孫培翰 紀翔峰

摘要：基于風險規(guī)避出行時間和出行成本兩種影響出行者路徑選擇的要素，提出了考慮雙重不確定的目標導向型雙屬性用戶均衡。采用高斯Copula刻畫風險規(guī)避出行時間與出行成本的隨機相關性，結合出行者風險規(guī)避出行時間和出行成本的實現(xiàn)概率刻畫期望目標實現(xiàn)概率與目標間的相互作用，將所提出的用戶均衡表示為變分不等式問題，采用基于路徑的連續(xù)平均算法對其求解，數(shù)值實驗驗證了算法有效性。實驗結果表明，出行者風險規(guī)避特性和目標導向特性會對交通網(wǎng)絡均衡流量產(chǎn)生一致或相反影響，部分路徑流量的改變可達16.4%。

關鍵詞：城市交通；目標導向型分析；交通網(wǎng)絡隨機性；風險規(guī)避出行時間；感知誤差；出行成本

中圖分類號：U491 文獻標志碼：A

文章編號：1006-1037（2023）02-0105-06

doi：10.3969/j.issn.1006-1037.2023.02.17

基金項目：

國家自然科學基金（批準號：71801138）資助。

通信作者：

紀翔峰，男，博士，副教授，主要研究方向為交通和物流系統(tǒng)建模與分析。

中國作為一個資源節(jié)約型、環(huán)境友好型國家，近年來緩解城市道路交通擁堵的方案逐漸發(fā)生變化，從增加交通供給轉向利用高科技手段運營管理城市交通系統(tǒng)，分析出行者的路徑?jīng)Q策行為，為出行者提供決策支持。用戶均衡原則是分析出行者路徑?jīng)Q策行為的重要手段，指任何出行者均不能通過單方面改變路徑選擇以達到減少其出行時間的目的［1］。即均衡時，所有出行者的出行時間均相等，且該出行時間最小，否則出行者改變路徑選擇來減少出行時間，但該原則存在多個與現(xiàn)實不符的假設［2］。交通網(wǎng)絡具有不確定性，如惡劣天氣或交通事故導致的路段通行能力降低等［3］，出行者選擇路徑時需考慮出行時間的可靠性，即存在風險規(guī)避選擇行為［4］。分析出行者風險規(guī)避特性下的路徑選擇的研究有出行時間預算模型［5］和均值—超量出行時間模型［6］?；诖祟惸Ｐ?，衍生出眾多拓展，如彈性需求下基于出行時間預算的用戶均衡模型［7］；構建多用戶隨機均值——超量出行時間模型［8］和隨機交通網(wǎng)絡的雙層規(guī)劃路徑?jīng)Q策模型［9］。另有研究提出了非期望路徑出行時間模型，探討了該模型與出行時間預算以及均值——超量出行時間模型間的關系［10］。出行者路徑選擇行為受多因素影響（如出行時間、出行成本以及出行時間可靠性等）也得到證實［4］，現(xiàn)有文獻也對多因素影響下的選擇行為進行了廣泛研究［5，10-11］。基于未考慮感知誤差［12］的研究，提出了基于可靠性的隨機用戶均衡模型［13］；構建了考慮交通網(wǎng)絡隨機性以及出行者感知誤差的用戶均衡模型［14］；討論了信息誘導對出行者出行選擇行為的影響［15］。實證研究表明可接受的出行時間和出行成本在出行者路徑選擇中發(fā)揮重要作用［16-17］，因此，基于出行者關注可接受的出行時間和出行成本這一行為特征，本文采用目標導向型分析方法［18-19］刻畫出行者的參考點依賴特性與可接受的概念。其中，參考點即為目標［18］ ，給定出行時間（或出行成本）的目標，不超過該目標的出行時間（或出行成本）被定義為可接受的，若該條件滿足，則目標實現(xiàn)。目標實現(xiàn)能為出行者帶來效用；特別地，多目標的同時實現(xiàn)能為出行者帶來額外效用，即目標間的相互作用。在已有研究的基礎上，考慮隨機交通網(wǎng)絡上風險規(guī)避出行時間（Risk-averse travel time，RATT）和出行成本對出行者路徑選擇的影響，同時考慮感知誤差的存在（即雙重不確定性），提出目標導向型雙屬性用戶均衡。本文研究拓展用戶均衡的分析范疇，提出更符合現(xiàn)實情形的用戶均衡原則，將所提出的用戶均衡表示為變分不等式問題，采用基于路徑的連續(xù)平均算法對其進行求解，通過數(shù)值實驗驗證了算法有效性，重點分析了出行者風險規(guī)避特性和目標導向特性共同作用下的交通系統(tǒng)表現(xiàn)（即流量分布）。

