孫建東，陳雨琴，于大永，王兆杰

（瑞納智能設(shè)備股份有限公司，安徽合肥，230000）

0 引言

磁懸浮軸承是一種通過電磁力使定轉(zhuǎn)子之間無機械接觸的新型軸承，與普通機械軸承相比，磁懸浮軸承具有無摩擦、無油污、噪音小和使用壽命長等優(yōu)點，因此廣泛應(yīng)用于航空航天、真空超凈、高速機床、儲能飛輪等領(lǐng)域[1-2]。由于PID 控制器具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)調(diào)節(jié)相對簡單且具有一定的魯棒性等優(yōu)點，因此目前大多數(shù)的軸承控制器還是以PID 作為控制策略[3]。

PID 控制是以經(jīng)典控制理論為基礎(chǔ)，經(jīng)過工程應(yīng)用形成的一種實用控制方法，其基本原理是依據(jù)誤差反饋策略來調(diào)節(jié)適當(dāng)?shù)目刂屏ο到y(tǒng)進行控制[4]。在工業(yè)應(yīng)用初期可以滿足控制需求，然而隨著科技發(fā)展，工程應(yīng)用對控制精度和響應(yīng)速度的需求都有了較大的提高，而PID 控制日漸凸顯其局限性：

（1）P 和I 和D 線性組合架構(gòu)下的最優(yōu)有待商榷；

（2）存在快速性與平滑精確性之間的矛盾；

（3）當(dāng)控制對象變化時，由于積分作用的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍、易引發(fā)系統(tǒng)超調(diào)，控制精度變差；

（4）一些應(yīng)用場合由于缺少合適的微分器，只能采用P 和I 組合，限制了PID 的控制能力。

韓京清教授針對PID存在的問題提出了自抗擾控制（active disturbance rejection control,ADRC）[5]，ADRC 主要由非線性跟蹤微分器（TD）、擴張狀態(tài)觀測器（ESO）和非線性狀態(tài)誤差反饋律（NLSEF）組成，在進行系統(tǒng)擾動補償時，ESO 將擾動擴張成一個全新的狀態(tài)變量，并采用特殊的反饋結(jié)構(gòu)構(gòu)造能夠觀測被擴張的狀態(tài)，即擾動擴張狀態(tài)觀測器，它不依賴確定的擾動數(shù)學(xué)模型也不需要直接測量擾動，因此它具有很強實用性和通用性[6]。

經(jīng)過多年的研究，國內(nèi)外在ADRC 的理論研究和應(yīng)用研究上取得了諸多進展[7-8]。在電機控制領(lǐng)域，很多學(xué)者將ADRC 應(yīng)用于永磁同步電機的擾動補償控制中[9]，另外在電力電子變換系統(tǒng)、機器人控制以及飛行控制器等諸多領(lǐng)域也有很多應(yīng)用研究。由于ADRC 需要調(diào)節(jié)的參數(shù)很多且參數(shù)整定過程復(fù)雜，給ADRC 的工程應(yīng)用帶來很多不便，文獻[10-11]提出了線性自控自擾控制(LADRC)，該控制策略將系統(tǒng)內(nèi)外動態(tài)特征和外部擾動都當(dāng)作系統(tǒng)擾動，通過實時估計擾動作用并進行補償，將ESO 與狀態(tài)誤差反饋率改為線性形式，將繁瑣的參數(shù)整定問題簡化，便于在實際工程中大規(guī)模應(yīng)用。本文提出了基于線性擴張狀態(tài)觀測器的五自由度磁懸浮軸承控制策略，根據(jù)單自由度磁懸浮轉(zhuǎn)子運動模型設(shè)計了線性擴張狀態(tài)觀測器，并在傳統(tǒng)PID 控制中進行擾動補償，對設(shè)計的控制器進行仿真驗證，仿真結(jié)果表明添加擾動補償后的磁懸浮軸承控制系統(tǒng)具有抗干擾能力強的優(yōu)點。

