龔有敏，郭延寧，孫 悅，馬廣富，郭敏文，張海博

(1. 哈爾濱工業(yè)大學航天學院控制科學與工程系，哈爾濱 150001；2. 北京控制工程研究所，北京 100094)

0 引 言

隨著航天技術的不斷發(fā)展,各國也紛紛開展了深空探測任務,比如中國的天問一號火星探測器和美國的“毅力”火星探測器。隨著深空探測任務的不斷深入,火星采樣返回和載人火星探測等任務也得到了廣泛的關注。在未來開展采樣返回等任務時,將探測器著陸到峽谷等危險地形更有利于采集到與水資源或者行星地質相關的樣本。這就要求探測器能夠具備在這些危險地形下安全著陸的能力。因此,研究能夠實現(xiàn)精確軟著陸并自主規(guī)避著陸過程的障礙的技術是極其重要的。在這些技術中,探測器的制導系統(tǒng)在保障探測器的安全著陸起到關鍵的作用,得到了廣泛的研究[1-2]。

由于在阿波羅登月計劃中的成功應用,阿波羅多項式制導[3]在過去的幾十年內受到了學術界與工程界的廣泛關注。阿波羅多項式制導的結構簡單,易于在星載計算機上實現(xiàn)。為了滿足更高的著陸性能要求,Lu[4-5]提出了增廣的阿波羅式多項式制導和分數(shù)多項式制導,文獻[5]中提出的分數(shù)多項式制導方法通過改變分數(shù)冪次和參數(shù)來改變著陸軌跡的曲率,具有規(guī)避障礙的潛能。

除此之外,現(xiàn)有的著陸制導方法可以分為計算最優(yōu)制導[6-7]和反饋制導[8-10]兩類。計算最優(yōu)制導也叫作軌跡優(yōu)化,這類方法是以燃料最優(yōu)為出發(fā)點,通過求解最優(yōu)化問題來得到控制加速度的數(shù)值解。這類方法中最具有代表性的是在文獻[11]中提出的凸優(yōu)化方法。近年來也有不少新的優(yōu)化方法應用到著陸制導中,比如終端時間自由的凸優(yōu)化方法[12]、協(xié)同優(yōu)化方法[13]、多階段凸優(yōu)化方法[14]以及序列凸優(yōu)化方法[15]。隨著人工智能方法的發(fā)展,基于學習的優(yōu)化方法也被用于求解最優(yōu)著陸制導[16-17]問題。然而,計算優(yōu)化制導方法得不到控制加速度的解析解,屬于開環(huán)制導方法,魯棒性差,依賴模型的準確度,而且需要進行大量的計算,增加了星載計算機的運算壓力。為了提高系統(tǒng)的魯棒性,獲得解析的制導律形式,許多學者研究了反饋著陸制導方法。最有名的反饋制導方法是零控脫靶量/零控速度(zero-effort-miss/zero-effort-velocity,ZEM/ZEV)最優(yōu)反饋制導[18-19],它是通過最小化整個系統(tǒng)能量來產生閉環(huán)的控制加速度指令。為了實現(xiàn)避障,Cui等[20]通過增加常值加速度段得到了可構建非凹著陸軌跡的ZEM/ZEV制導方法,該方法通過求解常值加速度的時間來實現(xiàn)避障。雖然該制導方法也適用于三維空間的著陸問題,但是該方法的推導僅針對二維平面,尚缺乏三維空間著陸問題的理論推導來嚴謹證明該制導方法在三維空間的有效性。Wang等[21]通過引入虛擬終端速度提出了兩段ZEM/ZEV制導方法來實現(xiàn)避障。但是該方法需要通過求解優(yōu)化問題來得到切換時間和虛擬終端速度。Zhang等[22]和Zhou等[23]等通過在性能指標中引入避障項對ZEM/ZEV制導律進行改進,避免了探測器與行星表面的碰撞,但這兩個方法均未考慮行星表面凸起的障礙。除此之外,Gong等[24]通過構建階梯形地形約束提出了基于預設性能的自主避障著陸制導方法,該方法需要提前獲知障礙的精確信息。文獻[25-27]采用勢函數(shù)的方法設計了自主避障反饋著陸制導律,這些基于勢函數(shù)得到的制導方法存在局部極小值的問題。

