依然沒能避免傳統(tǒng)算法中局部和全局2種引導經(jīng)驗之間的沖突［24］，在搜索具有多個局部最優(yōu)峰值的高維復(fù)雜函數(shù)時，仍然不能得到理論最優(yōu)解。

本文針對高溫環(huán)境復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學問題輸入輸出關(guān)系復(fù)雜、多狀態(tài)性、不確定性等有別于傳統(tǒng)動力學問題的特點，提出一種基于田口試驗設(shè)計和萊維飛行的新型粒子群算法——萊維正交粒子群算法（LOPSO），并應(yīng)用于高溫環(huán)境典型復(fù)雜多組件結(jié)構(gòu)模型修正問題中。為了驗證LOPSO算法的搜索能力，本文以軸系軸承-軸承座彈簧阻尼參數(shù)修正問題為例，與性能優(yōu)異的PSOLF算法進行對比，驗證LOPSO算法具的搜索能力。最后對比某典型結(jié)構(gòu)在14、300、500 ℃溫度環(huán)境下仿真模擬與實驗測試的結(jié)果。在經(jīng)所提出的算法修正后，結(jié)構(gòu)的有限元模型精度得到了極大的提高。

1 新型改進粒子群算法

1.1 全局粒子群優(yōu)化算法

全局粒子群優(yōu)化算法（GPSO）用數(shù)學語言可以具體地描述為：在D維空間中，粒子群包含M個粒子。每個粒子表示優(yōu)化問題的一個備選解，第k迭代步第i個粒子更新公式為

式中：vki=（vi1，vi2，···，viD），為粒子速度向量；xki=（xi1，xi2， ···，xiD），為第i個粒子的坐標位置；pki為粒子歷史最優(yōu)解；gk為粒子群歷史最優(yōu)解；°為Hadamard積；c1、c2為加速度因子，一般取值為2；r1、r2為D維的0～1之間的隨機數(shù)向量；w為慣性權(quán)重因子；K為壓縮因子；w、K一般設(shè)置為k的線性或非線性函數(shù)

式中：w的變化范圍為［0.4，0.9］，wmax=0.9和wmin=0.4；N為最大迭代總數(shù)。

將粒子群信息表示為矩陣形式可寫為

式中：Xk、Vk、Pk（k=0，1，···，N）為M×D的矩陣；M為種群規(guī)模。

式（1）的搜索策略的優(yōu)點是能夠使粒子快速集中至極小值處，但其缺點也很明顯。由于該搜索策略的數(shù)據(jù)缺乏多樣性，所以算法一旦陷入極小值，則很難跳出局部最優(yōu)，最終往往難以搜索到全局最優(yōu)解。

1.2 粒子的萊維飛行搜索策略

假設(shè)粒子群中的部分粒子有一定的概率失去先驗的最優(yōu)位置信息，且此時這些粒子按照萊維飛行進行隨機游走，更新公式為

式中：α為步長控制向量，與xki維度相同，其元素為0～1之間的隨機數(shù)；s為步長，服從萊維分布，萊維分布常用Mantegna算法模擬

式中：β為穩(wěn)定性指數(shù)，常取1.5；μ、ν服從正態(tài)分布

其中

式中：Γ為標準伽馬函數(shù)。

文獻［21-23］分別將萊維飛行融入不同的搜索機制以改進粒子群算法，并在21個基準函數(shù)上測試，證明萊維飛行可以對搜索空間進行深度探索，避免了粒子位置多樣性的損失，增強了粒子群算法跳出局部最優(yōu)的能力。然而對Rosenbrock、Rotated Schwefel等幾類高維、多峰、強非線性函數(shù)，單純引入萊維飛行機制仍然很難搜索到理論最優(yōu)解。