1 基于目標導向分析的路徑效用建模

在具有擁堵收費的隨機交通網(wǎng)絡上建立路徑效用模型，刻畫路徑出行時間T的分布［20］（具體推導過程請參考數(shù)值實驗部分），得到T服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ和σ2分別表示均值和方差。給定路徑出行時間的分布，根據(jù)均值—超量出行時間模型［6］，可得到RATT（表示為Tt）為

其中，α為出行者的置信水平，反映出行者的風險規(guī)避特性，取值一般為0.9或0.95［6］；當出行者為風險中性特性時值為0.5［6］；為標準正態(tài)分布。

出行者感知誤差的存在使上述確定性的RATT變?yōu)殡S機屬性，假設出行者時間感知誤差為εt［21］，則感知的RATT可表示為t=Tt+εt；感知誤差的存在又使確定性的出行成本C變?yōu)殡S機屬性，假設出行者成本感知誤差為εc，則感知的出行成本表示為=C+εc。假設εt和εc分別為t和的函數(shù)形式（見數(shù)值實驗部分），同時考慮到出行時間和出行成本間的相互影響關系，可得t和間存在隨機相關性。

假設兩個目標均得到實現(xiàn)時的效用為1，采用μt∈（0，1）表示RATT的目標得到實現(xiàn)時的效用，μc∈（0，1）表示出行成本的目標得到實現(xiàn)時的效用；假設兩個目標均未得到實現(xiàn)時的效用為0。當效用不在［0，1］范圍內(nèi)時，可通過縮放使其在該范圍內(nèi)。采用γt表示RATT的目標，γc表示出行成本的目標（設定規(guī)則見下文），路徑出行效用ω為［19］

其中，表示聯(lián)合概率。等式右側第一項為RATT的目標得到實現(xiàn)的概率及其效用，第二項為出行成本的目標得到實現(xiàn)的概率及其效用，第三項為兩目標均實現(xiàn)時的概率及其帶來的額外效用。故式（2）為出行者目標導向特性下的路徑出行效用的期望值。

采用高斯Copula刻畫隨機屬性t和間的相關性，得到聯(lián)合概率

此處選取高斯Copula僅作為概念驗證，也可采用其他形式的Copula函數(shù)［22］。而模型具體應用過程中Copula函數(shù)的選擇及其參數(shù)估計問題可參考相關文獻［19］，此處μ1=Pt≤γt，μ2=P≤γc，ρμ1μ2表示皮爾遜相關系數(shù)，其值為0到1之間。

μt+μc<1時，即單個目標實現(xiàn)為出行者帶來的效用較小，但兩目標的同時實現(xiàn)可為出行者帶來額外效用，兩目標間存在相互作用關系。1－（μt+μc）的值越大，目標間相互作用越強，因為額外效用越大，反之亦然； μt+μc=1時，兩目標間無相互作用關系。μt和μc的比值可衡量不同目標實現(xiàn)的重要性，當兩者比值大于1時，RATT的目標實現(xiàn)較為重要。其他情況可類似定義。給定兩者的比值α，當目標間不存在相互作用時，則

給定目標間無相互作用下的效用值，引入?yún)?shù)β（β>1），得到目標間存在相互作用下的效用值為μtβ和μcβ。參數(shù)α和β的值在模型應用過程中可通過陳述偏好法獲得。

2 基于目標導向分析的用戶均衡分析

2.1 均衡表示

考慮一個具有多起點和多終點（即多OD對）的交通網(wǎng)絡，N為節(jié)點集合，A為路段集合，R和S分別表示起點和終點集合。對于起點r∈R和終點s∈S（即OD對rs），qrs為OD對rs間的出行需求，Prs表示連接OD對rs的所有路徑，frsp為路徑p∈Prs上的流量。路段a流量為va（a∈A），路段路徑關系矩陣用δrspa表示。若路段a在路徑p上，δrspa=1；否則δrspa=0。路段出行成本為ca，則路徑出行成本為crsp=∑a∈Aδ（rs）paca

