郭涵濤　毛玉萃

關(guān)鍵詞：Tarjan；程序類競(jìng)賽；實(shí)例

中圖分類號(hào)：TP311.52 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2023）12-0029-05

1 Tarjan 算法簡(jiǎn)述[1]

Tarjan 算法是基于深度優(yōu)先搜索的算法，由著名計(jì)算機(jī)科學(xué)家Robert Tarjan發(fā)明，用于求解圖的連通性問題。Tarjan 算法可以在線性時(shí)間內(nèi)求出無向圖的割點(diǎn)與橋，進(jìn)一步地可以求解無向圖的連通分量；也可以求解有向圖的強(qiáng)連通分量、必經(jīng)點(diǎn)與必經(jīng)邊；該算法是圖論中非常實(shí)用且常用的算法之一，能解決強(qiáng)連通分量，雙連通分量，割點(diǎn)和橋，以及求最近公共祖先（LCA） 等問題。

1.1 Tarjan 問題中的概念介紹

割點(diǎn)：如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)X和所有與X關(guān)聯(lián)的邊從圖中刪除后，圖會(huì)被分割成兩個(gè)或兩個(gè)以上不相連的子圖，那么這個(gè)分割點(diǎn)就叫作X。

割邊：如果把圖中的邊e去掉后，圖就會(huì)被分割成兩個(gè)不相連的子圖，那么這條邊或者叫切邊或者叫割邊。

時(shí)間戳：時(shí)間戳是用來標(biāo)記圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)在進(jìn)行深度優(yōu)先搜索時(shí)被訪問的時(shí)間順序，用dfn[x]來表示。

搜索樹：在無向圖中，從某一個(gè)節(jié)點(diǎn)x 出發(fā)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)只訪問一次，所有被訪問過的節(jié)點(diǎn)與邊構(gòu)成一棵樹，稱之為“無向連通圖的搜索樹”。

追溯值：追溯值用來表示從當(dāng)前節(jié)點(diǎn)x 作為搜索樹的根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，能夠訪問到的所有節(jié)點(diǎn)中，時(shí)間戳最小的值，用low[x]來表示。所有節(jié)點(diǎn)包含：

1） 以x為根的搜索樹的所有節(jié)點(diǎn)。

2） 通過一條非搜索樹上的邊，能夠到達(dá)搜索樹的所有節(jié)點(diǎn)。

1.2 Tarjan 算法的原理[1]

Tarjan 算法是一種利用深度優(yōu)先搜索實(shí)現(xiàn)的圖算法，它能夠?qū)D中的節(jié)點(diǎn)按照強(qiáng)連通分量進(jìn)行劃分，并將同一強(qiáng)連通分量中的節(jié)點(diǎn)放在一起。在搜索過程中，將未處理的節(jié)點(diǎn)加入一個(gè)棧中，并在回溯的過程中檢查棧頂?shù)綏Ｖ械墓?jié)點(diǎn)是否構(gòu)成了一個(gè)強(qiáng)連通分量。因此，每個(gè)強(qiáng)連通分量對(duì)應(yīng)于深度優(yōu)先搜索樹中的一棵子樹。

算法：

1） 當(dāng)首次搜索到點(diǎn)u時(shí)dfn[u]=low[u]=time;

2） 每當(dāng)搜索到一個(gè)點(diǎn)，把該點(diǎn)壓入棧頂;

3） 當(dāng)u和v有邊相連時(shí)：

當(dāng)節(jié)點(diǎn)v不在棧中時(shí)（即遇到樹枝邊），執(zhí)行dfs（v） 操作，并將low[u]的值更新為min{low（u）， low（v）}；當(dāng)節(jié)點(diǎn)v在棧中時(shí)（即遇到前向邊或后向邊），將low[u]的值更新為min{low[u]， dfn[v]}。

4） 當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)u的dfn值等于其low值時(shí)，意味著它所在的強(qiáng)連通分量已經(jīng)被完全探索并且已經(jīng)被壓入棧中。因此，可以將該節(jié)點(diǎn)及其在棧中之前的所有節(jié)點(diǎn)彈出棧，這樣彈出的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的集合就是一個(gè)強(qiáng)連通分量。

5） 繼續(xù)搜索，直到圖被遍歷完畢。Tarjan算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（n+m），因?yàn)樵谠撍惴ㄖ?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅被遍歷一次，每條邊也僅被遍歷一次。