1.3 萊維正交學習粒子群算法

本文提出一種新型的改進粒子群算法，該算法旨在利用萊維飛行的跳躍能力和田口設(shè)計的正交學習增強算法的全局搜索能力。首先介紹正交學習過程。

假設(shè)為粒子群算法中第i個粒子的3個歷史經(jīng)驗坐標向量。田口設(shè)計以這3個1×D的向量作為水平，且以優(yōu)化參數(shù)的個數(shù)D為因子數(shù)，則該D因子3水平田口設(shè)計正交表可表示為

式中：V為正交表中組合的總數(shù)；集合G中-1、0、1代表3個水平。為了清晰直觀地表示出各水平元素的組合，定義函數(shù)

應(yīng)用函數(shù)?（x）和矩陣A將矩陣L轉(zhuǎn)化為3個只有0、1元素的矩陣

式中：A的元素均為1，大小為V×D。經(jīng)過田口設(shè)計后的粒子位置向量組合為

若為最小值優(yōu)化問題，則令（i=1，2，···，M）中適應(yīng)度最小的坐標向量為xb。再根據(jù)田口設(shè)計試驗結(jié)果，運用極差分析法找出最優(yōu)水平組合，其對應(yīng)的坐標向量定義為xp。最后選擇xb、xp中適應(yīng)度值最小的向量，記為xkOi。以上過程可以記為

式中：OED代表田口設(shè)計及正交學習過程。該過程利用歷史學習經(jīng)驗構(gòu)造了一個合理的最佳經(jīng)驗用于指導粒子的更新。粒子僅使用一個經(jīng)驗來引導更新，避免了GPSO算法中2種經(jīng)驗之間的沖突，有利于算法更快地收斂到最優(yōu)。

在萊維正交學習粒子群算法（LOPSO）中，飛行概率因子f∈（0，1］，當0.5＜f≤1時，將粒子當前位置xki、歷史最優(yōu)解pki、全局最優(yōu)解gk作為田口設(shè)計的3水平；當f≤ 0.5時，xki按式（4）隨機游走變?yōu)槿R維飛行項Lxki，此時取Lxki、pki、gki為水平。

當k→+∞時，xki、pki、gk趨于接近，粒子不再更新，算法最終可以收斂。理想狀態(tài)下有限元模型與實際模型誤差函數(shù)Y最小值應(yīng)為0，但這幾乎是不可能的。所以設(shè)置一個閾值，當適應(yīng)度值小于閾值時則認為結(jié)果收斂。若閾值設(shè)置過小時，很長時間的迭代后適應(yīng)度值仍無法收斂到閾值以內(nèi)，此時可通過最大迭代步數(shù)N來控制算法停止，當?shù)綌?shù)達到N時亦可停止算法。LOPSO算法的具體步驟如下。

步驟1設(shè)置種群規(guī)模M、搜索維度D、最大迭代步數(shù)N、慣性權(quán)重因子最大值wmax和最小值wmin。

步驟2隨機生成初始粒子群信息X0和V0。

步驟3令k=1；根據(jù)實驗數(shù)據(jù)和有限元模型確定目標函數(shù)Y=F（X），F(xiàn)-1為其逆函數(shù)；評價初始適應(yīng)度值；并令P0=X0、g0=F-1（minF（X0））。

步驟4根據(jù)式（2）計算慣性權(quán)重因子ω、壓縮因子K；令i=1。

步驟5歷遍種群中每個粒子，隨機生成飛行概率因子f，根據(jù)其大小求XOk

步驟6更新粒子，計算公式為

式中：r為0～1間的隨機數(shù)；c為加速度因子，取值2；壓縮因子K、慣性權(quán)重因子w的值依照式（2）計算獲得。

步驟7根據(jù)式（15）、式（16）更新歷史經(jīng)驗

步驟8計算所有適應(yīng)度值，判斷是否收斂或達到最大迭代次數(shù)N，若未滿足條件返回步驟4。若滿足條件，則輸出終步的全局最優(yōu)解，即尋優(yōu)結(jié)果，算法終止。

