洪 鷹，李輝鷺，肖聚亮，劉海濤

柔性關(guān)節(jié)的復(fù)合動態(tài)面控制仿真研究

洪 鷹，李輝鷺，肖聚亮，劉海濤

(天津大學(xué)機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津 300350)

針對柔性關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤控制中存在參數(shù)不確定性、建模誤差和未知擾動等問題，為了保證柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的控制精度，在建立其等效動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的復(fù)合動態(tài)面控制策略．該策略包含動態(tài)面控制技術(shù)、參數(shù)自適應(yīng)算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器、魯棒補償器以及約束處理方案．首先，利用動態(tài)面控制技術(shù)進行控制器的設(shè)計，消除了反步法的“復(fù)雜性爆炸”問題．其次，采用參數(shù)自適應(yīng)算法處理柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)動力學(xué)模型中的參數(shù)不確定性，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器用于在線逼近和補償模型中的不連續(xù)摩擦、建模誤差和未知擾動，魯棒補償器負責前兩部分的殘余誤差，同時設(shè)計約束處理方案滿足誤差規(guī)定性能約束和提高控制器對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似誤差和未知擾動的魯棒性．再次，構(gòu)建具有預(yù)測誤差的復(fù)合學(xué)習(xí)自適應(yīng)律，提高控制器對模型不確定項的補償精度．李雅普諾夫穩(wěn)定性分析表明，所提出的策略保證了閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號都是半全局一致最終有界的，跟蹤誤差最終以規(guī)定性能收斂到零附近的一個小鄰域．最后，在Simulink環(huán)境中，基于單連桿柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)對該控制策略進行對比仿真驗證，結(jié)果表明：該復(fù)合動態(tài)面控制策略能夠顯著提高柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的跟蹤性能并降低其超調(diào)量和穩(wěn)定時間，驗證了該復(fù)合動態(tài)面控制策略的有效性和優(yōu)越性．

柔性關(guān)節(jié)；動態(tài)面控制；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；自適應(yīng)魯棒控制；復(fù)合學(xué)習(xí)

近年來，柔性關(guān)節(jié)機械臂由于其重量輕、能耗低、負載自重比高、操作安全等[1-2]優(yōu)點，在實際工程中起到十分重要的作用．因此，柔性關(guān)節(jié)機械臂的軌跡跟蹤控制問題引起了廣泛的關(guān)注．然而嚴重的非線性、參數(shù)不確定性、關(guān)節(jié)柔性引起的耦合以及外部擾動使得柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的建模和控制變得特別困難[1,3].為了保證柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度，已經(jīng)有大量文獻進行了研究．Le-Tien等[4]提出了一種基于級聯(lián)結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)魯棒控制方案，精確補償了柔性關(guān)節(jié)機械臂中的參數(shù)或結(jié)構(gòu)化(也稱為建模)不確定性，獲得了較好的跟蹤性能．然而，柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)存在高非線性的不連續(xù)摩擦力、彈性力矩、未建模動力學(xué)以及未知時變擾動等非結(jié)構(gòu)化不確定性，而自適應(yīng)魯棒控制無法精確補償非結(jié)構(gòu)化不確定性[5]．

緩解上述問題的有效方法是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，其作為通用逼近器具有強大的非線性映射能力．例如，Liu等[6]結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和動態(tài)面控制技術(shù)，考慮了具有不確定性的柔性關(guān)節(jié)機器人系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制問題．Wang等[7]利用約束變換函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計了一種具有未知動力學(xué)和輸出跟蹤誤差約束的柔性關(guān)節(jié)機械手的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器．但對于不連續(xù)摩擦和未知時變擾動，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制不能保證良好的逼近結(jié)果[8-9]．針對上述問題的有效解決方案是結(jié)合自適應(yīng)魯棒控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)合控制策略．該策略利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性逼近能力進一步提高自適應(yīng)魯棒控制的性能與系統(tǒng)的抗干擾性能．Wang等[5]合成了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)自適應(yīng)魯棒控制器，在利用參數(shù)自適應(yīng)算法對線性參數(shù)不確定性進行補償?shù)幕A(chǔ)上，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近未建模項和擾動，使直線電機具有良好的跟蹤性能和抗擾動能力．

另外，目前應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能算法或參數(shù)自適應(yīng)算法補償柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的模型不確定項時，主要依賴于跟蹤誤差去設(shè)計自適應(yīng)律，沒有充分考慮它們近似模型不確定項的最初意圖，從而降低了算法對模型不確定項的補償精度[10]．為了提高控制器對模型不確定項的補償效果，Xu[11]通過具有預(yù)測誤差的復(fù)合學(xué)習(xí)算法，提高了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對柔性連桿機械臂不確定性的逼近精度和擾動觀測器對擾動的估計能力．

