付秀波

摘? 要：在學完解析幾何的相關內容后開設章末復習課，設計的基本思路是：以任務驅動學生自主復習，在回顧并總結知識的過程中引導學生歸納概括圓錐曲線的研究方法，在找共性的過程中逐步明晰解析幾何的基本思想.

關鍵詞：復習課；知識回顧總結；方法歸納概括

一、教學內容解析

本節(jié)課是北師大版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“圓錐曲線”的復習課. 平面解析幾何的基本思想是把幾何圖形放到平面直角坐標系中，用代數方法研究幾何問題，基本方法是坐標法. 建立平面直角坐標系后，平面上的點可以用坐標表示，即將幾何中最基本的元素（點）和有序數對（x，y）之間建立一一對應的關系，從而平面上的一條曲線就可以由含有兩個變量的代數方程來表示. 這樣，我們就可以利用方程來研究幾何對象之間的關系及其本身的幾何性質. 具體探究過程如圖1所示.

圓錐曲線是高中平面解析幾何的核心內容，也是一類重要的數學模型，其研究方法充分體現了解析幾何的基本思想，在天文、物理等領域中同樣占有重要地位，在生產或生活實際中有著大量應用. 圓錐曲線中包含了豐富的數學文化內容，是進一步培養(yǎng)學生對數學的內在興趣及科學精神的良好載體.

橢圓、雙曲線和拋物線在定義、研究方法與基本思想方法上有諸多共性，是培養(yǎng)學生自主復習、共同歸納的良好素材. 教材第82頁的閱讀材料“圓錐曲線的共同特征”中對圓錐曲線的統(tǒng)一定義及對極坐標系下圓錐曲線統(tǒng)一方程的瞭望，是開闊學生認識、打開學生眼界的良好材料.

二、教學目標設置

通過課前自主復習、課上展示交流等互動學習過程，獲得對圓錐曲線基礎知識的進一步理解；通過對橢圓、雙曲線和拋物線研究方法的歸納，對圓錐曲線的研究方法產生深刻的理解，培養(yǎng)學生的歸納能力；通過對圓錐曲線，以及直線、圓等幾何圖形研究方法的提煉，獲得對解析幾何基本思想的認識.

通過課前自主復習、課上交流過程中的自我感受，以及教師的引導、分析、明晰、引申，進一步認識圖形的對稱美、方程的結構美、數學的邏輯美等，培養(yǎng)學生的數學學習興趣.

通過重溫名稱來源，結合解析幾何思想的歸納及例題的求解過程，獲得數學文化的熏陶.

三、學生學情分析

本節(jié)課的授課對象是高二年級的學生，他們已經知道直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的相關知識，感受過它們的研究方法，初步了解了坐標系、解析幾何的來源和主要內容，以及與之有關的數學家和數學故事. 學生具有一定的圖形分析和代數推理能力，有通過建立平面直角坐標系得出曲線的方程和通過方程分析曲線的性質或者曲線之間的位置關系的經驗；具有一定與圓錐曲線基礎知識有關的題目儲備和解題經驗. 這些為本節(jié)課的學習提供了充分的基礎知識和思想方法準備.

要達成本節(jié)課的教學目標，上述學生已經具備的知識、能力和經驗基礎不可或缺，但本次復習的重點是對知識的系統(tǒng)整理和對研究方法的歸納，學生在這方面的經驗還不夠，這是達成本節(jié)課教學目標的難點.

四、教學策略分析

1. 精心設置自主復習提綱，任務驅動

從重溫圓錐曲線的來源和分析本節(jié)課教學的必要性和意義入手，精心設置自主復習提綱，設計思維螺旋上升的階梯，引導學生復習、梳理、比較、總結、聯系、概括已學知識，提煉共性并形成清晰的思維主線，提高認識、發(fā)展能力.

2. 充分開展學生活動，歸納探究

站在學生的角度，從學生已有的認知出發(fā)，給學生提供參與課堂教學的機會和自我領悟的空間，讓學生在自主學習、充分展示和相互交流的氛圍中學習.