該算法的特點在于在種群計算時采用一種全新的更新策略，以唯一的最佳經(jīng)驗作為引導，避免了傳統(tǒng)粒子群算法2種引導經(jīng)驗之間的沖突，并且飛行概率因子的設(shè)計既防止了局部收斂，又保證了算法的有效收斂。LOPSO方法流程如圖1所示。

圖1 LOPSO方法流程圖Fig.1 Flowchart of LOPSO method

2 軸承等效彈簧阻尼參數(shù)修正

2.1 仿真算例

通過修正傳動軸系軸承-軸承座等效建模的剛度和阻尼參數(shù)，簡單驗證上述算法的優(yōu)越性。假設(shè)傳動軸系通過3對軸承-軸承座與船體固接；軸的一端有一質(zhì)量盤，軸之間采用聯(lián)軸器相接。若僅需修正垂向等效參數(shù)，則該模型可在有限元軟件MSC.Patran中簡化為圖2所示的梁單元模型。軸系各處材料相同，密度為7.8×103kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比取0.3。質(zhì)量盤和聯(lián)軸器簡化為對應(yīng)位置節(jié)點上的附加集中質(zhì)量。不考慮軸的內(nèi)阻尼并將軸承-軸承座等效為一端固支的彈簧阻尼單元，則剛度系數(shù)k1、k2、k3和黏性阻尼系數(shù)c1、c2、c3即為需要修正的參數(shù)。

圖2 軸系軸承數(shù)值算例Fig.2 Numerical example of shafting bearings

2.2 目標函數(shù)

考慮黏性阻尼，多自由度系統(tǒng)頻域運動方程形式為

式中：ω為激振頻率；M、K、C分別為總質(zhì)量矩陣、總剛度矩陣、總阻尼矩陣；x為位移響應(yīng)向量；f為激振力向量。對應(yīng)的頻響函數(shù)矩陣為

式中：HD、HV、HA分別為位移、速度和加速度復(fù)頻響函數(shù)矩陣；為系統(tǒng)在第k自由度上施加單位激勵后第i自由度的加速度響應(yīng)，可以寫成復(fù)數(shù)形式

式中：(ω)、(ω)分別為(ω)的實部和虛部。

頻響函數(shù)同時包含了剛度和阻尼信息，共振頻域的頻響值主要受阻尼大小的影響，而非共振區(qū)的頻響值則與剛度更為相關(guān)。因此可以采用單點激振、多點拾振的頻響函數(shù)法獲取軸系的動態(tài)響應(yīng)特性。定義實驗測量和計算響應(yīng)的平均Y向加速度輸出誤差

假設(shè)仿真實驗沿y負向加載單點單位激勵，測試頻段為10～2 000 Hz。則fj（ω）=1，可根據(jù)式（19）、式（20）定義目標函數(shù)Y（k1，k2，k3，c1，c2，c3）

為了模擬真實的實驗狀態(tài)并檢驗算法的抗噪聲干擾能力，對仿真實驗測得的加速度頻響添加5%的隨機白噪聲。等效剛度和阻尼的修正問題可以轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)Y（k1，k2，k3，c1，c2，c3）的最小值問題，其中k1～k3為剛度系數(shù)，c1～c3為阻尼系數(shù)。

2.3 修正結(jié)果及對比

分別應(yīng)用PSOLF和LOPSO算法解決上述最小值問題。為了定性地比較分析，控制各算法的總計算次數(shù)相等，最大迭代次數(shù)N取50，且將2種算法的超參數(shù)均設(shè)置為：c1=c2=c=2.0，ωmin=0.4，ωmax=0.9。表1展示了優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置及時間成本。圖3中給出了迭代收斂曲線?？梢钥闯霎斂傆嬎銛?shù)相同時，PSOLF和LOPSO方法的時間成本大致相同。前20步迭代PSOLF算法搜索得更快，后30步迭代LOPSO算法的優(yōu)勢逐漸體現(xiàn)。這是由于在迭代前期LOPSO算法中，萊維飛行項Lxki通過正交學習過程與歷史最優(yōu)解pki、全局最優(yōu)解gk進行綜合，所以粒子的更新較為謹慎。而PSOLF方法中粒子群得益于萊維飛行項快速向局部優(yōu)解處聚攏。迭代后期3個引導經(jīng)驗的相互沖突使得PSOLF算法始終在局部優(yōu)解附近徘徊。而LOPSO方法最終搜索到目標函數(shù)最小值明顯優(yōu)于前者的搜索結(jié)果。這表明LOPSO算法相比于PSOLF算法更不容易陷入局部優(yōu)解，全局搜索能力更強。