本文將著陸過程的自主避障作為主要研究問題。由于采用斜坡約束來實現(xiàn)避障具有不需要提前獲知障礙的精確信息的優(yōu)點,斜坡約束在許多計算最優(yōu)制導算法中被用來約束軌跡以實現(xiàn)避障,但是現(xiàn)有的反饋制導中很少考慮斜坡約束。鑒于此,本文采用斜坡約束對著陸軌跡進行約束,研究滿足約束的反饋制導律,實現(xiàn)自主避障精確軟著陸。與現(xiàn)有方法相比,主要的創(chuàng)新點如下:

1) 研究了考慮斜坡約束的反饋制導問題,不僅滿足了斜坡約束,還得到解析的控制加速度形式。此外,采用斜坡約束來約束著陸軌跡以實現(xiàn)避障無需提前獲知障礙的精確信息;

2) 利用斜坡約束構建了一個新穎的非線性滑模面,既保證系統(tǒng)狀態(tài)位于滑模面時是固定時間穩(wěn)定的,又保證系統(tǒng)狀態(tài)不會違反斜坡約束;

3) 通過設計反饋制導律,保證了滑模面能夠在固定時間內收斂到0,并保持在滑模面上。在滑模面的收斂過程中,系統(tǒng)狀態(tài)同樣不會違反斜坡約束。

1 動力學模型與問題描述

1.1 動力下降段動力學模型

在動力下降過程中,探測器距離行星表面的高度較小(對于火星著陸而言,這個高度往往小于5 km),因此,在動力下降段中,可以忽略行星自轉的影響,且可認為重力加速度是不變的。選取參考坐標系為與期望著陸點固連的非旋轉坐標系,oz軸垂直行星表面向上,ox軸和oy軸位于行星水平面,構成右手坐標系。動力下降段的動力學模型為

(1)

1.2 斜坡約束

為了避免探測器在著陸過程中與行星表面凸起的障礙發(fā)生碰撞,可以采用斜坡約束對著陸軌跡進行約束。如果能保證著陸軌跡位于斜坡約束內,即可實現(xiàn)避障。在著陸任務中,可以先讓探測器著陸到在期望著陸點的上方,然后再進行垂直著陸,例如火星科學實驗室。因此,本文也是研究探測器著陸到期望著陸點的上方的虛擬著陸點,并采用如圖1所示的斜坡約束對著陸軌跡進行約束,θ是斜坡角,zu是沿oz軸方向的單位矢量,h1為虛擬的著陸點高度,即虛擬著陸點的高度。

圖1 斜坡約束Fig.1 Glide-slope constraint

根據(jù)圖1可得斜坡約束的數(shù)學描述如下:

(2)

1.3 問題描述

在未來的行星探測任務中,為了獲得更豐富的科學數(shù)據(jù),可能會要求探測器能夠精確著陸到較為復雜的地形,比如峽谷。為了保證探測器的安全,實現(xiàn)自主避障的精確軟著陸成為需要解決的關鍵問題之一。因此,本文研究采用斜坡約束來約束著陸軌跡的行星探測器動力下降段精確軟著陸反饋制導問題以實現(xiàn)自主避障。

2 考慮斜坡約束的反饋制導律設計

為了便于后續(xù)制導律的設計,本節(jié)首先給出本文用到的數(shù)學定義及基本引理。然后,再進行制導律設計與分析。

2.1 定義與引理

引理 1[28].考慮如下非線性系統(tǒng)

(3)

式中:f:U→Rn是連續(xù)函數(shù)。如果存在Lyapunov函數(shù)V(x)滿足

(4)

(5)

2.2 反饋制導律設計

為了避免探測器違反斜坡約束,根據(jù)式(2)定義的斜坡約束,設計著陸軌跡的約束邊界函數(shù)為

(6)

求式(6)對r的梯度,可得

(7)

(8)

設計非奇異滑模面如下

s=μarctan(λe2+α1sigκ1(e1)+

(9)

式中:κ1>1,α1=diag(α1x,α1y,α1z)>0,β1=diag(β1x,β1y,β1z)>0,μ>0,k1>0。為了避免奇異,sc(e1)=[sc(e11),sc(e12),sc(e12)]T設計如下:

(10)

式中:0<γ1=p1/q1<1,η>0。為了保證滑模面的光滑性和連續(xù)性,參數(shù)l1和l2應該滿足:l1=(2-γ1)ηγ1-1和l2=(γ1-1)ηγ1-2。

對式(9)求導可得

(11)