雖然上述方法可以保證良好的軌跡跟蹤效果，但是在某些場合下，不僅要保證柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度，還要使其輸出誤差滿足規(guī)定性能約束．目前在柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的輸出約束上主要采用障礙李雅普諾夫函數(shù)(barrier Lyapunov function，BLF)[12]或規(guī)定性能約束(prescribed performance constraint，PPC)[13]來實現(xiàn)輸出誤差的受限．然而相比PPC，BLF無法充分考慮誤差的最大超調(diào)量和收斂速度要求．此外，PPC可以降低初始控制輸入幅度[14]．同時，考慮輸出誤差約束還可以提高系統(tǒng)對未知擾動的魯棒性[15]．

在上述研究工作的啟發(fā)下，為進一步提高柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度和擾動抑制能力，筆者首先建立柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的動力學(xué)模型．然后基于動態(tài)面控制技術(shù)、PPC、參數(shù)自適應(yīng)算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出一種新的復(fù)合動態(tài)面控制策略．該策略在利用動態(tài)面控制技術(shù)實現(xiàn)柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定控制的基礎(chǔ)上，采用參數(shù)自適應(yīng)算法和徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器來在線補償模型不確定項，且構(gòu)造魯棒補償器負責前兩部分的殘余誤差；同時設(shè)計約束處理方案滿足誤差規(guī)定性能約束和進一步提高控制器的抗擾動能力；此外利用預(yù)測誤差形成新的復(fù)合自適應(yīng)律，提高控制器對模型不確定項的逼近效果．通過李雅普諾夫理論證明了整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性．最后為了驗證該控制策略的有效性，本文基于單連桿柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)對該控制策略進行了對比仿真．結(jié)果表明，該策略能夠顯著提高柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)特性、軌跡跟蹤精度以及抗擾動能力．

1 動力學(xué)建模

單連桿柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示．

單連桿柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的動力學(xué)模型通常包含剛性連桿動力學(xué)和電機動力學(xué)，可通過拉格朗日公式描述[16]，即

圖1 單連桿柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

為了便于控制器的設(shè)計，需要假設(shè)所有狀態(tài)變量均可得到用于反饋[17]．

2 控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析

2.1 控制器設(shè)計

在控制器設(shè)計之前，先定義誤差變量，即

相應(yīng)的濾波誤差為

為了保證跟蹤誤差快速收斂，并達到一定的收斂精度，跟蹤誤差按式(6)進行設(shè)定．

由式(6)、(7)可知，如果下列條件成立，則跟蹤誤差滿足規(guī)定性能約束且方便后續(xù)設(shè)計約束處理方案提高系統(tǒng)對未知擾動的魯棒性[13, 15]．

則等效無約束跟蹤誤差可描述為

商景蘭(1605—1676)，字媚生，浙江山陰(今紹興)人。明朝吏部尚書商周祚長女，與妹商景徽皆有國色而能詩。商景蘭16歲嫁與藏書家祁承燁之子祁彪佳為妻，二人以“金童玉女”的佳配被傳為美談。祁彪佳終身未納妾媵，伉儷相重，世所罕見。順治二年乙酉(1645)，清兵攻陷南京，祁彪佳自沉殉節(jié)，商景蘭遵丈夫遺命接掌家業(yè)，并帶領(lǐng)家族女性從事詩歌創(chuàng)作，閨閣唱和，登臨題詠，一時傳為勝事。后女祁德瓊、子祁班孫先后離世，商景蘭死后，祁氏一門風(fēng)雅亦隨家族破敗而淪沒?，F(xiàn)存《錦囊集》，附于《祁彪佳集》之后。

隨后結(jié)合預(yù)測誤差設(shè)計復(fù)合學(xué)習(xí)自適應(yīng)律為

則結(jié)合預(yù)測誤差設(shè)計復(fù)合學(xué)習(xí)自適應(yīng)律為

復(fù)合動態(tài)面控制策略的流程如圖2所示．目前已經(jīng)完成了整個控制器的設(shè)計，為了保證整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定，下面進行穩(wěn)定性分析．