表1 優(yōu)化算法超參數(shù)設(shè)置Table 1 Optimization algorithm parameters

圖3 收斂曲線Fig.3 Convergence curves

表2中比較了軸承-軸承座等效剛度和阻尼修正結(jié)果。LOPSO方法的修正值更為接近真實值，各參數(shù)誤差均小于1%，而PSOLF方法修正后的參數(shù)最大誤差超過6%。這進一步說明了本文所提算法搜索精度更高，可以有效應(yīng)用于工程問題中。

表2 軸承等效參數(shù)修正結(jié)果對比Table 2 Comparison of updated results of bearing equivalent parameter

3 典型結(jié)構(gòu)熱振有限元模型修正

3.1 典型結(jié)構(gòu)及有限元建模

圖4給出了結(jié)構(gòu)的剖面圖和有限元模型。該結(jié)構(gòu)分為12個部分，頭部后端、二艙、三艙、四艙、尾艙、整流罩、翼面、發(fā)動機采用殼單元QUAD4和TRIA3建模；頭部前端、舵面、舵面連接塊、內(nèi)部支架、內(nèi)部質(zhì)量塊、整流罩連接部分以及滑塊采用體單元CTETRA4建模，局部質(zhì)量差用CONM2進行配平；各艙段連接部位采用加厚殼單元共節(jié)點的處理方式進行等效建模。模型材料統(tǒng)一為航空用鋼30CrMnSiA，密度為7 750 kg/m3。

圖4 結(jié)構(gòu)及有限元模型Fig.4 Structure and finite element model

最終有限元模型共計66 272個單元、80 533個節(jié)點，其總質(zhì)量、質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動慣量與實際模型的誤差均在3%以內(nèi)，可忽略不計。如圖5，不同溫度對應(yīng)的材料熱物性參數(shù)不同，因此考慮溫度效的結(jié)構(gòu)動力學計算是一個復(fù)雜的非線性過程。

圖5 30CrMnSiA熱物性參數(shù)Fig.5 Thermophysical parameters of 30CrMnSiA

3.2 高溫模態(tài)實驗

開展地面高溫模態(tài)實驗，驗證有限元模型的預(yù)示能力。令整流罩中面所在平面為俯仰方向，垂直于該平面方向為偏航方向。

如圖6，結(jié)構(gòu)通過2個彈性尼龍繩吊掛在固定橫梁上，達到近似“自由-自由”的狀態(tài)。尼龍繩采用絕熱石棉布包裹進行保護。加熱設(shè)備為環(huán)抱結(jié)構(gòu)的石英燈陣，在外圍包裹石棉布絕熱保溫，并在激振點和測點處預(yù)留小孔。實驗采用單點隨機激勵的方式。激振器水平安裝，并通過耐高溫合金激振桿作用到激振點處。為了遠離高溫區(qū)域，力傳感器安裝在激振桿與激振器之間［25-26］。針對俯仰和偏航主模態(tài)在長度方向中線位置布置5個激光多普勒測振儀。測量扭轉(zhuǎn)模態(tài)時分別在頭部和尾部兩側(cè)各布置1個激光多普勒測振儀。測點和激振點在俯仰和偏航方向上的布置情況分別如圖7、圖8所示。各傳感器通過數(shù)據(jù)采集器保持同步?？紤]對稱性，選取一個舵面進行測試。在舵面一側(cè)布置4個激光測振儀，另一側(cè)激勵。圖8中編號1、2、3、4的測點在圖示局部系下坐標分別為（25，25）、（141，26）、（253，125）、（19，133）；編號5處是激勵點，坐標為（12，16）。