1.3 Tarjan 算法的競(jìng)賽意義

各類程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽里考察Tarjan的題目相比于其他算法題目并不是特別常見，但研究此類算法卻是小組成員學(xué)習(xí)其他圖論算法的必備條件之一。程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽對(duì)計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的學(xué)生來說有著很大的幫助，考驗(yàn)著學(xué)生的耐心、專注度、邏輯水平等。

1.4 Tarjan 算法的C++代碼

Tarjan算法的用C++實(shí)現(xiàn)的代碼如圖1所示。

2 Tarjan 算法在程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽中幾種典型運(yùn)用

2.1 割點(diǎn)（割頂）問題[2]

題目：給定一個(gè)包含n 個(gè)節(jié)點(diǎn)和m 條無向邊的圖，需要找出使圖不連通的最少節(jié)點(diǎn)集合，這個(gè)集合中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是圖的割點(diǎn)。

輸入：第一行輸入兩個(gè)正整數(shù)n，m。

輸入m 條邊，每條邊用兩個(gè)正整數(shù)x 和y 表示，表示節(jié)點(diǎn)x 和節(jié)點(diǎn)y 之間有一條無向邊。輸出：第一行輸出割點(diǎn)個(gè)數(shù)。

第二行按照節(jié)點(diǎn)編號(hào)從小到大輸出節(jié)點(diǎn)，用空格隔開。

樣例輸入：6 7

1 2

1 3

1 4

2 5

3 5

4 5

5 6 樣例輸出：1

5

分析：標(biāo)準(zhǔn)Tarjan割點(diǎn)題，按照定義去求即可，用C++實(shí)現(xiàn)的代碼如圖2所示。

2.2 The Cow Prom S 問題[3]

題目：有一個(gè)n 個(gè)點(diǎn)，m 條邊的有向圖，請(qǐng)求出這個(gè)圖點(diǎn)數(shù)大于1 的強(qiáng)聯(lián)通分量個(gè)數(shù)。

輸入：第一行為兩個(gè)整數(shù)n 和m。

從第二行到第m+1 行，每行給出兩個(gè)整數(shù)a 和b，表示有一條從節(jié)點(diǎn)a 指向節(jié)點(diǎn)b 的有向邊。

輸出：僅一行，表示點(diǎn)數(shù)大于1 的強(qiáng)聯(lián)通分量個(gè)數(shù)。

樣例輸入：5 4

2 4

3 5

1 2

4 1

樣例輸出：1

分析：要解決Tarjan 強(qiáng)連通分量問題，需要使用Tarjan 算法對(duì)圖進(jìn)行計(jì)算，并統(tǒng)計(jì)強(qiáng)連通分量的數(shù)量。其主要部分代碼如圖3所示。

2.3 受歡迎的牛G 問題[4]

題目：每頭奶牛都?jí)粝氤蔀榕Ｅ锢锏拿餍恰１凰心膛Ｏ矚g的奶牛就是一頭明星奶牛。每頭奶?？偸窍矚g自己的，奶牛之間的“喜歡”是可以傳遞的——如果A 喜歡B，B 喜歡C，那么A 也喜歡C。牛欄里共有N 頭奶牛，給定一些奶牛之間的愛慕關(guān)系，請(qǐng)你算出有多少頭奶牛可以當(dāng)明星。

輸入：第一行：兩個(gè)用空格分開的整數(shù)：N 和M。

接下來M 行：每行兩個(gè)用空格分開的整數(shù)：A 和B，表示A 喜歡B。

輸出：一行單獨(dú)一個(gè)整數(shù)，表示明星奶牛的數(shù)量。

樣例輸入：3 3

1 2

2 1

2 3

樣例輸出：1

分析：利用Tarjan 算法對(duì)圖進(jìn)行強(qiáng)連通分量的計(jì)算并縮點(diǎn)后，可以得到一張有向無環(huán)圖（DAG），其中每個(gè)強(qiáng)連通分量被縮成一個(gè)點(diǎn)。在這個(gè)DAG 中，最受歡迎的奶?？梢员欢x為出度為0的點(diǎn)，也就是那些沒有任何后繼節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)。這個(gè)強(qiáng)連通分量的奶牛數(shù)量極為最受歡迎的奶牛數(shù)量，同時(shí)，如果有兩個(gè)及兩個(gè)以上的強(qiáng)連通分量則沒有最受歡迎的奶牛。因?yàn)檫@幾個(gè)強(qiáng)連通分量的奶牛無法相互傳遞“喜歡”，無法被所有奶牛喜歡。

其主要代碼如圖4所示。

2.4 縮點(diǎn)問題[5]

題目：給定一個(gè)n 個(gè)點(diǎn)m 條邊有向圖，每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)權(quán)值，求一條路徑，使路徑經(jīng)過的點(diǎn)權(quán)值之和最大。你只需要求出這個(gè)權(quán)值和。