五、教學過程設計

為了讓學生熟悉找共性的復習方法，同時引領學生從復習知識深入到總結方法、提煉思想，并感受思想方法的應用，本節(jié)課的教學過程設計為7個環(huán)節(jié)，依次是重溫名稱來源、自主復習提綱、知識回顧總結、方法歸納概括、探究解決問題、課堂學習小結、課后作業(yè)布置.

1. 重溫名稱來源

在章起始課中，教師通過文字、視頻、動畫等途徑，與學生分享了關于圓錐曲線的科普知識，其中包括數學家梅內克繆斯在沖擊數學難題時發(fā)現并命名圓錐曲線的故事. 在雙曲線和拋物線的新授課教學中，教師引導學生類比橢圓的研究方法展開對雙曲線和拋物線的研究. 基于已學內容，提出以下問題.

問題1：圓錐曲線具體包括什么？它們?yōu)槭裁唇y(tǒng)稱為圓錐曲線？

問題2：新授課中，我們是用什么方法對雙曲線和拋物線進行探究的？

【設計意圖】創(chuàng)設熟悉情境，使學生自然融入課堂，自然引出課題，同時對學生進行數學文化和科學精神的熏陶.

2. 自主復習提綱

教師在課前給出復習提綱，引導學生基于復習任務對相關內容展開自主復習.

閱讀教材（包括閱讀材料），思考并完成以下任務.

（1）簡述橢圓、雙曲線和拋物線的主要內容.

（2）簡述橢圓、雙曲線和拋物線各自采用的研究方法.

（3）簡述橢圓、雙曲線和拋物線在研究方法上的共同點.

（4）簡述圓錐曲線和直線與圓在研究方法上的共性.

（5）簡述解析幾何問題研究的基本思想.

【設計意圖】復習是學習中非常重要的一個環(huán)節(jié)，自學是一種非常重要的能力. 讓學生在課前試著完成五個前置任務，指導學生進行課前自主復習，進而有效提高學生的自學能力. 課中再次展示，使學生更加明晰本節(jié)課的研究內容和研究過程.

3. 知識回顧總結

師生活動1：學生上臺展示前置任務（1）的學習成果，師生共同點評.

預設評價：若展示學生出現知識性錯誤，教師和其他學生要立即糾正；若學生所展示的內容有遺漏或者有重復，教師和其他學生進行及時補充或刪減. 學生展示后，教師可以從展示內容、書寫卷面、展示狀態(tài)、語言表達、臨場反應等多種角度挖掘學生的優(yōu)點，給予表揚和鼓勵.

【設計意圖】讓學生再次熟悉橢圓、雙曲線和拋物線的主要內容，為接下來尋找圓錐曲線的共性作鋪墊. 同時，給予學生表現的機會，增強學生的數學表達能力，提升學生學習數學的成就感和自信心.

通過對橢圓、雙曲線和拋物線主要內容的回憶和鞏固，學生不難發(fā)現橢圓、雙曲線和拋物線在研究內容上具有共性，即新授課階段分別學習了橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標準方程和幾何性質.

師生活動2：教師先帶領學生尋找橢圓、雙曲線和拋物線在定義上的共性，即曲線定義反映的是曲線的幾何特征. 接著讓學生思考橢圓、雙曲線和拋物線的定義分別反映了對應曲線的什么幾何特征. 在學生完成回答后，教師用課件展示橢圓、雙曲線和拋物線的幾何特征，并引導學生思考這些特征都與哪個幾何要素有關系.

教師再次強調橢圓、雙曲線和拋物線的特征都和距離有關系，而教材第82頁的閱讀材料“圓錐曲線的共同特征”中更是將圓錐曲線的定義統(tǒng)一為“到一個定點和一條定直線的距離”，順勢讓學生聯想統(tǒng)一整齊的事物會給人以美的感受，而圓錐曲線的統(tǒng)一定義則反映了數學的統(tǒng)一美.

師生活動3：教師帶領學生尋找橢圓、雙曲線和拋物線標準方程的共性，學生容易發(fā)現橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程都是二元二次方程. 教師繼續(xù)引導學生思考基于圓錐曲線標準方程的特征能提出什么問題，進而向學生簡單介紹極坐標系下圓錐曲線具有的統(tǒng)一方程.