1 磁懸浮軸承系統(tǒng)模型

■1.1 磁懸浮軸承基本工作原理

簡化的單自由度徑向磁懸浮系統(tǒng)如圖1 所示，包括磁懸浮軸承控制器、位移傳感器、功率放大器、磁力線圈以及轉(zhuǎn)子五大部分。磁懸浮系統(tǒng)的工作原理是利用電磁力實現(xiàn)轉(zhuǎn)子在平衡位置的懸浮，轉(zhuǎn)子在懸浮過程中，通過傳感器實時獲取轉(zhuǎn)子的位置信號，此位置信號經(jīng)過傳感器的調(diào)理電路進入磁懸浮軸承控制器，作為控制器的輸入信號經(jīng)過控制器計算出所需要的控制量并送入到下一環(huán)控制環(huán)節(jié)中，在下一環(huán)中控制信號經(jīng)功率放大器轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂齐娏鬟M入相應(yīng)的磁力線圈在轉(zhuǎn)子上產(chǎn)生電磁力實現(xiàn)對轉(zhuǎn)子的實時控制，從而使轉(zhuǎn)子懸浮在平衡位置。

圖1 磁懸浮軸承工作原理

■1.2 轉(zhuǎn)子鐵芯力學(xué)關(guān)系

以轉(zhuǎn)子在x 方向運動為例，分析圖2 中轉(zhuǎn)子鐵心在外力綜合作用下磁懸浮轉(zhuǎn)子力-電流-位移函數(shù)關(guān)系。在分析電磁鐵的磁路時，通?？紤]的是理想情況，即假設(shè)除氣隙外，磁通全部無漏磁地穿過鐵心。

圖2 磁懸浮系統(tǒng)磁路示意圖

假設(shè)磁通全部通過Afe的鐵芯截面，并假設(shè)鐵心截面等于氣隙面積Aair，則磁通Φ 為：

由于Afe=Aair=A，則有：Bfe=Bair=B，其中Bfe為磁芯的磁感應(yīng)強度；Bair為氣隙中的磁感應(yīng)強度。

根據(jù)“安培環(huán)路定律”可得：

式中，線圈匝數(shù)為N；線圈電流為I；氣隙間距為x；鐵芯回路的平均長度為lfe；磁芯磁場強度為Hfe；氣隙磁場強度為Hair。忽略鐵芯的磁化作用，則有：

根據(jù)(3)式可得：

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為鐵芯相對磁導(dǎo)率。由于μr≥ 1，因此式(4)可簡化為：

根據(jù)麥克斯韋吸引力公式，可求得作用在轉(zhuǎn)子上的吸引力為：

將式(5)代入到式(6)中，得：

由式（7）可知，當(dāng)氣隙面積和線圈匝數(shù)都不變的情況下，電磁吸引力的大小主要由線圈電流和氣隙間距決定，且它們之間為非線性關(guān)系。

根據(jù)牛頓第二定律可知，轉(zhuǎn)子鐵芯的受力關(guān)系為：

式中，p(t) 為在x 方向的外部擾動，為時間的函數(shù)；F為磁力軸承產(chǎn)生的電磁力，它是位移與電流的函數(shù)；mg為轉(zhuǎn)子重力。

將式（7）磁力軸承電磁力公式帶入到式（8）中，整理得：

從式(9)可知，磁力軸承數(shù)學(xué)模型為二次非線性微分方程，無論從理論還是時間中，危險性控制還沒有得到很好地解決，常用的方法是在一定條件下將非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型。為方便設(shè)計和分析，有必要對磁力軸承電磁力公式進行線性化。

■1.3 磁力軸承電磁力的線性化

磁力軸承的電磁力是線圈電流與氣隙間距的函數(shù)，因此，可將式(7)寫成如下形式：

為了將上式進行線性化，將該式在平衡點y0=f(x0)處進行泰勒展開：

當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)在平衡點很小的范圍內(nèi)變化時，取其線性項所產(chǎn)生的誤差可以忽略不計，得到：

對上式求偏導(dǎo)得：

式中，ki為磁力軸承的電流系數(shù)；kx為磁力軸承的位移系數(shù)，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定后，定子線圈的靜態(tài)工作點確定，式中ki和kx為常數(shù)。

將式(13)和式(14)代入到式(10)中，得到：

將式(15)代入到式(9)中，得到：

在設(shè)計時如果參數(shù)選取合適，使F(I0,x0)等于轉(zhuǎn)子重力mg，且令Δi=I-I0=i，Δx=x-x0=x，則式（16）可簡寫成：