允許多次經(jīng)過一條邊或者一個(gè)點(diǎn)，但是，重復(fù)經(jīng)過的點(diǎn)，權(quán)值只計(jì)算一次。

輸入：第一行兩個(gè)正整數(shù)n，m。

第二行n 個(gè)整數(shù)，其中第i 個(gè)數(shù)ai 表示點(diǎn)i 的點(diǎn)權(quán)。

第三至m+2 行，每行兩個(gè)整數(shù)u，v，表示一條u→v 的有向邊。

輸出：共一行，最大的點(diǎn)權(quán)之和。

樣例輸入：2 2

1 1

1 2

2 1 樣例輸出：2

解析：由題意可知，需要找到一條點(diǎn)權(quán)和最大的路徑，且可以重復(fù)走。這樣第一時(shí)間就會(huì)考慮到出現(xiàn)環(huán)的情況，在題目要求權(quán)值最大的情況下，有環(huán)肯定需要把環(huán)上的點(diǎn)全走一遍。這時(shí)候就會(huì)用到縮點(diǎn)的技巧。如果不使用縮點(diǎn)，很多算法都無法兼容。使用完縮點(diǎn)之后就可以正常處理。

因?yàn)槭怯邢驁D，可以采用拓?fù)渑判?dp來進(jìn)行順推答案，維護(hù)到達(dá)點(diǎn)的最大權(quán)值和。其實(shí)現(xiàn)的主要部分代碼如圖5所示。

2.5 Line Graph Matching（2021ICPC 沈陽(yáng)站）問題[6]

題目：在圖論這門數(shù)學(xué)學(xué)科中，一個(gè)簡(jiǎn)單的無向加權(quán)圖G 的線圖是另一個(gè)簡(jiǎn)單的有向加權(quán)圖L（G）。線圖L（G）是一種由圖G 轉(zhuǎn)換而來的圖形，它的構(gòu)造方法是：將圖G 中的每個(gè)頂點(diǎn)用一條線段表示，線段的長(zhǎng)度等于該頂點(diǎn)的度數(shù)；然后在L（G） 中，若圖G 中有兩條邊e1 和e2 共享一個(gè)頂點(diǎn)v，則在L（G） 中會(huì)用一個(gè)點(diǎn)來連接頂點(diǎn)e1 和頂點(diǎn)e2。因此，L（G） 表示的是圖G 中每?jī)蓷l邊之間的鄰接關(guān)系，這種關(guān)系可以通過連接L（G） 中的點(diǎn)來表示。

具體來說，對(duì)于沒有環(huán)或多條邊的無向加權(quán)圖G，其線圖L（G）是一個(gè)無向的加權(quán)圖，滿足以下條件：

L（G）的每個(gè)頂點(diǎn)表示G的一條邊；

如果在圖G中，兩個(gè)頂點(diǎn)之間的邊的權(quán)重等于它們對(duì)應(yīng)邊的權(quán)重之和，并且這兩個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊共享一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)頂點(diǎn)就是相鄰的。

簡(jiǎn)單無向加權(quán)圖中的最大加權(quán)匹配被定義為一組邊，其中沒有兩條邊共享一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且該集合中的邊的權(quán)重之和被最大化。

給定一個(gè)簡(jiǎn)單的無向加權(quán)連通圖G，你的任務(wù)是找到L（G）的最大加權(quán)匹配中的邊的權(quán)重之和。

輸入：第一行包含兩個(gè)整數(shù)n和m，表示頂點(diǎn)數(shù)和給定圖G中的邊數(shù)。

然后沿著m條線，其中第i條線包含三個(gè)整數(shù)u，u 和w，表明圖中的第i條邊是w的權(quán)重，并連接第u個(gè)頂點(diǎn)和第v個(gè)頂點(diǎn)。保證了圖G是連通的，并且不包含循環(huán)和多條邊。

輸出：輸出包含單個(gè)整數(shù)的行，表示L（G）的最大加權(quán)匹配中的邊的權(quán)重之和。

樣例輸入：5 6

1 2 1

1 3 2

1 4 3

4 3 4

4 5 5

2 5 6

樣例輸出：21

解析：該題有兩種情況，一種情況為邊的數(shù)量為偶數(shù)，由深度優(yōu)先搜索樹可以推出，如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)的子樹有一條邊未匹配，則使用父節(jié)點(diǎn)的邊進(jìn)行配對(duì)，如果子樹完美配對(duì)，則繼續(xù)往上遞歸。所以，偶數(shù)條邊一定可以把所有邊進(jìn)行完美配對(duì)。