式（5）表示出行需求守恒，式（6）表示路段流量和路徑流量的關系，式（7）表示路徑流量的非負性。滿足上述不等式組的路徑流量為該交通網(wǎng)絡的可行流量，表示為Ω。從長期來看，當沒有出行者能夠通過單邊改變出行路徑來提高自身效用時，即達到了用戶均衡狀態(tài)。采用ωrsp表示OD對rs間路徑p的效用，πrs表示OD對rs間的最大效用，f表示路徑流量向量…，frsp，…，ω表示效用向量…，ωrsp，…。

定義 假設出行者均選擇最優(yōu)路徑來最大化其出行效用，即在均衡時，所有被使用路徑上的效用是相等的，且是最大的；所有未被使用路徑上的效用小于或等于該最大效用。

在均衡狀態(tài)下，若（frsp）*>0，πrs－ωrsp（f*）=0；若（frsp）*=0，πrs－ωrsp（f*）≤0，p∈Prs，r∈R，s∈S。其中，*表示均衡值。上述均衡問題可表示為變分不等式問題VI（f，Ω），即找到一個向量f*∈Ω，滿足f*Tf－f*≥0，f∈Ω，其中f*=－ωf*，因在本文模型中，出行者通過路徑選擇以實現(xiàn)效用最大化?，F(xiàn)有文獻對變分不等式與均衡條件間的等價關系進行了深入探討［6］，此處不再贅述。當路徑效用ω為f的連續(xù)函數(shù)時，又因為集合Ω是緊致的、凸的，可知變分不等式問題的均衡解存在；但由于路徑效用函數(shù)的形式復雜，不一定滿足嚴格單調關系，故難以保證均衡解的唯一性。

2.2 目標設置

設定RATT目標時：

（1）出行起點和終點間存在多條路徑，一個合理的假設為OD對間RATT目標為路徑上RATT目標的函數(shù)，故首先設定OD對間路徑上的目標，在此基礎上設定OD對間RATT的目標；

（2）出行者總希望以期望概率實現(xiàn)目標，故OD對間路徑p上RATT的目標可表示為機會約束問題：γrsp，t=minγ|PTp，rst≤γ≥θ，其中，θ為出行者的期望目標實現(xiàn)概率；

（3）作為風險規(guī)避的出行者，期望目標實現(xiàn)概率一般較大［19］，導致某些路徑上的目標過于保守，預留時間過長，故出行者會選擇最小預留時間，即γrst=minp∈Prsγrsp，t，進而得到RATT的目標。

采用相似原則，可得到出行成本的目標γrsc。

3 求解方法

采用基于路徑的連續(xù)平均算法對所提出的模型進行求解。

Step 1 設定k=1以及收斂率為ε0；設定皮爾遜相關系數(shù)ρ；

Step 2 基于現(xiàn)有的空路段流量v1a進行全有全無分配，得到OD對rs間的路徑流量frs，1p；

Step 3 基于當前路徑流量frs，kp，更新路段流量va以及感知值的邊際分布；

Step 4 基于式（2）計算目標導向型雙屬性路徑效用ωrs，kp，得出OD對rs間的最大效用πrs，k；

Step 6 基于現(xiàn)有的路徑流量計算更新方向drs，kp和步長sk，采用frs，k+1p=frs，kp+skdrs，kp更新路徑流量；設定k=k+1，跳至Step 3；根據(jù)drs，kp=rs，kp－frs，kp（rs，kp為輔助流量）計算更新方向；如果ωrs，kp=πrs，k，rs，kp=qrsmrs；否則rs，kp=0，mrs為第k步時，OD對rs間具有最大效用的路徑數(shù)量；步長sk=1/k+1。

經(jīng)驗證，本文所用基于路徑的連續(xù)平均算法收斂［23］。在現(xiàn)有算法中，需要進行路徑枚舉，使得算法在大型交通網(wǎng)絡上的效率較低。但本文研究重點在于出行者行為建模，故設計高效算法在大型網(wǎng)絡上求解將在未來研究中探討。

4 數(shù)值實驗

采用如圖1所示的交通網(wǎng)絡驗證出行者風險規(guī)避特性和目標導向特性共同作用下的交通系統(tǒng)表現(xiàn)，共有3條路徑和5條路段。其中路徑1包含路段1和2；路徑2包含路段1、3和5；路徑3包含路段4和5。OD對（1，4）間的交通需求為1 500。測試中算法的最大迭代次數(shù)為106，收斂參數(shù)ε0=10-6，皮爾遜相關系數(shù)為0.7，出行者的期望目標實現(xiàn)概率為0.9。

