李曄，高宇，沈超明，姜文安，陳立群

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2.江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；3.上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

0 引言

目前俘能器的主要研究方向包括線性多模態(tài)[1]、自調(diào)諧頻率[2]、三次非線性[3]、雙穩(wěn)態(tài)、三穩(wěn)態(tài)、多穩(wěn)態(tài)[6]、相干共振和非線性相互作用。

流致振動(dòng)俘能作為一種新型的清潔可再生能源，成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。流致振動(dòng)俘能技術(shù)主要有風(fēng)致振動(dòng)能量和水致振動(dòng)能量，其中風(fēng)致振動(dòng)俘能主要有渦激振動(dòng)[9– 10]、顫振[11– 13]、馳振[14– 15]、抖振[16– 17]。而水流致振動(dòng)俘取得了許多有意義的成果[18– 20]。脈動(dòng)流誘發(fā)的振動(dòng)在海洋工程中廣泛存在，具有重要的研究?jī)r(jià)值。因此，本文設(shè)計(jì)一個(gè)脈動(dòng)流致振動(dòng)雙穩(wěn)態(tài)俘能器，考察該俘能器在水下脈動(dòng)流致振動(dòng)時(shí)的性能。

1 采集器模型

如圖1 所示，該俘能器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)由2 個(gè)傾斜的彈簧、阻尼器和圓柱體組成。電路系統(tǒng)由銅線圈、電阻和磁鐵組成。

圖1 脈動(dòng)流致振動(dòng)雙穩(wěn)態(tài)俘能器Fig.1 Bistable energy harvesting induced by oscillating flow

利用法拉第電磁感應(yīng)定律，可以推導(dǎo)系統(tǒng)的機(jī)電耦合運(yùn)動(dòng)方程為：

其中：X為系統(tǒng)的位移；為俘能器的輸出電流；m為圓柱體的質(zhì)量；ρ為流體密度；A為圓柱體的截面面積；c為阻尼系數(shù)；k為彈簧的剛度；L為2 根傾斜彈簧的原始長(zhǎng)度；l為傾斜彈簧固定框架端到2 彈簧中心的距離；Cl為粘性流體附加質(zhì)量系數(shù)；Cm為慣性系數(shù)；CD為粘性曳力系數(shù)；U=U0+U1sin(ΩT)，為脈動(dòng)流速；U0為非零均值定常流速；U1為脈動(dòng)流的幅值；Ω為脈動(dòng)流的頻率；Lind為電感；Lcoil為銅線圈的長(zhǎng)度；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；R為電阻。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，式(1)和式(2)可以無(wú)量綱化為

系統(tǒng)的勢(shì)能為：

對(duì)應(yīng)的恢復(fù)力為：

系統(tǒng)勢(shì)能和恢復(fù)力變化的曲線圖如圖2 所示。由圖2(a)可知，系統(tǒng)的勢(shì)能在3 組不同參數(shù)下，具有雙勢(shì)阱特征，且雙勢(shì)阱在勢(shì)壘的左右兩側(cè)對(duì)稱的分布。由圖2(b)可知，系統(tǒng)的恢復(fù)力有3 個(gè)解，即1 個(gè)零解，2 個(gè)關(guān)于零對(duì)稱的解，相應(yīng)的靜平衡解見表1。因此，該系統(tǒng)(1)和(2)，具有雙穩(wěn)態(tài)的特性。

表1 系統(tǒng)的靜平衡值及泰勒系數(shù)Tab.1 The static equilibrium value and Taylor coefficient of the system

圖2 系統(tǒng)的勢(shì)能和恢復(fù)力曲線Fig.2 Potential energy and restoring force curves of the system

2 波速遠(yuǎn)大于速度的小幅振動(dòng)

2.1 諧波分析

式(3)為非線性微分方程，沒(méi)有精確解析解。若波浪流速的幅值遠(yuǎn)大于系統(tǒng)最大速度[35]，則

同時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)做小幅振動(dòng)時(shí)，無(wú)理非線性剛度可以在靜平衡點(diǎn)展開為多項(xiàng)式非線性形式，忽略三次以上高階非線性和二次以上激勵(lì)項(xiàng)，則系統(tǒng)的機(jī)電耦合方程可以重新簡(jiǎn)化為：

假設(shè)系統(tǒng)的一階諧波解為：

代入電路方程，可得解耦后的電流為：

把式(8)和式(9)代入式6)，可得一階諧波解滿足如下關(guān)系：

式(10)和式(11)是非線性的代數(shù)方程組，沒(méi)有解析解，可以利用數(shù)值方法進(jìn)行求解計(jì)算。

進(jìn)一步根據(jù)式(9)，可以得到輸出電流幅值與位移響應(yīng)幅值的關(guān)系為：

功率方程：

基于式(10)～式(12)，圖3 給出為不同激勵(lì)下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。其中ζ=0.02，χ=0.016，κ=0.16，λ=0.002，β=-0.209。可知，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線具有向左彎曲的軟特性，且隨著激勵(lì)幅值的增加，響應(yīng)的頻率帶寬增加，具有寬頻的采集特性。

圖3 不同激勵(lì)幅值下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 Amplitude-frequency response curves under different excitation amplitudes

2.2 參數(shù)影響

圖4 所示為3 組不同傾斜角余弦時(shí)的響應(yīng)曲線隨著外激勵(lì)頻率的變化趨勢(shì)?？梢钥闯觯S著傾斜角余弦的減小，系統(tǒng)的位移和電量響應(yīng)增加，且采集頻率的帶寬也增大。因此，小的傾斜角余弦能同時(shí)采集更多的電量和擁有寬頻的帶寬。

圖4 不同傾斜角下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.4 Amplitude-frequency response curves at different inclination angles