式中:ζ1,ζ2=diag(ζ21,ζ22,ζ23)的定義如下:

ζ1=κ1diag(|e11|κ1-1, |e12|κ1-1, |e13|κ1-1)

(12)

(13)

定理1.考慮式(1)所示的動力下降段動力學模型,和式(2)的斜坡約束,如果將滑模面設計為式(9),并將制導律設計為

(14)

證.1) 首先證明系統(tǒng)狀態(tài)能夠達到滑模面s并且滑模面s收斂的過程系統(tǒng)狀態(tài)不違背斜坡約束

當s≠0時,由滑模面的定義(9)可知

β1sc(e1))-s

(15)

即

β1sc(e1))||+||s||

(16)

經上分析,只要能夠證明滑模面在收斂過程是有界的,即可說明在滑模面收斂的過程中探測器的系統(tǒng)狀態(tài)不會違反斜坡約束。

選取Lyapunov函數(shù)如下

(17)

求導,可得

-sTα2sigκ2(s)-sTβ2sigγ2(s)≤

-λmin(α2)||s||1+κ2+λmin(β2)||s||1+γ2=

(18)

式中:λmin(·)表示最小特征值。根據(jù)引理1可知,s滿足固定時間穩(wěn)定,而且收斂過程是有界的,即s收斂過程中不會違反斜坡約束。

2) 證明系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂性并且系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面收斂的過程不會違反斜坡約束

如果系統(tǒng)狀態(tài)位于滑模面上,即s=0,此時由式(9)有

(19)

左乘(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))可得

-μ(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))T×

arctan(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))

(20)

整理可得

arctan(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))-

(21)

選取Lyapunov函數(shù)為

(22)

求導可得

arctan(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))-

(23)

① 若|e1i|≥η,式(23)可寫為

(24)

根據(jù)引理1可知,e1是固定時間穩(wěn)定的。

② 若|e1i|<η,式(23)可寫為

(25)

根據(jù)式(25)可知,此時系統(tǒng)狀態(tài)也是穩(wěn)定的。

進一步分析系統(tǒng)狀態(tài)不會違反約束。當s=0且e1≠0時,由于

(26)

根據(jù)式(14)可知

(27)

進一步可知1/f2<∞,因此探測器的狀態(tài)不會違反斜坡約束。

當s=0且e1=0時,由滑模面的定義可知,探測器的速度e2=0,說明探測器沿著滑模面滑動收斂到期望著陸點時,速度為0,即實現(xiàn)了精確著陸。

綜上所述,采用所設計的滑模面和反饋制導律能夠保證探測器在固定時間內精確著陸至期望著陸點,并且整個著陸過程中探測器不會違反斜坡約束,最終實現(xiàn)了自主避障。

注2.本文所設計的制導律要求探測器的初始狀態(tài)是位于斜坡約束內的。

3 仿真校驗

本節(jié)以火星探測器的動力下降段為例,分別在3.1節(jié)和3.2節(jié)給出仿真實例來校驗所提算法的有效性。

仿真實例中,按照文獻[11]選取探測器的參數(shù),探測器的初始質量設置為m(0)=1 905 kg,火星表面的重力加速度為g=[0, 0, -3.711 4]Tm/s2,地球水平面的重力加速度為ge=9.807 m/s2,比沖為Isp=225 s。斜坡角為θ=60°,虛擬的期望著陸點高度為h1=5 m。

仿真中,制導律參數(shù)如表1和表2所示。

表1 制導律參數(shù)(一)Table 1 Parameters of the guidance law (Part 1)

表2 制導律參數(shù)(二)Table 2 Parameters of the guidance law (Part 2)

3.1 有效性校驗

為了校驗所提算法的有效性與正確性,本小節(jié)將考慮斜坡約束的制導律與去掉滑模面(9)中斜坡約束項推導得到的未考慮斜坡約束的制導律進行對比。未考慮斜坡約束的滑模面為

s=μarctan(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))

(28)

對應的未考慮斜坡約束的制導律為

(-(α2sigκ2(s)+β2sigγ2(s)))-

(29)