2 磁懸浮軸承擾動補償控制器設(shè)計

■2.1 擴張狀態(tài)觀測器

擴張狀態(tài)觀測器（ESO）是一種比較有效地實現(xiàn)擾動觀測的觀測器，能夠?qū)⒈豢貙ο蟮臄_動擴張成一個新的狀態(tài)變量，擴張狀態(tài)觀測器有線性擴張狀態(tài)觀測器和非線性擴張狀態(tài)觀測器之分，為了便于系統(tǒng)分析，本文應(yīng)用線性擴張狀態(tài)觀測器（LESO）。

假設(shè)一個二階系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程如下：

式中f(x1,x2,ω,t)為未知量，設(shè)b0 為b的估計值，令x3=f(x1,x2,ω,t) + (b-b0)u，并令x˙3=ω(t)，那么式(18)可以轉(zhuǎn)換成：

x3為擴張的狀態(tài)，其值表示系統(tǒng)的未知擾動。對式(19)建立線性擴張狀觀測器：

式中，z1為狀態(tài)變量x1的估計值，z2為狀態(tài)變量x2的估計值，z3為擾動變量x3的估計值， 1β、 2β、 3β為觀測器系數(shù)，如果選取合適的觀測器參數(shù)，觀測器就能很好地估計系統(tǒng)的狀態(tài)變量及擾動。

■2.2 擾動補償控制模型

本文基于傳統(tǒng)的PID 控制下的磁懸浮軸承運行過程中存在擾動引起的位移波動等問題，在PID 控制的基礎(chǔ)上，采用線性擴張狀態(tài)觀測器用于觀測系統(tǒng)擾動并對擾動進行補償，補償模型如圖3 所示。

圖3 單自由度磁軸承擾動補償控制框圖

圖4 抗擾動控制仿真框圖

從圖3 可知，本文提出的擾動補償控制策略主要由位移環(huán)、電流環(huán)、擾動補償環(huán)三個環(huán)路組成。其中x*為參考位移，x為實際位移反饋值，e為實際位移與參考位移的誤差，i0為位置環(huán)PID 計算得到的電磁繞組電流環(huán)的控制電流，i*為經(jīng)過線性擴張觀測器（LESO）補償后的電流給定值，i為實際輸出電流值，p(t)為外部擾動，z3為LESO 實時觀測的擾動量，b為擾動補償系數(shù)。

由式(17)可知單自由度磁力軸承電磁力線性化模型可得到運動狀態(tài)方程為：

式中，x1為位移，x2為速度，在式(21)的基礎(chǔ)上擴張狀態(tài)變量x3，其中x3=p(t)m，為擾動產(chǎn)生的加速度，并令x˙3=ω(t)，可得到擴張狀態(tài)之后的運動狀態(tài)方程為：

設(shè)置線性擴張狀態(tài)觀測器如下：

如果采樣周期為T，則上式可離散成如下形式：

式中，β1為位移觀測系數(shù)，β2為速度觀測系數(shù)、β3為擾動觀測系數(shù)，y為磁軸承轉(zhuǎn)子位移實際值，u為磁軸承控制器輸出的控制電壓，kxz1m為磁懸浮軸承系統(tǒng)位移加速度估計值。由文獻[12]可知，被控對象的加速度包含四個部分：控制器施加力產(chǎn)生的加速度、系統(tǒng)固有加速度、系統(tǒng)不確定加速度以及擾動產(chǎn)生的加速度。其中kxx1m為系統(tǒng)固有加速度，通過在系統(tǒng)中修正kxz1m可消除確知加速度的影響，減少z3的負擔(dān)提高LESO 的估算效率。

將磁懸浮軸承的LESO 模型式(23)與運動狀態(tài)方程式(22)作差，先取：

則有誤差方程為：

當(dāng)系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，上述誤差均為0，則有：

由上式可得觀測器誤差為：

由上式可知，當(dāng) 3β遠大于ω(t) 時，上述誤差就無限趨近于0。那么就實現(xiàn)了線性擴張狀態(tài)觀測器中的三個狀態(tài)變量可以很好地估算出磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的位移、速度以及系統(tǒng)擾動祖永亮的加速度。