路段出行時間tava采用BPR函數(shù)，tava=t0a（1+0.15（va/Ca）4）計算，其中，t0a表示自由流時間，Ca表示通行能力。出行時間波動來自于路段通行能力降低［20］ ，假設路段通行能力服從均勻分布Uηaa，a，上界a表示路段設計通行能力，下界參數(shù)ηa反映路段通行能力降低，值越小，路段出行時間波動越大，可靠性越小，反之亦然?；谏鲜霰硎荆傻寐窂匠鲂袝r間Trsp服從正態(tài)分布，均值和標準差分別為

設出行者的置信水平α=0.9，結合式（8）、式（9），得到路徑RATT。測試中涉及的其他數(shù)據(jù)見表1。

假設路徑RATT和出行成本的感知誤差均服從正態(tài)分布，分別為N0，Ttσ2t和N（0，Cσ2c），則感知的RATT服從正態(tài)分布NTt，Ttσ2t，感知的出行成本服從正態(tài)分布NC，Cσ2c。本文選擇σ2t=σ2c=1。

首先測試不同目標實現(xiàn)效用下的交通系統(tǒng)表現(xiàn)，效用值的不同反映了目標實現(xiàn)的重要性。μt=0.8，μc=0.2（α=4）時，RATT目標實現(xiàn)的重要性較高；μt=0.5，μc=0.5（α=1）時，出行成本目標實現(xiàn)的重要性較之前升高，測試結果見表2和表3。對比可知，當僅考慮出行者風險規(guī)避特性時，選擇路徑2的出行者數(shù)量增多，而選擇路徑1和路徑3的出行者數(shù)量減少，因為路徑2具有較小的出行時間波動性，可靠性較高；當僅考慮出行成本目標的重要性升高時，選擇路徑2的出行者數(shù)量減少，而選擇路徑1和路徑3的出行者數(shù)量增多，因為路徑2具有較小的出行成本目標實現(xiàn)概率，反之亦然；出行者的風險規(guī)避特性和RATT目標實現(xiàn)的重要性對流量分布具有一致的影響，而出行者的風險規(guī)避特性和出行成本目標實現(xiàn)的重要性對流量分布具有相反的影響。在本文測試中，當考慮兩者的共同作用時，選擇路徑2的出行者數(shù)量改變可達16.4%。

為測試目標間不同程度相互作用下的交通系統(tǒng)表現(xiàn)，令μt=0.66，μc=0.34，目標間無相互作用關系；μt=0.33，μc=0.17（β=2）時，目標間存在相互作用關系，結果見表4?？芍?，出行者風險規(guī)避特性下的測試結果與上述結果相同；當僅考慮目標間相互作用關系對均衡結果的影響時，相互作用關系的存在使選擇路徑2的出行者數(shù)量減少，而選擇路徑1和路徑3的出行者數(shù)量增多，因為路徑2上目標同時實現(xiàn)的概率較小，反之亦然；出行者的風險規(guī)避特性與目標間相互關系對流量分布具有相反的影響。測試中，當考慮兩者的共同作用時，選擇路徑2的出行者數(shù)量改變?yōu)?.8%。

5 結論

在收費交通網(wǎng)絡上，考慮交通網(wǎng)絡隨機性和出行者感知誤差這雙重不確定的影響，探討了出行者路徑選擇行為，拓展其分析范疇；基于目標導向型分析方法提出了雙屬性用戶均衡，該均衡具有行為一致性，刻畫了出行者路徑選擇中可接受的概念，拓展了傳統(tǒng)分析的范疇；重點分析了出行者風險規(guī)避特性和目標導向特性共同作用下的系統(tǒng)表現(xiàn)（即流量分布）。研究發(fā)現(xiàn)出行者風險規(guī)避特性和目標導向特性對流量分布可產(chǎn)生一致的影響，也可產(chǎn)生相反的影響；部分路徑的流量隨著特性的改變而改變較大。流量改變反映了出行者對實現(xiàn)出行時間目標和出行成本目標的權衡，當實現(xiàn)出行時間目標較為重要時，較多出行者會選擇出行成本較高的路徑，反之亦然。本研究中，交通網(wǎng)絡的擁堵收費是給定的，未來可基于本文研究探討最優(yōu)擁堵收費問題，重點關系上述兩類特性耦合關系對收費設計的影響。

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