單澤彪,常立民,劉小松,王宇祥

(1.長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 吉林 長春 130022;2.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院, 吉林 長春 130022;3.長春氣象儀器研究所, 吉林 長春 130102)

0 引言

波達(dá)方向(DOA)估計(jì)作為陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的重要組成部分,在雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航以及無線通信等領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用[1-3]。傳統(tǒng)的DOA估計(jì)方法主要有波束形成法[4]、子空間分解類算法[5-6]和最大似然法[7]等。隨著壓縮感知技術(shù)發(fā)展的不斷深入,基于壓縮感知的DOA估計(jì)方法已成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

壓縮感知理論[8-9]的提出突破了奈奎斯特采樣定理的限制,僅需信號(hào)滿足稀疏性就可以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣定理要求的頻率進(jìn)行采樣,再利用重構(gòu)算法就可以準(zhǔn)確重構(gòu)出原始信號(hào)或信號(hào)的相關(guān)參數(shù)。稀疏信號(hào)的重構(gòu)是壓縮感知研究的關(guān)鍵內(nèi)容,核心問題是求解l0范數(shù)最小化問題,但它是NP難問題,無法快速求解。應(yīng)用最多的替代算法主要包括以下4類:貪婪算法、迭代加權(quán)最小二重算法、凸優(yōu)化算法以及平滑l0范數(shù)(SL0)算法。貪婪算法的原理是經(jīng)過若干次迭代,用每次迭代獲得的局部最優(yōu)解來逼近原始信號(hào),最終找到感知矩陣中提供最大能量的某列原子。該類算法的代表為匹配追蹤(MP)算法[10]與正交匹配追蹤(OMP)算法[11],該類算法收斂速度快,但容易陷入局部最優(yōu)解,影響精度。迭代加權(quán)最小二乘算法的原理是給最小l2范數(shù)一個(gè)權(quán)值來近似l0范數(shù)解,代表算法為FOCUSS算法[12],該算法對噪聲較敏感。凸優(yōu)化算法的原理是用l1范數(shù)代替l0范數(shù),因在一定條件下l0范數(shù)與l1范數(shù)是等價(jià)的。代表算法為基追蹤(BP)算法[13]與l1-magic算法[14]等,該類算法精度較高,但計(jì)算復(fù)雜度較高、計(jì)算速度較慢。平滑l0范數(shù)(SL0)算法由Mohimani等[15]、Liu等[16]提出,此算法的原理為采用最速下降法結(jié)合梯度投影,構(gòu)造一個(gè)合適的平滑函數(shù)來近似l0范數(shù),將l0范數(shù)的最小化問題轉(zhuǎn)化成近似函數(shù)的最優(yōu)化問題。

近些年來,學(xué)者們對此不斷改進(jìn)創(chuàng)新,提出了許多新的近似l0范數(shù)算法。例如文獻(xiàn)[17]采用雙曲正切函數(shù)來近似l0范數(shù),然后采用修正牛頓法替代最速下降法,在收斂速度和信噪比方面較SL0算法有很大提高。文獻(xiàn)[18]采用分式函數(shù)來近似l0范數(shù),混合牛頓法和最陡梯度法,在保持精度的基礎(chǔ)上提高了收斂速度。文獻(xiàn)[19]采用改進(jìn)的高斯函數(shù),采用奇異值分解提高了算法穩(wěn)定性,在重構(gòu)精度、峰值信噪比方面有較大的改善。文獻(xiàn)[20]對文獻(xiàn)[19]中所改進(jìn)的高斯函數(shù)進(jìn)行倒數(shù)加權(quán)處理,進(jìn)一步提高了算法的精度,但計(jì)算過程較為繁瑣,導(dǎo)致算法運(yùn)行速度緩慢。文獻(xiàn)[21]引入一種近似l0范數(shù)的稀疏正則化算法以獲得稀疏解向量,提出一種可迭代敏感場靈敏度梯度優(yōu)化方法,減小了誤差,缺點(diǎn)是該算法計(jì)算時(shí)間較長,且主要用于圖像處理。文獻(xiàn)[22]采用反余切函數(shù)來近似l0范數(shù),結(jié)合修正阻尼牛頓法,提高了信號(hào)恢復(fù)的質(zhì)量,同樣的問題就是算法重構(gòu)時(shí)間較長。文獻(xiàn)[23]采用復(fù)合反比例函數(shù)并做加權(quán)處理,結(jié)合共軛梯度法,提高了稀疏信號(hào)的重構(gòu)精度,算法較為復(fù)雜,需要進(jìn)一步優(yōu)化。