根據(jù)線性自抗擾理論，其核心LESO 可利用實時估計出系統(tǒng)未知擾動，包括磁懸浮建模的不準(zhǔn)確性、參數(shù)攝動導(dǎo)致的擾動以及系統(tǒng)受到的外界擾動作用，并將實時估計得到的磁懸浮軸承系統(tǒng)的總擾動進行補償[13]，可得到經(jīng)過補償后的控制器輸出量為：

將補償后的控制變量帶入到轉(zhuǎn)子運動狀態(tài)方程中，則式(21)可化為：

從得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程由此可知，控制系統(tǒng)可對擾動進行補償，提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。

■2.3 參數(shù)整定分析

由LESO 誤差狀態(tài)方程式(26)可得特征方程為：

針對ESO 多參數(shù)整定的問題，在文獻[14]中基于帶寬的概念提出了LESO 參數(shù)整定的簡便方法。將線性擴張狀態(tài)觀測器的三重極點配置-ω0，使得特征方程的形式變?yōu)棣?s) = (s+ω0)3，這種形式的系統(tǒng)過渡過程及穩(wěn)定性較好，那么可得到：

這樣，只需要調(diào)節(jié)觀測器帶寬參數(shù)ω0即可實現(xiàn)對觀測器參數(shù)的配置，大大簡化了擴張狀態(tài)觀測器參數(shù)調(diào)節(jié)的復(fù)雜性。

3 仿真驗證

本文基于MATLAB/Simulink 以磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子徑向x方向為例進行仿真研究，仿真參數(shù)為：轉(zhuǎn)子質(zhì)量m=0.046lg，電磁鐵線圈電感L=109Hm，電磁鐵線圈電阻R=9.6Ω，線圈匝數(shù)N=2024，轉(zhuǎn)子平衡位置x0=0.25m，轉(zhuǎn)子平衡位置線圈電流I0=0.8053A，電流剛度系數(shù)ki=1.1195N/A，位移剛度系數(shù)kx=-43.9797N/m。取ω0=5000，由式(32)可確定線性擴張狀態(tài)觀測器系數(shù)β1，β2，β3的值。

為了驗證本文提出的的擾動補償控制策略的抗擾能力，本文對階躍擾動、周期性正弦擾動進行仿真分析。

（1）階躍擾動

在實際磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮時遇到負載突變的情況進行仿真，即添加階躍擾動。在0.2s 時添加浮軸為0.3N的階躍擾動，從圖5 可看出，未添加擾動補償時，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的最大位移波動有64μm，添加擾動補償后轉(zhuǎn)子位移波動約為25μm，位移偏移量比未補償前減小了61%，由此可見，添加擾動補償可提升系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖5 階躍擾動轉(zhuǎn)子位移圖

圖6 正弦擾動轉(zhuǎn)子位移圖

（2）周期性正弦擾動

磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子在懸浮過程中也會受到由于轉(zhuǎn)子質(zhì)心與幾何中心不重合導(dǎo)致的一定頻率的正弦擾動，為了驗證擾動補償對正弦擾動的抗干擾能力，在仿真時添加頻率為100Hz，幅值為1N 的正弦擾動。

從仿真結(jié)果可知，未添加擾動補償時，轉(zhuǎn)子位移波動峰峰值15μm，添加擾動補償后，轉(zhuǎn)子位移波動為7μm，相比于單PID 控制位移波動減小了53%，通過對周期性正弦擾動的仿真結(jié)果可知，擾動補償對周期性正弦擾動也表現(xiàn)出較好的抗干擾能力。

4 結(jié)論

本文基于LESO 提出了應(yīng)用于磁懸浮軸承控制系統(tǒng)的擾動補償控制策略，通過對單自由度轉(zhuǎn)子運動模型的分析，搭建了磁軸承擾動觀測器模型，并基于帶寬的概念對LESO 的觀測器增益進行整定。通過MATLAB/Simulink 仿真對比了添加擾動補償前后系統(tǒng)對節(jié)約擾動以及周期性正弦擾動的抗擾性仿真驗證，仿真結(jié)果驗證了LESO 應(yīng)用于磁軸承擾動補償?shù)恼_性與可行性，并對比單PID 控制位移波動顯著減小，可有效地提高磁懸浮軸承的抗擾性。