王小婷，王浩全，張瑛

（中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，山西太原，030051）

0 引言

醫(yī)學(xué)影像技術(shù)在最近20 年來(lái)得到迅速發(fā)展，目前超聲成像[1]、X射線成像[2]、X射線斷層掃描（CT）[3]和核磁共振成像（MRI）[4]等醫(yī)學(xué)成像技術(shù)較為常用，成像方法各具特色。

超聲波可作為一種攜帶信息的載體，具有方向性好、穿透能力強(qiáng)和對(duì)人體無(wú)害等特點(diǎn)，在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[5~6]。超聲成像根據(jù)已知入射波和測(cè)得的散射波能夠精確重建生物組織聲學(xué)參量分布[7~8]。由于所檢測(cè)生物介質(zhì)的非均勻分布，導(dǎo)致超聲散射波函數(shù)與生物組織的聲學(xué)特征函數(shù)之間存在非線性關(guān)系，需要用迭代近似等方法進(jìn)行求解[9]，而影響重建效果的另一重要因素為迭代的過(guò)程中涉及到的不適定問(wèn)題的求解，這是此類(lèi)重建算法的重難點(diǎn)[10~11]。

針對(duì)不適定問(wèn)題導(dǎo)致圖像重建質(zhì)量較差的問(wèn)題,Pengpeng Xie 等人對(duì)比了嚴(yán)重和中度不適定問(wèn)題下的正則化最小二乘法方法，表明正則化方法具有更好的重建效果[12]。Shaoning Zeng 等人對(duì)正則化參數(shù)的選取和收斂性進(jìn)行了研究，用于解決不適定問(wèn)題[13]。劉超等人提出了進(jìn)行TTLS正則化的圖像重建模型，該方法在圖像重建中能夠有效去除條形偽影并保護(hù)圖像細(xì)節(jié),同時(shí)具有較好的重建質(zhì)量[14]。劉玉等人運(yùn)用空間域的TTLS 正則化方法，反演出較高的對(duì)比度圖像[15]。

本文基于以上研究現(xiàn)狀，對(duì)TTLS 正則化方法進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)選取合適的截?cái)鄥?shù)值k，劃分系數(shù)矩陣的奇異值，主要部分為較大的和較小的奇異值，引入Tikhonov-Gaussian 方法中的濾波因子為主要思想，對(duì)較小奇異值部分進(jìn)行校正，抑制較小奇異值對(duì)正則化解的影響，并將其應(yīng)用于超聲斷層成像中，以期獲得滿意的重建效果。

1 超聲成像數(shù)學(xué)模型建立

超聲層析成像通過(guò)圓環(huán)形換能器對(duì)物體散射場(chǎng)信息較為完整的收集，重構(gòu)物體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。在已知散射場(chǎng)情況下對(duì)描述物體內(nèi)部特性未知函數(shù)進(jìn)行求解。當(dāng)散射源與接收器之間為超聲波穿過(guò)均勻介質(zhì)時(shí)的聲場(chǎng)時(shí)，方程如下：

式中?2表示拉布拉斯算子，k0表示介質(zhì)內(nèi)的平均波數(shù)，為常數(shù)，表示入射場(chǎng)。

當(dāng)發(fā)射器與接收器之間有不均勻介質(zhì)存在產(chǎn)生的聲場(chǎng)時(shí)，方程如下：

表示所求未知函數(shù)。

超聲波穿過(guò)非均勻介質(zhì)時(shí)產(chǎn)生的壓力→場(chǎng)（全場(chǎng)）可以分解為為入射場(chǎng)與散射場(chǎng)

借助格林函數(shù)，可把散射場(chǎng)看作為散射點(diǎn)的陣列集合，則超聲波入射時(shí)的散射場(chǎng)可表示為：

此時(shí)物體內(nèi)部的全場(chǎng)方程可以表示為：

2 TTLS 正則化方法

TTLS 方法是在完全最小二乘法（total least square，TLS）基礎(chǔ)上引入截?cái)嗨枷氲囊环N直接正則化方法，可以用于求解逆問(wèn)題的不適定性。當(dāng)系數(shù)矩陣與數(shù)據(jù)項(xiàng)誤差同時(shí)存在的情況下，可以得到兩個(gè)誤差的Frobenius 范數(shù)最小值。