針對上述問題,本文對SL0算法做出改進(jìn),即采用一種自然對數(shù)復(fù)合函數(shù)近似l0范數(shù),將l0范數(shù)問題轉(zhuǎn)換為自然對數(shù)復(fù)合函數(shù)的最優(yōu)化問題,然后將問題分為兩部分計(jì)算:第一部分采用牛頓法推導(dǎo)出函數(shù)的第k次迭代公式,第二部分利用最陡梯度法,并結(jié)合第一部分推導(dǎo)出的迭代表達(dá)式,經(jīng)若干次迭代后求得近似l0范數(shù)的最優(yōu)解。經(jīng)過理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明,本文所提方法能夠在單快拍條件下對DOA進(jìn)行有效估計(jì),與SL0算法、改進(jìn)平滑l0范數(shù)(ISL0)算法以及加權(quán)平滑l0范數(shù)(WSL0)算法相比,估計(jì)精度更高,運(yùn)算速度更快。

1 壓縮感知的陣列接收信號(hào)模型

X=AS+G

(1)

式中:X=[x1,x2,…,xM]T為M×1維接收信號(hào)向量;S=[s1,s2,…,s2N+1]T為(2N+1)×1維稀疏入射信號(hào)向量,稀疏度為K(K?2N+1),表示向量S中非零元素個(gè)數(shù)為K,此K個(gè)元素所對應(yīng)角度即空間中所有目標(biāo)信號(hào)源所在角度;G為M×1維加性高斯白噪聲向量。

2 基于NLSL0的DOA估計(jì)算法

2.1 算法推導(dǎo)與分析

如式(2)所示,可通過l0范數(shù)最小化求解式(1)中的向量S:

(2)

式(2)是NP難問題,直接求解難度極大,不適用于DOA估計(jì)。近似l0范數(shù)重構(gòu)算法將式(2)的求解轉(zhuǎn)化為近似函數(shù)的最優(yōu)化問題,從而避免了難度極大的直接求解過程。故本文采用自然對數(shù)復(fù)合函數(shù)

(3)

來近似Si的l0范數(shù),稱之為自然對數(shù)復(fù)合函數(shù)近似l0范數(shù)(NLSL0),由于自然對數(shù)在接近0時(shí)在保證平滑性的同時(shí)更加陡峭,故可更好地“平滑逼近”l0范數(shù)。式(3)中σ稱之為逼近因子,其大小表示近似函數(shù)逼近的程度,其取值需要在近似函數(shù)的精度和光滑度之間權(quán)衡。如果σ越大,則式(3)越光滑;如果σ越小,則式(3)對l0范數(shù)的逼近程度越高,但光滑程度會(huì)變差。

(4)

式中:F為拉格朗日乘子向量,其維度與向量X相同。采用拉格朗日求導(dǎo),可得

(5)

D=F·σ為一個(gè)正比于F的拉格朗日乘子向量。此時(shí),當(dāng)σ→0時(shí),式(5)可轉(zhuǎn)化為

(6)

從而有D=(AAT)-1X,結(jié)合S=ATD,式(6)的最終解為S=AT(AAT)-1X。

實(shí)際應(yīng)用中,由定理1可知,為防止出現(xiàn)局部最優(yōu)解,應(yīng)該使σ足夠大。為解決稀疏問題,即求

(7)

的稀疏解,算法可分為兩部分進(jìn)行計(jì)算:

(8)

式(8)的第一部分采用牛頓迭代法,推導(dǎo)出第k次迭代的表達(dá)式記為

(9)

采用偽逆進(jìn)行計(jì)算,避免1/f′(Sk)可能產(chǎn)生病態(tài)的問題,則式(9)變?yōu)?/p>

Sk+1=Sk-AT(AAT)-1(X-ASk)

(10)