師生活動4：教師帶領學生尋找橢圓、雙曲線和拋物線在簡單幾何性質上的共性，學生完成表1的填寫，發(fā)現橢圓、雙曲線和拋物線在簡單幾何性質上的共性是研究的主要性質都是范圍、對稱性、頂點和離心率. 教師進一步引導學生回憶通過方程得出曲線的范圍、對稱性、頂點和圖形的方法（函數法）.

函數法即先限定方程中的變量x，y均是正數，再對方程變形得出y關于x的函數，進而用函數知識得出函數圖形，從而得出方程對應的第一象限的曲線，再根據曲線的對稱性，得出完整的曲線圖形. 這部分是學生的薄弱點，需要對學生進行強化鞏固，同時讓學生進一步感受數學知識之間的聯系美.

【設計意圖】在回顧橢圓、雙曲線和拋物線主要內容的基礎上，引領學生不斷探尋橢圓、雙曲線和拋物線在研究內容上的共性. 不斷深入、提煉，激發(fā)學生思考，從而培養(yǎng)學生的理性思維和對數學的內在興趣，引領學生感悟數學之美.

4. 方法歸納概括

師生活動5：學生上臺展示橢圓、雙曲線和拋物線各自采用的研究方法及研究方法上的共同點. 在學生展示后，教師多角度地對學生進行表揚性、激勵性和鼓勵性評價.

上述過程，使學生對代數表達有了更深刻的理解和感悟. 教師進一步指明代數表達的重要性——代數表達是把幾何語言翻譯為代數語言，而正因為有文學語言的翻譯，才讓世界更了解我們中國燦爛輝煌的文化，也正因為有數學語言的翻譯，才讓人們更深刻地認識了自然規(guī)律，促進了科技的發(fā)展.

【設計意圖】引領學生參與提煉圓錐曲線研究方法的過程，復盤研究方法中的代數表達，促進學生對研究方法更深層的理解，促進學生數學思維的提升，發(fā)展學生邏輯推理、數學抽象、直觀想象等素養(yǎng)，滲透文化自信和數學自信，體現數學的育人價值.

問題3：在圓錐曲線之前，我們學習了什么重要的平面曲線？

問題4：直線與圓在研究方法上與圓錐曲線有什么共性？

【設計意圖】通過問題3和問題4，引導學生得出直線、圓和圓錐曲線在研究方法上的共性，即通過合理建立平面直角坐標系，得出幾何圖形的代數表達，再通過分析推斷幾何性質. 促使學生思考上述研究方法更簡練的表達方式，進而提煉出“形—數—形”的研究方法.

在“形—數—形”的研究中，前面的“形”代表研究的起點是幾何圖形，后面的“形”代表研究的終點是圖形的性質，而中間的“數”代表了用代數方法研究幾何問題的研究方法，也就是解析幾何的基本思想. 而能使用“數”的前提是建立平面直角坐標系，把點用坐標進行表示，進而帶領學生再次了解笛卡兒的主要事跡，了解并感受笛卡兒發(fā)明坐標系、創(chuàng)立解析幾何、開創(chuàng)數學新紀元的偉大貢獻和不斷追求數學真理、勇于探索的科學精神.

【設計意圖】帶領學生經歷“把書讀厚再把書讀薄”的過程，幫助學生學習不斷總結節(jié)與節(jié)之間、章與章之間共性的復習方法，建立知識體系，提煉通性通法，使學生積累數學學習經驗，發(fā)展數學思維，并感悟數學智慧、數學美和數學精神.

5. 探究解決問題

【設計意圖】以卡西尼卵形線為背景，設計學生沒見過但又感覺有些熟悉的例題，讓學生運用解析幾何的思想方法解決一道背景豐富、新穎且具有挑戰(zhàn)性的題目，培養(yǎng)學生的數學思維和科學精神，提升學生的數學能力，發(fā)展學生的數學運算和邏輯推理素養(yǎng)，同時增加學生的數學文化儲備，激發(fā)學生的數學學習興趣.

6. 課堂學習小結

7. 課后作業(yè)布置

【設計意圖】設置可供選擇的作業(yè)題目，讓不同層次學生得到鍛煉，獲得學習數學的成就感；設置對比性題目，讓學生再次感受橢圓、雙曲線和拋物線的共性和個性，讓學生課后繼續(xù)在思維方法上有深入研究．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.