在Ax=b法方程的基礎(chǔ)上，假設(shè)系數(shù)矩陣A和右端數(shù)據(jù)項(xiàng)b都存在誤差時(shí)，精確的左側(cè)系數(shù)矩陣用表示，誤差范圍下的用A表示，同樣，精確的右側(cè)數(shù)據(jù)項(xiàng)用表示，誤差范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)項(xiàng)用表示。單考慮只有右側(cè)數(shù)據(jù)項(xiàng)存在誤差，則最小二乘問(wèn)題可以表示為：

其中x為成像域散射值矩陣ΔO；A為由未知函數(shù)形成的系數(shù)矩陣D[[P(t)]]；b為測(cè)量得到的散射值 ΔP(s)。

當(dāng)左側(cè)系數(shù)矩陣和右側(cè)數(shù)據(jù)項(xiàng)同時(shí)存在誤差時(shí)，最小二乘問(wèn)題可以表示為：

式中||?||F表示Frobenius 范數(shù)，為系數(shù)矩陣精確值，為數(shù)據(jù)項(xiàng)精確值。方程式（6）表示為完全最小二乘問(wèn)題（TLS）。當(dāng)系數(shù)矩陣A和數(shù)據(jù)項(xiàng)b同時(shí)存在誤差時(shí)，原問(wèn)題的解可以用增廣矩陣(A,b)的奇異值分解表示。

完全最小二乘方法的具體思想如下：

（1）系數(shù)矩陣A的增廣矩陣(A,b) 可以用奇異值分解

表示為：

其中σi為奇異值，vi為右奇異向量，且相互正交，σ1≥σ2≥ …≥σn≥0，Σ=diag(σ1,σ2,… ,σn)；ui為左奇異向量，且相互正交V=(v1,v2,…,vn)∈Rn×n，V TV=In；U=(u1,u2,…,um)∈Rm×m，U TU=In。

（2）選擇截?cái)鄥?shù)（記為k）k≤min(n,rank(A,b))且滿足：

（3）記q=n-k+ 1，對(duì)矩陣V進(jìn)行分塊處理：

且滿足：V11∈Rn×k，V12∈Rn×q，V21∈Rl×k，V22∈Rl×q。

（4）完全最小二乘問(wèn)題（TLS）的解表示為：

完全最小二乘問(wèn)題的范數(shù)和殘差可以表示為如下：

由方程式(12)及(13)可得，最小二乘解的范數(shù)隨著k的增大而增大；而隨著k的增大，殘差的范數(shù)卻減小了。將截?cái)嗟乃枷胍胪耆钚《怂惴?，得到較好擬合效果的TTLS 方法。

截?cái)嗤耆钚《朔ǎ═TLS）可以表示為：

其中濾波因子fi的形式為：

TTLS 方法中的截?cái)鄥?shù)k也可以視為正則化參數(shù)，該參數(shù)的選取直接影響著解的質(zhì)量。參數(shù)k選取較大時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)較好的數(shù)據(jù)擬合，但對(duì)解的范數(shù)約束效果較差；k選取較小時(shí)，解的約束力效果強(qiáng)，但數(shù)據(jù)擬合的狀態(tài)不太理想。因此，選取合適的截?cái)鄥?shù)k尤為重要。

3 改進(jìn)的TTLS 正則化方法

Tikhonov 方法將每一項(xiàng)均進(jìn)行適當(dāng)程度的濾波，得到原問(wèn)題的近似求解。通過(guò)校正較小的奇異值部分控制噪聲的影響，然而對(duì)較大奇異值進(jìn)行校正，會(huì)使一定程度的近似解偏離真實(shí)的解。

本文采用Gaussian 高通濾波函數(shù)作為T(mén)ikhonov 正則化的正則化矩陣，Tikhonov-Gaussian 正則化方法的濾波函數(shù)可以表示為：

將TTLS 方法和Tikhonov-Gaussian 法相結(jié)合對(duì)TTLS正則化方法進(jìn)行改進(jìn)，在傳統(tǒng)的TTLS 方法中，選定合適的截?cái)鄥?shù)k，將系數(shù)矩陣的奇異值分為兩部分，較大和較小奇異值，并借助于Tikhonov-Gaussian 方法中的濾波因子，校正較小的奇異值部分，以控制較小奇異值部分對(duì)正則化解的影響。改進(jìn)后的TTLS 正則化方法的方程式可表示為：