同時(shí)為避免牛頓迭代發(fā)散,迭代中的初始解選擇尤為重要,本文選擇X=AS的最小二乘解S0=AT(AAT)-1X作為牛頓迭代的初始解,以保證初始解在最優(yōu)解的領(lǐng)域內(nèi)。分析式(10)的收斂性,將式(9)記為

(11)

對式(11)求導(dǎo),得

(12)

設(shè)Sn是f(S)=0的最優(yōu)解,且f′(Sn)≠0,則

(13)

可見如果存在一個(gè)解S在最優(yōu)解Sn附近,則存在|h′(S)|<1,按固定點(diǎn)原理[24]可知式(10)是收斂的。

式(8)中第二部分,l0范數(shù)‖S‖0可以看成是對向量S的稀疏度測量,因此解決式(8)中的第2個(gè)問題相當(dāng)于求出最稀疏的解。為確保最優(yōu)解的全局性,在算法的最開始,要把σ設(shè)置足夠大;然后逐步減小σ的值,避免局部最優(yōu)解的影響。因此采用最陡梯度法求解式(8)中的第2個(gè)問題:

(14)

式中:μk為迭代步長。因?yàn)槭?14)每迭代一步σ都相應(yīng)減少,隨著迭代深入,處理的信號(hào)范圍也變得越來越精細(xì),故需要調(diào)整相應(yīng)的步長μk,以達(dá)到精細(xì)化處理的效果。為便于計(jì)算,本文采用μk=μ0σ,其中μ0是一個(gè)常數(shù)。將μk=μ0σ代入式(14),得

(15)

考慮到足夠大的σ以確保最優(yōu)解的全局性,本文初始化設(shè)置為σ1=2max(),更新式為σj=ησj-1,其中0<η<1是σ的一個(gè)衰減因子,可知式(15)是收斂的。其中,為X=AS的最小l2范數(shù)解。

2.2 算法步驟

應(yīng)用自然對數(shù)復(fù)合函數(shù)近似l0范數(shù)方法進(jìn)行DOA估計(jì),首先需根據(jù)接收信號(hào)的初始解確定一個(gè)合適的遞減{σ}序列[σ1,σ2,…,σJ],J表示序列的總數(shù),σJ表示序列的最小值,并且通過外循環(huán)控制σ取值。然后通過內(nèi)循環(huán)對每一個(gè)σi值采用最陡梯度法結(jié)合牛頓迭代來求解Kσ(s)的最小值,該σi值作為下一次迭代的初始值,經(jīng)若干次迭代得到最優(yōu)解。

算法具體步驟如下:

1)初始化:初始解為X=AS的最小l2范數(shù)解=AT(AAT)-1X;σ1=2max(),j=1;設(shè)定參數(shù):μ0=0.6,η=0.5,最大迭代次數(shù)L=10,σJ=0.01。{σ}序列最小值σJ的計(jì)算參考文獻(xiàn)[19]。

2)令σ=σj,迭代次數(shù)l=1,采用最陡梯度法結(jié)合牛頓迭代表達(dá)式,經(jīng)過L次迭代得到近似函數(shù)Kσ(S)的最優(yōu)解:

①迭代式(15)與式(10);

②l=l+1,如果l

3)j=j+1,σj=ησj-1,重復(fù)步驟2),當(dāng)滿足σj<σJ時(shí)結(jié)束循環(huán),輸出,繼而可得DOA估計(jì)值。