圖6 高溫模態(tài)實驗Fig.6 Modal experiment in high temperature environment

圖7 測量結(jié)構(gòu)俯仰模態(tài)時的測點Fig.7 Measurement points when measuring pitch modes

圖8 測量結(jié)構(gòu)偏航模態(tài)時的測點Fig.8 Measurement points when measuring yaw modes

實驗測量了14、300、500 °C時的振動數(shù)據(jù)，其中14 °C為室溫環(huán)境。高溫實驗開始前先將實驗件預(yù)熱至50 °C，溫升速率為2.5 °C/s，達到預(yù)定溫度后保溫60 s。分區(qū)加熱器共分為7個控溫區(qū)，每個控溫區(qū)在結(jié)構(gòu)環(huán)向布置4個熱電偶，共計28個溫度測點用于測量和控制溫度，保證整個結(jié)構(gòu)的溫度誤差在足夠的精度范圍內(nèi)。

模態(tài)實驗在0～500 Hz內(nèi)共獲得8個主要模態(tài)，分別為：俯仰一彎、偏航一彎、俯仰二彎、偏航二彎、扭轉(zhuǎn)一階、舵面彎曲、舵面旋轉(zhuǎn)、舵面扭轉(zhuǎn)。采用模態(tài)置信準則（MAC）分析有限元計算模態(tài)與實驗測試模態(tài)的相關(guān)性，識別出具有較高MAC值的模態(tài)對。圖9給出了與實驗結(jié)果匹配的模態(tài)振型云圖，其中為了更清晰地顯示振型，扭轉(zhuǎn)振型圖將翼面及舵面隱藏，舵面振型圖將與其連接的結(jié)構(gòu)主體部分隱藏。有限元模型和實驗測量的模態(tài)振型相關(guān)度見圖10。所有關(guān)鍵模態(tài)對的MAC值均高于0.7，說明有限元模型能夠正確地獲得與實驗?zāi)B(tài)匹配的振型。

圖9 主要模態(tài)振型Fig.9 Main modal shapes

圖10 振型相關(guān)系數(shù)Fig.10 Correlative coefficient of mode

該結(jié)構(gòu)各艙段、翼面、舵面和整流罩等部件間采用螺栓或螺釘連接，本文在建模過程中對于此類復(fù)雜連接結(jié)構(gòu)直接采用共節(jié)點的方式進行簡化處理。所以模型總體剛度偏大，初始有限元模型的各階模態(tài)頻率都比實驗測量值高。誤差主要來源于此類連接結(jié)構(gòu)處的參數(shù)不確定性。

3.3 模型修正

本文建立的有限元模型的質(zhì)量特性和幾何特性均與實際結(jié)構(gòu)的相應(yīng)數(shù)據(jù)進行了核驗。因此，在后續(xù)的模型修正問題中，本文假定有限元模型的質(zhì)量特性和幾何特性數(shù)據(jù)是可信的，無需進行修正。同時為了降低問題復(fù)雜度，本文假定材料的泊松比和熱膨脹系數(shù)是可信的，僅修正材料的彈性模量參數(shù)。針對14、300、500 ℃這3種溫度狀態(tài)下的實驗測量結(jié)果，本文暫不考慮高溫下多狀態(tài)的修正，分別對各溫度下的彈性模量參數(shù)進行修正。彈性模量的不確定性主要表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的連接部位。表3列出了8個主要連接部位的材料的彈性模量參數(shù)符號，所有材料的彈性模量初始值均為196 GPa。

表3 不確定的材料參數(shù)Table 3 Uncertain material parameters

定義基于結(jié)構(gòu)模態(tài)實驗的目標函數(shù)