圖2 柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)復(fù)合動態(tài)面控制流程

2.2 穩(wěn)定性分析

證明：選擇李雅普諾夫函數(shù)為

其中

基于式(4)和式(5)，濾波誤差的時間導(dǎo)數(shù)可以表示為

利用楊氏不等式可得

其中

將式(20)、(29)代入式(35)得到

通過利用式(18)、(27)，可得

然后，選擇以下設(shè)計參數(shù)以保證整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即

其中

通過解式(42)的不等式得

顯然，閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致最終有界，并且有

3 仿真驗證

其中

所選擇的系統(tǒng)初始狀態(tài)為

為了驗證所提出的控制策略的有效性和優(yōu)越性，本文將該策略與文獻[6-7]中的控制策略進行比較．則定義策略1、策略2、策略3如下．

策略1：采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)動態(tài)面控制策略[6]．其虛擬控制律和控制輸入力矩設(shè)計為

其中

對應(yīng)的權(quán)值自適應(yīng)律為

其中

策略2：具有規(guī)定性能約束的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制策略[7]．其虛擬控制律和控制輸入力矩設(shè) 計為

相應(yīng)的權(quán)值自適應(yīng)律為

策略3：復(fù)合動態(tài)面控制策略．

仿真結(jié)果如圖3～圖11所示．

表1 柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)

Tab.1 Dynamic parameters of the flexible-joint system

圖3 具有規(guī)定性能的連桿側(cè)跟蹤誤差曲線

圖4 具有規(guī)定性能的電機側(cè)跟蹤誤差曲線

圖5 3種控制策略下的控制輸入曲線

圖3和圖4表明本文所提策略3的跟蹤誤差滿足規(guī)定性能約束，且相比策略1、策略2，跟蹤誤差波動性較?。到y(tǒng)的控制輸入如圖5所示，可以看出所提出的策略3需要的初始控制輸入力矩小于策略1和策略2．圖6表示在正弦參考軌跡幅值為1rad，頻率分別為1/(4π)Hz、1/π Hz的情況下，所提出的策略3的連桿側(cè)軌跡跟蹤效果．圖7反映了正弦參考軌跡頻率為1/(2π)Hz，幅值分別為0.5rad、0.8rad的情況下，策略3的連桿側(cè)軌跡跟蹤效果．圖6和圖7驗證了本文所提出復(fù)合動態(tài)面控制策略的有效性．圖8展示了連桿側(cè)角位移跟蹤曲線，從圖8可以注意到3種控制策略都能達到令人滿意的控制效果．圖9表示連桿側(cè)角位移跟蹤誤差(軌跡跟蹤誤差)，很好地說明了本文所提出策略的有效性和優(yōu)越性，其中選擇了最大跟蹤誤差和最大超調(diào)量的性能指標來比較柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的跟蹤性能．3種控制策略在穩(wěn)態(tài)下的最大軌跡跟蹤誤差分別為0.00578rad(策略1)、0.00270rad (策略2)、0.00045rad(策略3)．另外，采用策略1、策略2和策略3的最大軌跡跟蹤誤差減少到穩(wěn)態(tài)誤差范圍內(nèi)所用時間分別為3.18s、4.75s、2.71s．

圖6 不同頻率下連桿側(cè)軌跡跟蹤曲線

此外，3種控制策略軌跡跟蹤誤差的最大超調(diào)量分別為0.00583rad(策略1)、0.00466rad(策略2)和0.00119rad(策略3)．以上結(jié)果表明，本文所提出策略的軌跡跟蹤誤差避免了不必要的超調(diào)，減少了穩(wěn)定時間，并在較短時間內(nèi)以規(guī)定性能收斂到原點附近的一個足夠小的鄰域，且其穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差小于另外兩種控制策略．

圖8 3種控制策略下的連桿側(cè)軌跡跟蹤曲線

圖9 3種控制策略下的連桿側(cè)軌跡跟蹤誤差

圖10 3種控制策略下對連桿側(cè)模型不確定項的逼近

圖10和圖11分別展示了3種控制策略對連桿側(cè)和電機側(cè)的模型不確定項的逼近效果，可以看到本文所提出的復(fù)合動態(tài)面控制策略3比策略1和策略2的逼近效果更好．

圖11 3種控制策略下對電機側(cè)模型不確定項的逼近

為了更清晰地評估控制策略1、策略2、策略3的性能，使用下面的性能指標[2]：誤差平方積分(integral of square error，ISE)、誤差絕對值積分(integral of the absolute error，IAE)和時間乘以誤差絕對值積分(integral of time multiplied by the absolute value of error，ITAE)，具體可表示為

表2給出了3種控制策略的ISE、IAE和ITAE的值．從表2可以明顯看出所提出的復(fù)合動態(tài)面控制策略3的ISE、IAE和ITAE的值低于采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)動態(tài)面控制策略1、具有規(guī)定性能約束的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制策略2．以上分析證明了所提出的復(fù)合動態(tài)面控制策略在面對具有參數(shù)不確定性、建模誤差和未知擾動的單連桿柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)時，比另外兩種控制策略具有更好的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能、更高的軌跡跟蹤精度和更強的抗擾動能力．