圖5 給出3 組不同頻率時(shí)，電壓和功率s 隨電阻變化的規(guī)律?？梢钥闯觯诓煌?lì)頻率下，隨著電壓的增加電阻先極速增加再緩慢增加，功率隨著電阻先極速增加再慢慢減小，存在一個(gè)最優(yōu)電阻使得輸出的功率最大。

圖5 不同頻率下的輸出電量隨電阻的變化Fig.5 The output power at different frequencies varies with the resistance

圖6～圖8 為電量參數(shù)對(duì)輸出響應(yīng)的影響?？芍S著磁感線強(qiáng)度和線圈長(zhǎng)度的增加，輸出電流響應(yīng)近似線性的增加，功率呈非線性增加。隨著電感的增加，輸出電流和功率呈非線性遞減。

圖6 不同頻率下的輸出電量隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化Fig.6 The variation of output power with magnetic induction intensity at different frequencies

圖7 不同頻率下的輸出電量隨電感的變化Fig.7 The variation of output power with inductance at different frequencies

圖8 不同頻率下的輸出電量隨線圈長(zhǎng)度的變化Fig.8 The output power at different frequencies varies with coil length

2.3 線性對(duì)比

圖9 為3 組不同傾斜角余弦（α=0.25,0.5,0.75）時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線。其中比較的基準(zhǔn)選取位移響應(yīng)為1，電流響應(yīng)為0.1?？芍?，線性系統(tǒng)在共振頻率附近有比較大的幅值，但是采集的頻率帶寬只集中在共振頻率附近，而非線性系統(tǒng)具有更寬的采集頻率帶寬。

圖9 與線性采集器幅頻性能對(duì)比Fig.9 Compared with the amplitude and frequency performance of linear collector

3 波速與速度不確定的振動(dòng)

當(dāng)波浪流速的幅值與系統(tǒng)速度之間的大小關(guān)系不確定時(shí)，系統(tǒng)式(3)～式(4)是含有絕對(duì)值的無(wú)理非線性微分方程組，系統(tǒng)的近似響應(yīng)求解困難。采用四階龍格庫(kù)塔數(shù)值方法，對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行求解。

3.1 不同類型的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)

圖10～圖13 給出系統(tǒng)在不同頻率時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為（ω=0.5,0.75,1.0,1.5）?？芍?，當(dāng)ω=0.5 時(shí)，系統(tǒng)存在小幅的周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω=0.75 時(shí)，系統(tǒng)做大幅的周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω=1.0 時(shí)，系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω=1.5 時(shí)，系統(tǒng)做3 倍周期運(yùn)動(dòng)。

圖10 ω=0.5 時(shí)的小幅周期響應(yīng)Fig.10 Small periodic response at ω=0.5

圖11 ω=0.75 時(shí)的大幅周期響應(yīng)Fig.11 Small periodic response at ω=0.75

圖12 ω=1.0 時(shí)的混沌響應(yīng)Fig.12 Small periodic response at ω=1.0

圖13 ω=1.5 時(shí)的倍周期響應(yīng)Fig.13 Small periodic response at ω=1.5

3.2 參數(shù)影響

采用均方根的統(tǒng)計(jì)方法，計(jì)算系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。圖14 為3 組激勵(lì)幅值下的幅頻響應(yīng)曲線。圖15 為3 組不同傾斜角余弦時(shí)的響應(yīng)曲線隨著外激勵(lì)頻率的變化趨勢(shì)?？梢钥闯觯S著激勵(lì)幅值的增加，除個(gè)別頻率外，系統(tǒng)的位移和電量響應(yīng)增加，而傾斜角余弦對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響差別不大。

圖14 波速與速度不確定時(shí)激勵(lì)幅值變化的幅頻響應(yīng)曲線Fig.14 Amplitude-frequency response curve of excitation amplitude variation with uncertain wave velocity and velocity

圖15 波速與速度不確定時(shí)不同傾斜角下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.15 Amplitude-frequency response curves at different inclination angles when wave velocity and velocity are uncertain

3.3 線性對(duì)比

圖16 為2 組不同幅值（u1=2.5和u1=5）時(shí)非線性系統(tǒng)和相應(yīng)線性系統(tǒng)幅頻相應(yīng)曲線的對(duì)比?？芍?，非線性線性系統(tǒng)比相應(yīng)線性系統(tǒng)在多個(gè)頻率有更大的響應(yīng)幅值，具有寬頻的采集特性。

圖16 波速與速度不確定時(shí)與線性采集器幅頻性能對(duì)比Fig.16 Amplitude and frequency performance comparison with linear collector with uncertain wave velocity and velocity

4 結(jié)語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)一個(gè)水下雙穩(wěn)態(tài)俘能器，研究系統(tǒng)在脈動(dòng)流致振動(dòng)下的采集性能，進(jìn)行解析分析和數(shù)值計(jì)算，得出如下主要結(jié)論：

1）在波速遠(yuǎn)大于速度的小幅振動(dòng)運(yùn)動(dòng)中，通過(guò)諧波分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線具有向左彎曲的軟特性。通過(guò)與線性系統(tǒng)對(duì)比，得到系統(tǒng)具有寬頻的采集特性。隨著系統(tǒng)電阻的變化，存在一個(gè)最優(yōu)的電阻，使得輸出電量的功率最大。

2）在波速與速度不確定的振動(dòng)中，基于數(shù)值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在小幅周期、大幅周期、混沌和倍周期等復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為，且系統(tǒng)比線性系統(tǒng)有更寬的采集頻帶。

3）計(jì)算和分析結(jié)果可以為波浪能寬頻發(fā)電技術(shù)提供一定的理論支撐。