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        10個(gè)人打水,如何排隊(duì)總時(shí)間最少?

        2023-06-05 11:07:04李井奎
        南風(fēng)窗 2023年10期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        李井奎

        在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)時(shí)代,由于物資短缺,排隊(duì)現(xiàn)象非常普遍,以至于排隊(duì)問題都驚動了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家華羅庚。華羅庚先生也在這個(gè)問題上提出不少解決辦法,包括他特別提倡的統(tǒng)籌方法。

        首屆華羅庚數(shù)學(xué)競賽小學(xué)組,就有這樣一道據(jù)說是華羅庚先生出的關(guān)于“排隊(duì)”的題目:10個(gè)人拎著水桶排隊(duì)在打水,10個(gè)水桶大小不一,請問他們該如何排隊(duì),才能使排隊(duì)總時(shí)間最低?

        我小女兒才六歲,她張口說應(yīng)該讓大桶排后面、小桶排前面。我很驚奇,因?yàn)樗@個(gè)答案是對的,盡管她只是猜的。我們來用反證法證明我女兒這個(gè)答案是對的:只要不是按照從小到大,就會有挨著的兩個(gè)桶,大桶在小桶前面,假設(shè)大桶需要時(shí)間是T,小桶需要時(shí)間是t,當(dāng)然T大于t。只要讓這兩個(gè)人調(diào)換一下位置,就可以節(jié)省T-t的時(shí)間??梢姡灰皇前凑諒男〉酱笈?,就不是最優(yōu)方案。

        但是,這個(gè)從數(shù)學(xué)上看起來是最優(yōu)的方案,一旦人們站好了排隊(duì)取水的位次,你讓他們按照你說的這個(gè)方案來實(shí)施,是不是對每個(gè)人都好呢?遺憾的是,對于所有人而言的這個(gè)所謂“最優(yōu)”,對于具體的個(gè)體來說,很可能并非如此。如果我拎的是最大的那個(gè)桶,已經(jīng)排在了第一位,你讓我哪怕稍微跟后面一位換一換,這對我來說也是一種損害。

        經(jīng)濟(jì)學(xué)中有一個(gè)概念,叫做帕累托最優(yōu)配置。意思是說,如果一個(gè)資源配置狀態(tài)在不使任何其他人的福利受損的情況下,就不能使你的福利得到改善,那么,這種狀態(tài)就是帕累托最優(yōu)配置狀態(tài)。按照這個(gè)概念,前面這一段所講的那種數(shù)學(xué)上用時(shí)最短的狀態(tài),就不一定是帕累托最優(yōu)配置狀態(tài),因?yàn)殡m然你從數(shù)學(xué)上證明從小桶排到大桶是最優(yōu)的,但只要不是一開始人們就處于這種狀態(tài),我們是無法在不使得任何人的排隊(duì)時(shí)間不增加的情況下,而使這種數(shù)學(xué)上的最優(yōu)狀態(tài)得到實(shí)現(xiàn)。要解決這個(gè)問題,有幾個(gè)辦法。

        第一個(gè),就是假設(shè)存在一個(gè)絕對的獨(dú)裁者,他來做決定,讓人們按照從小桶到大桶去排隊(duì)。單純從這個(gè)排隊(duì)取水問題上來說,這個(gè)方法是可以帶來最短排隊(duì)時(shí)間的。

        第二個(gè),是假定使用簡單多數(shù)投票原則,只要多數(shù)人投票同意,就可以改動人們的排隊(duì)位次。比如我排在第一位,那么,大家投票讓我去最后一位,這樣贊成票會有9張,反對票可能就我這一張。然后再依次投別人的票,基本上可以保證多數(shù)原則下投票投出的結(jié)果與上述的最短時(shí)間排隊(duì)方案相一致。

        除了這兩種政治意味很濃厚的方法之外,還有一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)上的交易方法,從這里我們可以看到,自由交易在增進(jìn)社會總價(jià)值上多么重要。假如排隊(duì)者的每一分鐘時(shí)間值1毛錢,原來20分鐘的大桶排在10分鐘的小桶前面,拎小桶的人提出與拎大桶的人交換位置,給他1.5元錢作為補(bǔ)償。這樣一來,拎小桶的人可以節(jié)省20分鐘,雖然他付出了1.5元,但還是節(jié)省了5分鐘的價(jià)值。拎大桶的人確實(shí)是多等待了10分鐘,但他得到了1.5元,相當(dāng)于賺到了5分鐘的價(jià)值。

        如果各人對于時(shí)間的估價(jià)差別不大,這種交易仍然可以得到數(shù)學(xué)上最短的排隊(duì)時(shí)間結(jié)果。但是,如果有人對時(shí)間估值很高,情況就會是他們付錢給那些對時(shí)間估值不高的人,從而不見得使排隊(duì)時(shí)間最短,但這樣做卻可以使得社會總的價(jià)值最大。

        不要小看排隊(duì)的學(xué)問,某種意義上說,這個(gè)排隊(duì)取水的問題,蘊(yùn)含著“阿羅不可能性定理”“福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理”這類高深的學(xué)問。由此可見,那些被許多人所抨擊的看似高深而無用、充滿著數(shù)學(xué)證明的經(jīng)濟(jì)學(xué)定理,其實(shí),它們所研究的現(xiàn)象,遍布于我們周圍的市井生活之中,只要我們深入想一想,這其中的道理并不難懂。

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