仿真結果如圖2～圖12所示。

圖2 rx隨時間變化曲線Fig.2 Time evolution of rx

圖3 ry隨時間變化曲線Fig.3 Time evolution of ry

圖4 rz隨時間變化曲線Fig.4 Time evolution of rz

圖5 vx隨時間變化曲線Fig.5 Time evolution of vx

圖6 vy隨時間變化曲線Fig.6 Time evolution of vy

圖7 vz隨時間變化曲線Fig.7 Time evolution of vz

圖8 ax隨時間變化曲線Fig.8 Time evolution of ax

圖9 ay隨時間變化曲線Fig.9 Time evolution of ay

圖10 az隨時間變化曲線Fig.10 Time evolution of az

圖11 三維空間著陸軌跡Fig.11 3D landing trajectory

圖12 斜坡角θ隨時間變化曲線Fig.12 Time evolution of glide-slope angle θ

從圖2～圖7可以看出,采用所提的制導方法,探測器能夠實現(xiàn)精確著陸。在斜坡約束項的作用下,考慮斜坡約束的制導算法使得探測器的橫側向運動以更快的速度向期望著陸點收斂,進而避免了探測器違反斜坡約束。

從控制加速度曲線圖8～圖10可以看出,考慮斜坡約束的制導律的控制加速度在大約45 s時開始增大,這是因為此時探測器距離斜坡約束較近,為了避免探測器違反斜坡約束,需要產生更大的控制加速度來控制探測器盡快遠離斜坡約束。而未考慮斜坡約束的制導律的控制加速度在接近斜坡約束時沒有施加額外的控制加速度來驅使探測器遠離斜坡約束,進而違反了斜坡約束。從控制加速度曲線圖8和圖9可以看出,探測器橫側向運動的終端控制加速度為0,這意味著探測器在到達期望的虛擬著陸點時期望的俯仰角和橫滾角為0。

從圖11的三維著陸軌跡可以明顯的看出,考慮斜坡約束的制導方法能夠滿足斜坡約束,實現(xiàn)自主避障,最終到達在期望的虛擬著陸點,而未考慮斜坡約束的制導方法會違反斜坡約束。同樣,從圖12所示的斜坡角θ的變化曲線也能明顯看出,考慮斜坡約束的制導律能夠的斜坡角始終滿足斜坡約束的斜坡角,而未考慮斜坡約束的制導律在大約19 s時就已經違反了斜坡約束。

從仿真結果可以總結得到,在增加了斜坡約束項后,所提制導算法不僅能夠保證探測器精確著陸到期望的著陸點,還能保證探測器在著陸的過程始終滿足斜坡約束。

3.2 蒙特卡洛仿真

為了校驗所提制導算法對初始狀態(tài)偏差的魯棒性,本小節(jié)進行500組蒙特卡洛仿真。探測器的初始狀態(tài)如表3所示。仿真結果如圖13～圖16所示。

表3 蒙特卡洛仿真初值Table 3 Initial values of Monte Carlo simulations

圖13 xoy平面的著陸誤差Fig.13 Landing position errors on xoy plane

圖14 著陸速度Fig.14 Landing velocities

圖15 xoz平面著陸軌跡Fig.15 Landing trajectories on xoz plane

圖16 yoz平面著陸軌跡Fig.16 Landing trajectories on yoz plane

根據(jù)圖13和圖14可以看出,在500組的蒙特卡洛仿真中,即使探測器的初始狀態(tài)存在偏差,在所提出的制導算法作用下,探測器仍然能夠以很小的速度精確著陸到期望的著陸點,且具有較高的著陸精度。

從圖15和圖16可以看出,在500組的蒙特卡洛仿真中,當存在初始狀態(tài)偏差時,所提制導算法仍能保證探測器在著陸的過程不違反斜坡約束。從蒙特卡洛的仿真結果容易總結得到所提制導算法對初始狀態(tài)偏差具有很強的魯棒性。

4 結 論

本文研究了考慮斜坡約束的行星探測器動力下降段精確軟著陸的固定時間滑模反饋制導律。通過在滑模面中引入斜坡約束,不僅能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面是固定時間穩(wěn)定的,還能保證系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面滑動收斂的過程不會違反斜坡約束。在上述滑模面的基礎上,設計了精確軟著陸反饋制導方法,保證滑模面的收斂過程是固定時間穩(wěn)定的,而且在滑模面的收斂過程中探測器也不會違反斜坡約束。由于滑模面的趨近段和滑動段探測器均不會違反斜坡約束,保證了探測器始終滿足斜坡約束,實現(xiàn)自主避障。通過數(shù)值仿真,校驗了所提制導算法的有效性以及制導律對初值不確定性的魯棒性。