另一種情況為邊的數(shù)量為奇數(shù)，可以按照上一種情況轉(zhuǎn)換，相當(dāng)于偶數(shù)條邊去掉了一條邊。

刪邊之后會(huì)有兩種情況，一種為分成兩個(gè)聯(lián)通塊（刪的邊為割邊），另一種為偶數(shù)條邊的單個(gè)聯(lián)通塊（刪的邊為非割邊）。

前者又分為兩個(gè)奇數(shù)條邊聯(lián)通塊，和兩個(gè)偶數(shù)條邊聯(lián)通塊。前者因?yàn)闀?huì)加大損耗，且可以轉(zhuǎn)換成另外兩種情況。

最后結(jié)果為取兩種情況的最小值（刪掉損失最小的邊），剩下的即為最大的權(quán)重之和。其實(shí)現(xiàn)的主要部分代碼如圖6所示。

3 Tarjan 算法在其他算法中的運(yùn)用

拓?fù)渑判颍篢arjan算法可以用來對(duì)有向無環(huán)圖進(jìn)行拓?fù)渑判颉?/p>

二分圖檢測(cè)：Tarjan算法可以用于檢測(cè)一個(gè)無向圖是否為二分圖。

最小生成樹：Tarjan算法可以用于Kruskal算法中的最小生成樹算法，以找到圖中的最小生成樹。

有向無環(huán)圖的最長(zhǎng)路徑：通過對(duì)有向無環(huán)圖進(jìn)行拓?fù)渑判?，可以使用Tarjan算法來找到有向無環(huán)圖的最長(zhǎng)路徑。

網(wǎng)絡(luò)流算法：Tarjan算法可以用于網(wǎng)絡(luò)流算法中，例如在最大流算法中，它可以用來找到殘量圖中的增廣路徑。

總之，Tarjan算法是一個(gè)非常有用的算法，可以應(yīng)用于多種圖論的算法中，并且在實(shí)踐中得到廣泛的應(yīng)用。

4 Tarjan 算法在工程上的運(yùn)用

1） 編譯器中的語(yǔ)法分析：在編譯器中，Tarjan 算法被應(yīng)用于生成語(yǔ)法分析器。語(yǔ)法分析器的任務(wù)是將源代碼轉(zhuǎn)化為一個(gè)抽象語(yǔ)法樹，然后進(jìn)行語(yǔ)義分析和生成代碼。Tarjan算法可以在語(yǔ)法分析器中用于檢測(cè)循環(huán)依賴和死鎖等問題。

2） 數(shù)據(jù)庫(kù)中的事務(wù)管理：在數(shù)據(jù)庫(kù)管理系統(tǒng)中，Tarjan算法可以用于事務(wù)管理，特別是在分布式數(shù)據(jù)庫(kù)中。在這種情況下，Tarjan算法可以用于檢測(cè)數(shù)據(jù)庫(kù)中的死鎖，以確保事務(wù)的正確執(zhí)行。

3） 圖形編輯器中的拓?fù)渑判颍涸趫D形編輯器中，Tarjan算法可以用于執(zhí)行拓?fù)渑判颍员阍谔幚碛邢驘o環(huán)圖時(shí)能夠按照正確的順序處理圖形元素。

4） 軟件工程中的模塊依賴分析：在軟件工程中，Tarjan算法可以用于模塊依賴分析。模塊依賴分析可以幫助開發(fā)人員識(shí)別軟件模塊之間的依賴關(guān)系，以便更好地組織和管理代碼庫(kù)。

5） 網(wǎng)絡(luò)協(xié)議中的路由算法：在網(wǎng)絡(luò)協(xié)議中，Tarjan 算法可以用于路由算法，以幫助網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)找到最佳的路由路徑。例如，在因特網(wǎng)中，Tarjan算法可以用于實(shí)現(xiàn)BGP（Border Gateway Protocol） 協(xié)議，以幫助互聯(lián)網(wǎng)服務(wù)提供商找到最佳的路由路徑。

總的來說，Tarjan算法是一種非常通用的算法，可以應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域和場(chǎng)景中。

5 總結(jié)

Tarjan算法在解決強(qiáng)連通分量問題方面具有重要的地位，它在解決強(qiáng)連通分量問題方面具有重要的地位，還可以應(yīng)用到許多其他的圖算法中。它不僅在理論上有著優(yōu)秀的性能表現(xiàn)，而且在實(shí)際應(yīng)用中也得到了廣泛的使用和驗(yàn)證。