2.3 算法復(fù)雜度分析

A為M×(2N+1)維矩陣,B為矩陣AS或ATX的運(yùn)算時(shí)間,由于矩陣是稀疏的,計(jì)算量小于2M×(2N+1),設(shè)s代表稀疏度,L=O(logN)為解所要求的比特精度,w表示權(quán)值,則各算法OMP、SL0、ISL0、WSL0與NLSL0的計(jì)算復(fù)雜度分別為B+O(MsL)、B+O(s)、B+O(2s)、B+O(2ws)與B+O(s)。 由此可知OMP算法的計(jì)算復(fù)雜度是不確定的,本文所提NLSL0算法的計(jì)算復(fù)雜度與SL0算法的計(jì)算復(fù)雜度相同,且明顯小于ISL0算法和WSL0算法的計(jì)算復(fù)雜度。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所提算法的可行性,并與OMP算法[11]、SL0算法[15-16]、ISL0算法[19]以及WSL0算法[20]進(jìn)行了對比。實(shí)驗(yàn)依據(jù)壓縮感知陣列接收信號(hào)模型,將空間等角度劃分成181個(gè)網(wǎng)格,每個(gè)網(wǎng)格角度都為1°,包含了信號(hào)源全部可能的所在方向,采用均勻線陣,陣元間距為波長的一半,噪聲為加性高斯白噪聲。單快拍條件下DOA估計(jì)的成功概率為:角度估計(jì)誤差小于等于1°的次數(shù)/實(shí)驗(yàn)總次數(shù),DOA估計(jì)均方根誤差(RMSE)的表達(dá)式為

(16)

式中:Mc表示蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù);θkm表示第k個(gè)信號(hào)源在第m次實(shí)驗(yàn)的DOA真實(shí)值;km表示第k個(gè)信號(hào)源在第m次實(shí)驗(yàn)的DOA估計(jì)值。

實(shí)驗(yàn)1不同信源數(shù)條件下DOA估計(jì)可行性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。假設(shè)空間網(wǎng)格劃分中有3個(gè)DOA分別為-20°、0°和30°的目標(biāo)信號(hào)源,其中DOA為-20°和30°的兩個(gè)信源是相干的。在陣元數(shù)為16、信噪比SNR(Signal-Noise Ratio)為5 dB條件下,本文所提NLSL0算法的DOA估計(jì)結(jié)果如圖1所示。

圖1 基于NLSL0算法的三信源DOA估計(jì)Fig.1 DOA estimation of three sources based on NLSL0 algorithm

由圖1可知,歸一化空間譜中最高的3個(gè)譜峰所對應(yīng)的角度為3個(gè)目標(biāo)信號(hào)源所在網(wǎng)格的角度,即目標(biāo)信號(hào)源的DOA,表明本文提出的NLSL0算法是可行的,且算法對相干信源不敏感,準(zhǔn)確估計(jì)出了相干信號(hào)源的DOA。同時(shí)由于空間中信號(hào)源個(gè)數(shù)是有限的,空間譜中較大譜峰的個(gè)數(shù)即信號(hào)源的個(gè)數(shù)。因此,信號(hào)源個(gè)數(shù)是否已知對本文算法的DOA估計(jì)性能影響有限,這也是本文算法的一個(gè)優(yōu)勢。

為驗(yàn)證本文算法的多信號(hào)分辨性能,進(jìn)行信號(hào)源數(shù)為4和5時(shí)的仿真實(shí)驗(yàn),4個(gè)信號(hào)源的DOA分別為-70°、-30°、20°和60°,5個(gè)信號(hào)源的DOA分別為-70°、-20°、0°、30°和60°。其他實(shí)驗(yàn)條件同上,得到的DOA估計(jì)結(jié)果如圖2和圖3所示。由圖2 和圖3可知,當(dāng)信號(hào)源數(shù)增加至4個(gè)或5個(gè)時(shí),本文算法仍然可以估計(jì)出目標(biāo)信號(hào)源的DOA,且具有較好的分辨性能。

圖2 基于NLSL0算法的四信源DOA估計(jì)Fig.2 DOA estimation of four sources based on NLSL0 algorithm

圖3 基于NLSL0算法的五信源DOA估計(jì)Fig.3 DOA estimation of five sources based on NLSL0 algorithm

實(shí)驗(yàn)2幅相不一致DOA估計(jì)性能驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。驗(yàn)證本文所提算法針對來波信號(hào)幅相不一致時(shí)的DOA估計(jì)性能。假設(shè)空間網(wǎng)格劃分中有3個(gè)角度分別為-30°、0°和30°的目標(biāo)信號(hào)源,3個(gè)信號(hào)幅度誤差服從方差分別為0.1、0.2和0.1,均值均為0的隨機(jī)分布;相位誤差服從方差分別為10、10和20,均值均為0的隨機(jī)分布。在陣元數(shù)為16、信噪比為5 dB條件下做1 000次實(shí)驗(yàn),所得DOA估計(jì)均方根誤差及成功概率如表1所示。由表1可知,信號(hào)幅度誤差方差越大,均方根誤差越大且估計(jì)成功概率越低,而相位誤差對估計(jì)結(jié)果無顯著性影響。