因此，本文采用改進(jìn)的TTLS 算法應(yīng)用于超聲成像，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行較小奇異值修正，以獲得更穩(wěn)定的正則化解，得到更好的重建圖像。具體步驟如圖1 所示。

圖1 基于改進(jìn)TTLS 算法的超聲斷層成像流程圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文使用圓環(huán)形超聲換能器，布置50 個(gè)換能器，采用200kHz 的發(fā)射波，對(duì)35×35pixel的模型圖進(jìn)行算法測(cè)試。將物體區(qū)域以λ/10=0.75mm 的采樣間隔進(jìn)行均勻采樣。

在均方誤差、峰值信噪比、圖像對(duì)比度、信噪比和結(jié)構(gòu)相似性方面對(duì)兩種算法進(jìn)行對(duì)比分析。本實(shí)驗(yàn)仿真平臺(tái)為MATLAB2016a。使用不同正則化參數(shù)的TTLS 方法對(duì)模型求解，結(jié)果如圖2 所示。

圖2 不同正則化參數(shù)TTLS 方法重建圖

圖3中k表示TTLS 正則化參數(shù)，可以看到，正則化參數(shù)為210 時(shí)輪廓逐漸清晰，正則化參數(shù)為215 時(shí)效果最好，迭代次數(shù)較少時(shí)所求得的解不能很好的擬合數(shù)據(jù)，而迭代次數(shù)較多時(shí)，會(huì)導(dǎo)致外部Born 迭代方法發(fā)散，適當(dāng)?shù)恼齽t化參數(shù)的選取，可以獲得較好的成像效果，解更穩(wěn)定。

圖3 不同算法重建結(jié)果量化的比較

本文使用均方誤差、峰值信噪比、圖像對(duì)比度、信噪比和結(jié)構(gòu)相似性5 個(gè)指標(biāo)對(duì)算法的性能進(jìn)行評(píng)估。

其中H和W表示圖像高和寬；X(i,j)表示待恢復(fù)的模糊圖像；Y(i,j)為清晰的原始圖像；MAX表示圖像點(diǎn)顏色的像素最大數(shù)值，為255。

式中Cσ表示圖像均方根對(duì)比度，衡量了圖像灰度反差的大小。Iwxh表示寬為w高為h的圖，I(x,y)表示圖像中指定位置的像素點(diǎn)的值，γIwxh表示圖像素平均值。

對(duì)兩種算法進(jìn)行圖像重建，成像效果分析如圖4 所示。

圖4 不同算法重建結(jié)果圖

由此可見(jiàn)，本文采用的改進(jìn)TTLS 算法重構(gòu)后的圖像能夠幫助恢復(fù)更多的細(xì)節(jié)特征，從圖像對(duì)比度和信噪比等方面可以看出，其重建圖像具有良好的成像質(zhì)量。相同正則化參數(shù)k=215 下，相比較于傳統(tǒng)TTLS 算法，改進(jìn)的算法相對(duì)誤差降低了1.16201%，峰值信噪比提高了0.29132%，信噪比提高了3.0269%，結(jié)構(gòu)相似性提高了1.72531%，圖像對(duì)比度提高了14.21319%。

表1 仿真正則化參數(shù)為215時(shí)兩種算法的重構(gòu)圖像精度對(duì)比

5 結(jié)論

本文在TTLS 方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)選取的截?cái)鄥?shù)k，劃分系數(shù)矩陣的奇異值為較大的奇異值和較小的奇異值，并引入Tikhonov-Gaussian 方法中的濾波因子來(lái)校正較小的奇異值部分，抑制較小奇異值對(duì)正則化解的影響，對(duì)傳統(tǒng)的TTLS 算法進(jìn)行改進(jìn)，并將其用于超聲逆散射成像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，傳統(tǒng)的TTLS 算法成像質(zhì)量較差，圖像模糊，改進(jìn)的TTLS 算法重建圖像細(xì)節(jié)特征更為明顯，相對(duì)誤差降低了1.16201%，峰值信噪比提高了0.29132%，信噪比提高了3.0269%，結(jié)構(gòu)相似性提高了1.72531%，圖像對(duì)比度提高了14.21319%。