表2 性能指標

Tab.2 Performance indexes

以上討論表明，在充分利用自適應(yīng)魯棒控制和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點的基礎(chǔ)上，將預(yù)測誤差加入自適應(yīng)參數(shù)的更新律中，同時結(jié)合約束處理方案可以提高控制器對模型不確定項的逼近精度，進而提高柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的跟蹤性能和對未知擾動的魯棒性．

4 結(jié) 論

為了進一步提高柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能和擾動抑制能力，本文提出了一種基于動態(tài)面控制技術(shù)、PPC、參數(shù)自適應(yīng)算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)合動態(tài)面控制策略．該策略利用參數(shù)自適應(yīng)算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償了柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的模型不確定項，同時設(shè)計約束處理方案保證了誤差規(guī)定性能約束和提高了系統(tǒng)對未知擾動的魯棒性．另外，將預(yù)測誤差加入復(fù)合學(xué)習(xí)自適應(yīng)律，提高了控制器對模型不確定項的補償精度．利用李雅普諾夫方法保證了閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號的半全局一致最終有界性和整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性．對一個單連桿柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)的跟蹤誤差能夠以規(guī)定的性能收斂到原點附近的一個小鄰域．同時，與使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近器的自適應(yīng)動態(tài)面控制策略以及具有規(guī)定性能約束的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制策略相比，所提出的控制策略能夠取得更優(yōu)越的跟蹤性能和擾動抑制能力．本文得出如下結(jié)論．

(1)所提出的控制策略不僅可以保證跟蹤誤差滿足規(guī)定性能約束，還具有出色的軌跡跟蹤性能和擾動抑制能力．該控制策略無需連桿狀態(tài)的高階導(dǎo)數(shù)信息，如加速度和加加速度，也無需知道柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)大?。?/p>

(2)將預(yù)測誤差納入復(fù)合學(xué)習(xí)自適應(yīng)律中，提供了更好的模型不確定項逼近能力和更高的軌跡跟蹤精度．

(3)利用約束處理方案對未知的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差和擾動的潛在魯棒性，進一步提高了柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度和抗干擾能力．

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Simulation Study of Composite Dynamic Surface Control of Flexible-Joint Systems

Hong Ying，Li Huilu，Xiao Juliang，Liu Haitao

(Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300350，China)

Problems such as parametric uncertainties，modeling error，and unknown disturbance occur frequently in the trajectory tracking control of the flexible-joint manipulator. To ensure the control accuracy of the flexible-joint system，a composite dynamic surface control strategy was proposed based on the equivalent dynamics model. The strategy included dynamic surface control technology，parametric adaptive algorithm，neural network approxima-tor，robust compensator，and constraint-handling scheme. First，the controller was designed using dynamic surface control technology to eliminate the “complexity explosion” issue faced during the backstepping approach. Second，the parametric adaptive algorithm was employed to address the parametric uncertainties in the dynamic model of the flexible-joint system. The neural network approximator was utilized to online approximate and compen-sate for discontinuous friction，modeling error，and unknown disturbances in the model. The robust compensator was responsible for the residual error of the first two parts. Concurrently，a constraint-handling scheme was designed to ensure that the tracking error satisfies the prescribed performance constraints and to further improve the robustness of the controller against neural network approximation error and unknown disturbances. Third，a composite learning adaptive law with prediction error was constructed to improve the compensation accuracy of the controller for model uncertainties. The Lyapunov stability analysis demonstrates that the proposed strategy guarantees that all signals in the closed-loop system are ultimately semi-globally uniformly bounded；moreover，the tracking error eventually con-verges to a small neighborhood around zero with the prescribed performance. Finally，the control strategy was simu-lated and validated in Simulink using a single-link flexible-joint system. The results indicate that the composite dy-namic surface control strategy remarkably improves the tracking performance of the flexible-joint system and reduces its overshoot and settling time. This shows that the composite dynamic surface control strategy is more effective and superior to other strategies.

flexible-joint；dynamic surface control；neural network；adaptive robust control；composite learning

the National Natural Science Foundation of China(No. 52175025，No. 51721003).

10.11784/tdxbz202206013

TP241

A

0493-2137(2023)09-0973-12

2022-06-10；

2022-07-05.

洪 鷹（1962— ），男，博士，副教授，hying1122@126.com.Email：m_bigm@tju.edu.cn

肖聚亮，tjxjl@tju.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(52175025，51721003).

(責任編輯：王曉燕)