表1 幅相不一致時(shí)DOA估計(jì)均方根誤差及成功概率

實(shí)驗(yàn)3存在離格信號(hào)時(shí)DOA估計(jì)性能驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。假設(shè)空間有兩個(gè)信號(hào)源,其中一個(gè)信號(hào)的DOA分別是0°、0.2°和0.5°,另一個(gè)信號(hào)的DOA分別是30.0°、30.2°、30.5°、30.7°和30.9°。在陣元數(shù)為16、信噪比為5 dB條件下,針對上述兩個(gè)信號(hào)的不同排列組合分別采用本文算法對其進(jìn)行DOA估計(jì),DOA估計(jì)均方根誤差如表2所示。從表2中可知,在算法采用間隔為1°且整數(shù)角度網(wǎng)格劃分的條件下,距離所在網(wǎng)格上的DOA越遠(yuǎn),其估計(jì)均方根誤差越大,其中在兩個(gè)DOA分別為0.5°和30.5°時(shí)均方根誤差最大為1.041 6°。

表2 離格信號(hào)DOA估計(jì)均方根誤差

實(shí)驗(yàn)4不同信噪比條件下DOA估計(jì)性能對比實(shí)驗(yàn)。假設(shè)空間網(wǎng)格劃分中有兩個(gè)角度分別為-50°和40°的目標(biāo)信號(hào)源,同樣采用16個(gè)陣元,在信噪比從0～10 dB的范圍內(nèi),不同算法的DOA估計(jì)均方根誤差、成功概率及相應(yīng)的克拉美羅界(CRB)如圖4和圖5所示。

圖4 不同信噪比時(shí)各算法的DOA估計(jì)均方根誤差Fig.4 RMSEs of DOA estimation using different algorithms versus SNR

圖5 不同信噪比時(shí)各算法的DOA估計(jì)成功概率Fig.5 Success probability of DOA estimation using different algorithms versus SNR

由圖4和圖5可以看出,隨著信噪比的增大,上述各種算法的成功率隨之增大、均方根誤差也隨之減少。當(dāng)信噪比大于等于7 dB時(shí),各種算法的均方根誤差保持基本一致并已降至1°以下,且估計(jì)成功概率均接近100%;當(dāng)信噪比在0 dB與7 dB之間時(shí),本文所提NLSL0算法與SL0、ISL0、WSL0及OMP算法相比較有顯著優(yōu)勢:均方根誤差更低且成功率更高,即在低信噪比條件下本文算法具有更好的DOA估計(jì)性能。

實(shí)驗(yàn)5不同陣元數(shù)下DOA估計(jì)性能對比實(shí)驗(yàn)。同樣假設(shè)空間網(wǎng)格劃分中有兩個(gè)角度分別為10°和50°的目標(biāo)信號(hào)源,信噪比SNR=5 dB。在陣元數(shù)從12～20的變化范圍內(nèi),各種算法的DOA估計(jì)均方根誤差和成功概率如圖6、圖7所示。

圖6 不同陣元數(shù)時(shí)各算法的DOA估計(jì)均方根誤差Fig.6 RMSEs of DOA estimation of different algorithms versus array elements

圖7 不同陣元數(shù)時(shí)各算法的DOA估計(jì)成功概率Fig.7 Success probability of DOA estimation of different algorithms versus array elements

由圖6、圖7可以看出隨著陣元數(shù)的增多各算法的均方根誤差越小且成功率越大:當(dāng)陣元數(shù)超過18時(shí),各算法的均方根誤差均已小于1°,但NLSL0算法的估計(jì)性能更好;當(dāng)陣元數(shù)等于20時(shí),本文所提NLSL0算法的估計(jì)成功概率達(dá)到100%;當(dāng)陣元數(shù)在12與18之間時(shí),本文所提NLSL0算法與SL0、ISL0、WSL0和OMP算法相比優(yōu)勢比較顯著,且陣元數(shù)越少時(shí)本文算法比其他算法優(yōu)勢更加明顯,即均方根誤差越小、成功概率越高。