式中：fEMAt、fFEMt分別為測量和計算的模態(tài)頻率；t為模態(tài)序數(shù)；m=8。

直接用有限元模型進行迭代計算需耗費大量的計算力，因此該項研究工作借助開源的Scikit-Learn機器學習框架，構(gòu)建隨機森林代理模型［27］來近似修正參數(shù)和目標函數(shù)Y之間的映射關(guān)系，提高計算效率。為了降低構(gòu)造代理模型的復(fù)雜度，通過靈敏度分析篩選修正變量。常見的靈敏度計算公式為

式中：xt+=（x1，x2，···，xt+Δxt，···，xn）；xt-=（x1，x2，···，xt-Δxt，···，xn）。該式為有限差分法，通過對變量作微小的攝動Δxt來計算近似導數(shù)。

靈敏度計算結(jié)果如圖11所示。通過靈敏度計算發(fā)現(xiàn)E1W、E2W主要影響舵面模態(tài)頻率，靈敏度值最大；由于飛翼的彎曲模態(tài)與結(jié)構(gòu)整體的彎曲模態(tài)耦合，E1R、E2R也是影響結(jié)構(gòu)彎曲模態(tài)頻率值的主要因素。此外E1F的靈敏度也相對較大，所以最終確定有限元模型的修正參數(shù)為E1R、E2R、E1W、E2W、E1F，共計5個。

圖11 參數(shù)靈敏度分析Fig.11 Parametric sensitivity

表4為結(jié)構(gòu)在14、300、500 ℃下修正前后有限元模型與實驗?zāi)Ｐ偷哪B(tài)頻率比較，表中ef，b、ef，a分別為修正前、后模態(tài)頻率的相對誤差。

表4 實驗與有限元模態(tài)對比Table 4 Comparison between measured and FEM modal results for main modes

修正前有限元模型與實驗?zāi)Ｐ驮陬l率上差異顯著，室溫14 ℃時頻率誤差最大為35.19%，300 ℃環(huán)境下最大誤差為30.63%，高溫500 ℃環(huán)境下頻率誤差最大達到37.92%。初始有限元模型的精度和可靠性值得懷疑，通過本文提出的模型修正方法進行修正后誤差大幅降低，14 ℃時8階頻率的最大誤差僅為4.63%，300 ℃情況下最大誤差僅為6.79%，500 ℃時的最大誤差僅為5.16%，動力學有限元模型精度得到提高。修正后的參數(shù)變量如表5所示。各連接部位單元的彈性模量修正值均小于初始值。這是由于連接處的等效建模導致結(jié)構(gòu)的剛度過大，僅選擇彈性模量作為修正參數(shù)，剛度的減小僅靠彈性模量的減小來實現(xiàn)，修正結(jié)果相當于局部結(jié)構(gòu)的等效彈性模量。

表5 單元彈性模量修正情況Table 5 Comparison of parameters before and after modal updating

4 結(jié)論

1） 為求解復(fù)雜環(huán)境下結(jié)構(gòu)動力學有限元模型修正等非線性優(yōu)化問題，提出了萊維正交學習粒子群算法。該算法基于田口設(shè)計和正交學習選擇最優(yōu)的組合解作為唯一的更新引導，避免了傳統(tǒng)算法中2種經(jīng)驗之間的沖突；同時引入萊維飛行機制增強算法跳出局部最優(yōu)的能力。該新型改進粒子群算法不僅避免陷入局部最優(yōu)，而且可以快速收斂獲得更精確的解。

2） 軸承-軸承座等效彈簧阻尼參數(shù)修正結(jié)果表明，相比于其他先進的粒子群算法，所提出的算法搜索到的最優(yōu)解最為接近真實值，精度更高。本文方法在仿真噪聲的干擾的情況下，修正后剛度誤差僅為0.5%，阻尼誤差僅為0.3%，可以有效應(yīng)用于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)動力學工程問題中。

3） 將LOPSO方法成功應(yīng)用于高速飛行器熱環(huán)境下的有限元模型修正。采用本文修正算法的動力學模型具有較大的預(yù)測精度，為理解工程結(jié)構(gòu)在熱振耦合條件下的動力學特性提供了一種可靠的方法。