實(shí)驗(yàn)6不同平滑類算法收斂性能比較實(shí)驗(yàn)。比較本文所提算法收斂性能及與SL0、ISL0和WSL0算法獲得最優(yōu)解時(shí)所需收斂次數(shù)。實(shí)驗(yàn)電腦為:i5-5200U雙核處理器,搭載Win10系統(tǒng),MATLAB2016b版本運(yùn)行環(huán)境。在相同DOA估計(jì)參數(shù)并且陣元數(shù)為16、信噪比為10 dB條件下,實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示。由表3中的數(shù)據(jù)可知,上述4種算法均可以在有限次數(shù)下達(dá)到收斂,其中本文所提NLSL0算法與其他3個(gè)平滑l0范數(shù)算法相比,所需迭代次數(shù)最少,且獲得最優(yōu)解的誤差最小,即收斂性能最好。

表3 不同算法所需迭代次數(shù)及均方根誤差

實(shí)驗(yàn)7不同算法運(yùn)行時(shí)間及均方根誤差比較實(shí)驗(yàn)。在相同DOA估計(jì)參數(shù)且信噪比為5 dB的條件下,比較本文所提NLSL0算法與SL0、ISL0、WSL0和OMP算法運(yùn)行所需時(shí)間,得到單次DOA估計(jì)時(shí)間及均方根誤差如表4所示。從表4中可知,本文所提算法在運(yùn)行速度上略遜于OMP算法,但誤差比其明顯更小,估計(jì)精度更高;與SL0、ISL0和WSL0算法相比NLSL0算法運(yùn)算時(shí)間更小,估計(jì)精度更高。

表4 不同算法運(yùn)算時(shí)間及均方根誤差

4 結(jié)論

本文通過對基于壓縮感知技術(shù)的DOA估計(jì)方法的研究與分析,提出了一種基于自然對數(shù)復(fù)合函數(shù)近似l0范數(shù)的DOA估計(jì)算法。該算法采用一種自然對數(shù)復(fù)合函數(shù)來近似l0范數(shù),將求解l0范數(shù)問題轉(zhuǎn)化為近似函數(shù)的最優(yōu)化問題。最后通過優(yōu)化求解獲得目標(biāo)DOA的估計(jì)值。文中經(jīng)過理論推導(dǎo)及仿真實(shí)驗(yàn)的對比分析,充分驗(yàn)證了本文所提算法的有效性及優(yōu)越性。得到如下主要結(jié)論:

1)對本文算法進(jìn)行了相關(guān)推導(dǎo)及證明,給出了算法詳細(xì)步驟,同時(shí)對計(jì)算復(fù)雜度、收斂迭代次數(shù)及計(jì)算運(yùn)行時(shí)間均進(jìn)行了分析,分析結(jié)果表明本文算法與OMP算法的運(yùn)算時(shí)間基本相當(dāng),而與SL0、ISL0及WSL0算法相比,計(jì)算復(fù)雜度、收斂迭代次數(shù)及運(yùn)算時(shí)間均更低。

2)對多信號(hào)源DOA估計(jì)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證,在陣元數(shù)為16時(shí),在保證精度的前提下最多可有效估計(jì)出5個(gè)目標(biāo)的波達(dá)方向。當(dāng)超過5個(gè)目標(biāo)信號(hào)時(shí),可通過增加陣元數(shù)的方式進(jìn)行估計(jì)。同時(shí)進(jìn)行了幅相不一致時(shí)DOA估計(jì)性能驗(yàn)證實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明幅度誤差方差越小、均方根誤差越小且估計(jì)成功概率越高,而相位誤差對估計(jì)結(jié)果無顯著性影響。

3)在不同信噪比下或不同陣元數(shù)時(shí)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證,結(jié)果表明在同等條件下本文算法與SL0、ISL0、WSL0及OMP算法相比,具有更低的估計(jì)誤差及更高的估計(jì)成功概率。其中本文算法在陣元數(shù)為16的條件下,信噪比為5 dB時(shí)估計(jì)誤差為 0.769 2°;信噪比為10 dB時(shí),估計(jì)成功率接近100%。